গ্রাহাম সংখ্যার সংজ্ঞা এবং মাত্রা

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2024-01-15 17:21

"ইনফিনিটি" শব্দে প্রতিটি ব্যক্তির নিজস্ব সমিতি আছে। অনেকে তাদের কল্পনায় দিগন্তের ওপারে চলে যাওয়া সমুদ্রকে আঁকেন, আবার অন্যদের চোখের সামনে অন্তহীন তারার আকাশের ছবি থাকে। গণিতবিদরা, সংখ্যা নিয়ে কাজ করতে অভ্যস্ত, সম্পূর্ণ ভিন্ন উপায়ে অসীমকে কল্পনা করেন। বহু শতাব্দী ধরে তারা পরিমাপের জন্য প্রয়োজনীয় শারীরিক পরিমাণের বৃহত্তম খুঁজে বের করার চেষ্টা করছে। তাদের মধ্যে একটি হল গ্রাহাম নম্বর। এতে কতটি শূন্য রয়েছে এবং এটি কীসের জন্য ব্যবহৃত হয়, এই নিবন্ধটি বলবে৷

অসীমভাবে বড় সংখ্যা

গণিতে, এটি এমন একটি ভেরিয়েবলের নাম x , যদি কোনো প্রদত্ত ধনাত্মক সংখ্যা M এর জন্য একটি স্বাভাবিক সংখ্যা N নির্দিষ্ট করতে পারে যেমন N এর চেয়ে বড় সমস্ত সংখ্যার জন্য অসমতা |x _{| > M. যাইহোক, না, উদাহরণস্বরূপ, পূর্ণসংখ্যা Z কে অসীমভাবে বড় হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, যেহেতু এটি সর্বদা (Z + 1) এর চেয়ে কম হবে।}

"দৈত্য" সম্পর্কে কয়েকটি শব্দ

দৈহিক অর্থ আছে এমন বৃহত্তম সংখ্যাগুলিকে বিবেচনা করা হয়:

• 1080. এই সংখ্যাটি, যাকে সাধারণত কুইনকোয়াভিজিনটিলিয়ন বলা হয়, মহাবিশ্বে কোয়ার্ক এবং লেপটনের (সবচেয়ে ছোট কণা) আনুমানিক সংখ্যা বোঝাতে ব্যবহৃত হয়।
• 1 Google দশমিক পদ্ধতিতে এই জাতীয় সংখ্যা 100 শূন্য সহ একটি একক হিসাবে লেখা হয়। কিছু গাণিতিক মডেল অনুসারে, মহাবিস্ফোরণের সময় থেকে সবচেয়ে বড় ব্ল্যাক হোলের বিস্ফোরণ পর্যন্ত, 1 থেকে 1.5 গুগোল বছর কেটে যেতে হবে, যার পরে আমাদের মহাবিশ্ব তার অস্তিত্বের শেষ পর্যায়ে চলে যাবে, অর্থাৎ, আমরা করতে পারি অনুমান করুন যে এই সংখ্যাটির একটি নির্দিষ্ট শারীরিক অর্থ রয়েছে৷
• 8, 5 x 10¹⁸⁵। প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক হল 1.616199 x 10^-35 m, অর্থাৎ দশমিক স্বরলিপিতে এটি 0.00000000000000000000000000616199 মি এর মতো দেখায়। এক ইঞ্চিতে প্রায় 1টি গুগোল প্ল্যাঙ্ক দৈর্ঘ্য রয়েছে। এটি অনুমান করা হয় যে প্রায় 8.5 x 10^{185 প্ল্যাঙ্কের দৈর্ঘ্য আমাদের সমগ্র মহাবিশ্বে ফিট হতে পারে৷}
• 2^{77 232 917} – 1. এটি বৃহত্তম পরিচিত মৌলিক সংখ্যা। যদি এর বাইনারি স্বরলিপির একটি মোটামুটি কমপ্যাক্ট ফর্ম থাকে, তাহলে এটিকে দশমিক আকারে চিত্রিত করতে, এটি 13 মিলিয়নের কম অক্ষর নেবে না। এটি 2017 সালে মার্সেন নম্বরগুলি অনুসন্ধান করার জন্য একটি প্রকল্পের অংশ হিসাবে পাওয়া গেছে। যদি উত্সাহীরা এই দিকে কাজ চালিয়ে যান, তবে কম্পিউটার প্রযুক্তির বিকাশের বর্তমান স্তরে, অদূর ভবিষ্যতে তারা 2^{77 232 917 এর চেয়ে বেশি মাত্রার একটি মার্সেন নম্বর খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা কম।- 1, যদিও এরকমভাগ্যবান বিজয়ী পাবেন US$150,000।}
• হুগোপ্লেক্স। এখানে আমরা শুধু 1 নিই এবং এর পরে 1 googol পরিমাণে শূন্য যোগ করি। আপনি এই সংখ্যাটি 10^10^100 হিসাবে লিখতে পারেন। এটি দশমিক আকারে উপস্থাপন করা অসম্ভব, কারণ মহাবিশ্বের পুরো স্থানটি যদি কাগজের টুকরো দিয়ে পূর্ণ হয়, যার প্রতিটিতে 0 লেখা থাকবে 10 এর "শব্দ" ফন্টের আকার দিয়ে, তবে এই ক্ষেত্রে মাত্র অর্ধেক। googolplex নম্বরের জন্য 1-এর পরে সমস্ত 0 পাওয়া যাবে।
• 10^10^10^10^10^1.1। এটি এমন একটি সংখ্যা যা পয়নকেরে উপপাদ্য অনুসারে কত বছর পরে, আমাদের মহাবিশ্ব, এলোমেলো কোয়ান্টাম ওঠানামার ফলে, আজকের কাছাকাছি অবস্থায় ফিরে আসবে৷

গ্রাহামের সংখ্যা কীভাবে এসেছে

1977 সালে, বিজ্ঞানের সুপরিচিত জনপ্রিয়তাকারী মার্টিন গার্ডনার রামসের তত্ত্বের একটি সমস্যা সম্পর্কে গ্রাহামের প্রমাণের বিষয়ে সায়েন্টিফিক আমেরিকানে একটি নিবন্ধ প্রকাশ করেছিলেন। এতে, তিনি বিজ্ঞানীর দ্বারা নির্ধারিত সীমাটিকে গুরুতর গাণিতিক যুক্তিতে ব্যবহৃত সবচেয়ে বড় সংখ্যা বলে অভিহিত করেছেন৷

রোনাল্ড লুইস গ্রাহাম কে

এই বিজ্ঞানী, এখন তার 80-এর দশকে, ক্যালিফোর্নিয়ায় জন্মগ্রহণ করেছিলেন। 1962 সালে, তিনি বার্কলে বিশ্ববিদ্যালয় থেকে গণিতে পিএইচডি ডিগ্রি লাভ করেন। তিনি 37 বছর বেল ল্যাবসে কাজ করেন এবং পরে AT&T ল্যাবসে চলে যান। এই বিজ্ঞানী সক্রিয়ভাবে 20 শতকের অন্যতম সেরা গণিতবিদ পাল এরডসের সাথে সহযোগিতা করেছেন এবং তিনি অনেক মর্যাদাপূর্ণ পুরস্কারের বিজয়ী। গ্রাহামের বৈজ্ঞানিক গ্রন্থপঞ্জিতে 320 টিরও বেশি বৈজ্ঞানিক গবেষণাপত্র রয়েছে৷

70-এর দশকের মাঝামাঝি সময়ে, বিজ্ঞানী তত্ত্বের সাথে যুক্ত সমস্যাটিতে আগ্রহী ছিলেনরামসে। এর প্রমাণে, সমাধানের উপরের সীমা নির্ধারণ করা হয়েছিল, যা একটি খুব বড় সংখ্যা, পরবর্তীতে রোনাল্ড গ্রাহামের নামে নামকরণ করা হয়েছিল।

হাইপারকিউব সমস্যা

গ্রাহাম সংখ্যার সারমর্ম বোঝার জন্য, আপনাকে প্রথমে বুঝতে হবে এটি কীভাবে প্রাপ্ত হয়েছিল।

এই বিজ্ঞানী এবং তার সহকর্মী ব্রুস রথচাইল্ড নিম্নলিখিত সমস্যার সমাধান করছিলেন:

একটি এন-ডাইমেনশনাল হাইপারকিউব আছে। এর শীর্ষবিন্দুগুলির সমস্ত জোড়া এমনভাবে সংযুক্ত যাতে 2শীর্ষবিন্দু সহ একটি সম্পূর্ণ গ্রাফ পাওয়া যায়। এর প্রতিটি প্রান্ত নীল বা লাল রঙের হয়। একটি হাইপারকিউবে ন্যূনতম কতগুলি শীর্ষবিন্দু থাকা উচিত তা খুঁজে বের করার প্রয়োজন ছিল যাতে প্রতিটি রঙে একই সমতলে 4টি শীর্ষবিন্দু সহ একটি সম্পূর্ণ একরঙা সাবগ্রাফ থাকে৷

সিদ্ধান্ত

গ্রাহাম এবং রথচাইল্ড প্রমাণ করেছেন যে সমস্যার একটি সমাধান রয়েছে N' শর্ত 6 ⩽ N' ⩽N যেখানে N একটি সুসংজ্ঞায়িত, খুব বড় সংখ্যা।

N এর নিম্ন সীমাটি পরবর্তীকালে অন্যান্য বিজ্ঞানীদের দ্বারা পরিমার্জিত হয়েছিল, যারা প্রমাণ করেছিলেন যে N অবশ্যই 13 এর থেকে বড় বা সমান হতে হবে। এইভাবে, একটি হাইপারকিউবের ক্ষুদ্রতম সংখ্যক শীর্ষবিন্দুর অভিব্যক্তি যা উপরে উপস্থাপিত শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে 13 ⩽ N'⩽ N.

নথের তীরচিহ্ন

গ্রাহাম সংখ্যা সংজ্ঞায়িত করার আগে, আপনাকে এর প্রতীকী উপস্থাপনের পদ্ধতির সাথে নিজেকে পরিচিত করতে হবে, যেহেতু দশমিক বা বাইনারি নোটেশন কোনটিই এর জন্য একেবারে উপযুক্ত নয়।

বর্তমানে, নুথের তীরচিহ্নটি এই পরিমাণের প্রতিনিধিত্ব করতে ব্যবহৃত হয়। তার মতে:

ab=a "উপরের তীর" খ.

একাধিক সূচকের অপারেশনের জন্য, এন্ট্রিটি চালু করা হয়েছিল:

a "উপরের তীর" "উপরের তীর" b=ab="b টুকরা পরিমাণে a নিয়ে গঠিত একটি টাওয়ার।"

এবং পেন্টেশনের জন্য, যেমন পূর্ববর্তী অপারেটরের বারবার ব্যাখ্যার প্রতীকী উপাধি, নুথ ইতিমধ্যেই 3টি তীর ব্যবহার করেছেন৷

গ্রাহাম নম্বরের জন্য এই স্বরলিপি ব্যবহার করে, আমাদের একে অপরের মধ্যে "তীর" ক্রমগুলি 64 পিসি পরিমাণে নেস্ট করা আছে৷

স্কেল

তাদের বিখ্যাত সংখ্যা, যা কল্পনাকে উত্তেজিত করে এবং মানব চেতনার সীমানাকে প্রসারিত করে, এটিকে মহাবিশ্বের সীমার বাইরে নিয়ে যায়, গ্রাহাম এবং তার সহকর্মীরা হাইপারকিউবের প্রমাণে N সংখ্যার জন্য একটি উপরের সীমা হিসাবে এটি অর্জন করেছিলেন উপরে উপস্থাপিত সমস্যা। একজন সাধারণ মানুষের পক্ষে এর স্কেল কত বড় তা কল্পনা করা অত্যন্ত কঠিন।

অক্ষরের সংখ্যার প্রশ্ন, বা কখনও কখনও ভুলভাবে বলা হয়, গ্রাহামের সংখ্যায় শূন্য, প্রায় প্রত্যেকেরই আগ্রহের বিষয় যারা এই মান সম্পর্কে প্রথমবার শুনেছেন।

এটা বলাই যথেষ্ট যে আমরা একটি দ্রুত ক্রমবর্ধমান ক্রম নিয়ে কাজ করছি যা 64 জন সদস্য নিয়ে গঠিত। এমনকি এর প্রথম শব্দটি কল্পনা করাও অসম্ভব, যেহেতু এটি n "টাওয়ার" নিয়ে গঠিত, যার মধ্যে 3-টু রয়েছে। ইতিমধ্যেই এর 3 ট্রিপলের "নিচের তল" 7,625,597,484,987 এর সমান, অর্থাৎ, এটি 7 বিলিয়ন ছাড়িয়ে গেছে, যা 64 তম তলা (সদস্য নয়!) সম্পর্কে বলতে হয়। সুতরাং, গ্রাহাম সংখ্যাটি ঠিক কী তা বলা বর্তমানে অসম্ভব, কারণ এটি গণনা করার জন্য যথেষ্ট নয়।বর্তমানে পৃথিবীতে বিদ্যমান সকল কম্পিউটারের সম্মিলিত শক্তি।

রেকর্ড ভেঙেছে?

ক্রুসকালের উপপাদ্য প্রমাণ করার প্রক্রিয়ায়, গ্রাহামের সংখ্যা "তার পাদদেশ থেকে নিক্ষিপ্ত" হয়েছিল। বিজ্ঞানী নিম্নলিখিত সমস্যাটি প্রস্তাব করেছেন:

সসীম গাছের একটি অসীম ক্রম আছে। ক্রুস্কাল প্রমাণ করেছেন যে কিছু গ্রাফের একটি অংশ সর্বদা বিদ্যমান থাকে, যা একটি বড় গ্রাফের একটি অংশ এবং এর সঠিক অনুলিপি উভয়ই। এই বিবৃতিটি কোন সন্দেহ উত্থাপন করে না, কারণ এটি স্পষ্ট যে অনন্তে সর্বদা একটি সঠিক পুনরাবৃত্তি সংমিশ্রণ থাকবে৷

পরে, হার্ভে ফ্রিডম্যান এই সমস্যাটিকে কিছুটা সংকুচিত করেছেন শুধুমাত্র এই ধরনের অ্যাসাইক্লিক গ্রাফ (গাছ) বিবেচনা করে যে i সহগ সহ একটি নির্দিষ্টটির জন্য সর্বাধিক (i + k) শীর্ষবিন্দু রয়েছে। তিনি অ্যাসাইক্লিক গ্রাফের সংখ্যা কী হওয়া উচিত তা খুঁজে বের করার সিদ্ধান্ত নেন, যাতে তাদের কাজের এই পদ্ধতির সাহায্যে সর্বদা একটি সাবট্রি খুঁজে পাওয়া সম্ভব হয় যা অন্য গাছের মধ্যে এমবেড করা হবে।

এই বিষয়ে গবেষণার ফলস্বরূপ, এটি পাওয়া গেছে যে N, k-এর উপর নির্ভর করে, একটি দুর্দান্ত গতিতে বৃদ্ধি পায়। বিশেষ করে, যদি k=1 হয়, তাহলে N=3। যাইহোক, k=2 এ, N ইতিমধ্যেই 11-এ পৌঁছেছে। সবচেয়ে মজার জিনিসটি শুরু হয় যখন k=3। এই ক্ষেত্রে, N দ্রুত "টেক অফ" করে এবং এমন একটি মান পৌঁছায় যা গ্রাহাম সংখ্যার চেয়ে বহুগুণ বেশি। এটি কত বড় তা কল্পনা করার জন্য, G64 (3) আকারে রোনাল্ড গ্রাহাম দ্বারা গণনা করা সংখ্যাটি লিখতে যথেষ্ট। তারপর Friedman-Kruskal মান (rev. FinKraskal(3)), হবে G(G(187196)) এর ক্রম অনুসারে। অন্য কথায়, একটি মেগা-মান পাওয়া যায়, যা অসীমভাবে বড়একটি অকল্পনীয়ভাবে বড় গ্রাহাম সংখ্যা। একই সময়ে, এমনকি এটি একটি বিশাল সংখ্যা দ্বারা অসীম থেকে কম হবে. এই ধারণাটি সম্পর্কে আরও বিশদে কথা বলা বোধগম্য৷

ইনফিনিটি

এখন যেহেতু আমরা ব্যাখ্যা করেছি আঙ্গুলের গ্রাহাম সংখ্যা কী, আমাদের বোঝা উচিত যে এই দার্শনিক ধারণাটিতে বিনিয়োগ করা হয়েছে এবং করা হচ্ছে। সর্বোপরি, একটি নির্দিষ্ট প্রেক্ষাপটে "অসীম" এবং "একটি অসীম বৃহৎ সংখ্যা" অভিন্ন বলে বিবেচিত হতে পারে৷

এই বিষয়ের অধ্যয়নে সবচেয়ে বড় অবদান ছিল অ্যারিস্টটল। প্রাচীনত্বের মহান চিন্তাবিদ অসীমতাকে সম্ভাব্য এবং বাস্তবে ভাগ করেছেন। শেষের দ্বারা, তিনি অসীম জিনিসের অস্তিত্বের বাস্তবতা বোঝাতে চেয়েছিলেন।

অ্যারিস্টটলের মতে, এই মৌলিক ধারণা সম্পর্কে ধারণার উৎস হল:

• সময়;
• মান বিভাজন;
• সীমানার ধারণা এবং এর বাইরে কিছুর অস্তিত্ব;
• সৃজনশীল প্রকৃতির অক্ষয়তা;
• চিন্তা যার কোন সীমা নেই।

অনন্তের আধুনিক ব্যাখ্যায়, আপনি একটি পরিমাণগত পরিমাপ নির্দিষ্ট করতে পারবেন না, তাই বৃহত্তম সংখ্যার জন্য অনুসন্ধান চিরকাল চলতে পারে।

উপসংহার

রূপক "অসীম দিকে তাকান" এবং গ্রাহামের সংখ্যা কি কোনো অর্থে সমার্থক হিসাবে বিবেচিত হতে পারে? বরং হ্যাঁ এবং না। উভয়ই কল্পনা করা অসম্ভব, এমনকি শক্তিশালী কল্পনাও। যাইহোক, ইতিমধ্যে উল্লিখিত হিসাবে, এটি বিবেচনা করা যাবে না "সবচেয়ে, সর্বাধিক।" আরেকটি বিষয় হল এই মুহুর্তে, গ্রাহাম সংখ্যার চেয়ে বড় মানগুলির একটি প্রতিষ্ঠিত নেইশারীরিক অনুভূতি।

এছাড়াও, এটিতে অসীম সংখ্যার বৈশিষ্ট্য নেই, যেমন:

• ∞ + 1=∞;
• এখানে বিজোড় এবং জোড় উভয় সংখ্যারই অসীম সংখ্যা রয়েছে;
• ∞ - 1=∞;
• বিজোড় সংখ্যার সংখ্যা সব সংখ্যার ঠিক অর্ধেক;
• ∞ + ∞=∞;
• ∞/2=∞.

সংক্ষেপে বলতে গেলে: গিনেস বুক অফ রেকর্ডস অনুসারে, গাণিতিক প্রমাণের অনুশীলনে গ্রাহামের সংখ্যাটি সবচেয়ে বড় সংখ্যা। যাইহোক, এমন সংখ্যা রয়েছে যা এই মানের থেকে বহুগুণ বেশি৷

সম্ভবত, ভবিষ্যতে আরও বড় "দৈত্যদের" প্রয়োজন হবে, বিশেষ করে যদি কোনও ব্যক্তি আমাদের সৌরজগতের বাইরে চলে যায় বা আমাদের চেতনার বর্তমান স্তরে অকল্পনীয় কিছু উদ্ভাবন করে৷