সংখ্যার ডেরিভেটিভস: গণনার পদ্ধতি এবং উদাহরণ

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2024-01-02 17:42

সম্ভবত, ডেরিভেটিভের ধারণাটি স্কুল থেকেই আমাদের প্রত্যেকের কাছে পরিচিত। সাধারণত ছাত্রদের এটা বুঝতে অসুবিধা হয়, কোন সন্দেহ নেই, খুবই গুরুত্বপূর্ণ বিষয়। এটি সক্রিয়ভাবে মানুষের জীবনের বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যবহার করা হয়, এবং অনেক প্রকৌশল উন্নয়ন ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে প্রাপ্ত গাণিতিক গণনার উপর ভিত্তি করে ছিল। তবে সংখ্যার ডেরিভেটিভগুলি কী, সেগুলি কীভাবে গণনা করা যায় এবং কোথায় সেগুলি আমাদের জন্য দরকারী তা বিশ্লেষণে এগিয়ে যাওয়ার আগে, আসুন ইতিহাসে ডুবে যাই৷

ইতিহাস

ডেরিভেটিভের ধারণাটি, যা গাণিতিক বিশ্লেষণের ভিত্তি, আবিষ্কৃত হয়েছিল (এটি "আবিষ্কৃত" বলা ভাল হবে, কারণ এটি প্রকৃতিতে এমনভাবে বিদ্যমান ছিল না) আইজ্যাক নিউটন, যাকে আমরা সবাই জানি। সার্বজনীন মাধ্যাকর্ষণ আইন আবিষ্কার থেকে. তিনিই সর্বপ্রথম পদার্থবিজ্ঞানে এই ধারণাটি প্রয়োগ করেছিলেন শরীরের গতি এবং ত্বরণের প্রকৃতিকে সংযুক্ত করতে। এবং অনেক বিজ্ঞানী এখনও এই দুর্দান্ত আবিষ্কারের জন্য নিউটনের প্রশংসা করেন, কারণ আসলে তিনি ডিফারেনশিয়াল এবং ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাসের ভিত্তি আবিষ্কার করেছিলেন, আসলে, "ক্যালকুলাস" নামক গণিতের পুরো ক্ষেত্রের ভিত্তি। সেই সময়ে যদি নোবেল পুরস্কার পেতেন, তাহলে নিউটন অনেকবার উচ্চ সম্ভাবনা নিয়ে তা পেতেন।

অন্য মহান মন ছাড়া নয়। নিউটন ছাড়ালিওনহার্ড অয়লার, লুই ল্যাগ্রেঞ্জ এবং গটফ্রিড লাইবনিজের মতো বিশিষ্ট গাণিতিক প্রতিভা ডেরিভেটিভ এবং ইন্টিগ্রেলের বিকাশে কাজ করেছিলেন। এটি তাদের জন্য ধন্যবাদ যে আমরা ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের তত্ত্বটি সেই আকারে পেয়েছি যেখানে এটি আজও বিদ্যমান। যাইহোক, লিবনিজই ডেরিভেটিভের জ্যামিতিক অর্থ আবিষ্কার করেছিলেন, যা ফাংশনের গ্রাফের স্পর্শকটির ঢালের স্পর্শক ছাড়া আর কিছুই নয়।

সংখ্যার ডেরিভেটিভ কি? আসুন আমরা স্কুলে যা দিয়েছিলাম তা একটু পুনরাবৃত্তি করি।

ডেরিভেটিভ কি?

এই ধারণাটিকে বিভিন্ন উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। সবচেয়ে সহজ ব্যাখ্যা হল ডেরিভেটিভ হল ফাংশনের পরিবর্তনের হার। x এর কিছু ফাংশন y এর একটি গ্রাফ কল্পনা করুন। যদি এটি সোজা না হয়, তবে এটির গ্রাফে কিছু বক্ররেখা রয়েছে, বৃদ্ধি এবং হ্রাসের সময়কাল রয়েছে। যদি আমরা এই গ্রাফের কিছু অসীম ছোট ব্যবধান নিই, তবে এটি একটি সরল রেখার অংশ হবে। সুতরাং, y স্থানাঙ্ক বরাবর এই অসীম ক্ষুদ্র অংশের আকারের অনুপাত x স্থানাঙ্ক বরাবর আকারের সাথে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে এই ফাংশনের ডেরিভেটিভ হবে। যদি আমরা ফাংশনটিকে সম্পূর্ণরূপে বিবেচনা করি, একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে না করে, তাহলে আমরা একটি ডেরিভেটিভ ফাংশন পাব, অর্থাৎ x-এর উপর y-এর একটি নির্দিষ্ট নির্ভরতা।

এছাড়া, একটি ফাংশনের পরিবর্তনের হার হিসাবে ডেরিভেটিভের শারীরিক অর্থ ছাড়াও, একটি জ্যামিতিক অর্থও রয়েছে। আমরা এখন তার সম্পর্কে কথা বলব।

জ্যামিতিক জ্ঞান

সংখ্যার ডেরিভেটিভগুলি নিজেই একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করে, যা সঠিকভাবে বোঝা ছাড়া বহন করে নাবিন্দু নেই. এটি দেখা যাচ্ছে যে ডেরিভেটিভ শুধুমাত্র ফাংশনের বৃদ্ধি বা হ্রাসের হার দেখায় না, তবে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে ফাংশনের গ্রাফের স্পর্শকটির ঢালের স্পর্শকও দেখায়। খুব স্পষ্ট সংজ্ঞা নয়। এর আরো বিস্তারিতভাবে বিশ্লেষণ করা যাক. ধরা যাক আমাদের একটি ফাংশনের একটি গ্রাফ আছে (সুদের জন্য, আসুন একটি বক্ররেখা নেওয়া যাক)। এটির অসীম সংখ্যক বিন্দু রয়েছে, তবে এমন কিছু ক্ষেত্র রয়েছে যেখানে শুধুমাত্র একটি একক বিন্দুর সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন রয়েছে। এই ধরনের যেকোনো বিন্দুর মাধ্যমে একটি রেখা আঁকা সম্ভব যেটি সেই বিন্দুতে ফাংশনের গ্রাফের সাথে লম্ব হবে। এই ধরনের রেখাকে স্পর্শক বলা হবে। ধরা যাক আমরা এটিকে OX অক্ষের সাথে সংযোগস্থলে ব্যয় করেছি। সুতরাং, স্পর্শক এবং OX অক্ষের মধ্যে প্রাপ্ত কোণটি ডেরিভেটিভ দ্বারা নির্ধারিত হবে। আরও স্পষ্ট করে বললে, এই কোণের স্পর্শক হবে এর সমান।

আসুন বিশেষ ক্ষেত্রে কিছু কথা বলি এবং সংখ্যার ডেরিভেটিভ বিশ্লেষণ করি।

বিশেষ ক্ষেত্রে

আমরা আগেই বলেছি, সংখ্যার ডেরিভেটিভ হল একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে ডেরিভেটিভের মান। উদাহরণস্বরূপ, y=x² ফাংশনটি ধরা যাক। ডেরিভেটিভ x হল একটি সংখ্যা, এবং সাধারণ ক্ষেত্রে, 2x এর সমান একটি ফাংশন। যদি আমাদের ডেরিভেটিভ গণনা করতে হয়, বলুন, x_{0=1 বিন্দুতে, তাহলে আমরা y'(1)=21=2 পাব। সবকিছু খুব সহজ. একটি আকর্ষণীয় কেস হল একটি জটিল সংখ্যার ডেরিভেটিভ। জটিল সংখ্যা কী তার বিস্তারিত ব্যাখ্যায় আমরা যাব না। আসুন শুধু বলি যে এটি এমন একটি সংখ্যা যা তথাকথিত কাল্পনিক একক ধারণ করে - একটি সংখ্যা যার বর্গ -1। এই জাতীয় ডেরিভেটিভের গণনা কেবল নিম্নলিখিতগুলি হলেই সম্ভবশর্ত:}

1) Y এবং X এর ক্ষেত্রে বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশগুলির প্রথম ক্রম আংশিক ডেরিভেটিভ থাকতে হবে।

2) প্রথম অনুচ্ছেদে বর্ণিত আংশিক ডেরিভেটিভের সমতার সাথে যুক্ত Cauchy-Riemann শর্ত পূরণ হয়েছে৷

আরেকটি আকর্ষণীয় কেস, যদিও আগেরটির মতো জটিল নয়, একটি নেতিবাচক সংখ্যার ডেরিভেটিভ। প্রকৃতপক্ষে, যেকোনো ঋণাত্মক সংখ্যাকে -1 দ্বারা গুণিত একটি ধনাত্মক সংখ্যা হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। ঠিক আছে, ধ্রুবকের ডেরিভেটিভ এবং ফাংশন ফাংশনের ডেরিভেটিভ দ্বারা ধ্রুবক গুণিত হওয়ার সমান।

দৈনন্দিন জীবনে ডেরিভেটিভের ভূমিকা সম্পর্কে জানতে আকর্ষণীয় হবে, এবং আমরা এখন এটি নিয়ে আলোচনা করব।

আবেদন

সম্ভবত, আমরা প্রত্যেকে তার জীবনে অন্তত একবার নিজেকে ধরে ফেলি যে গণিত তার পক্ষে কার্যকর হওয়ার সম্ভাবনা কম। এবং একটি ডেরিভেটিভ হিসাবে যেমন একটি জটিল জিনিস, সম্ভবত, কোন প্রয়োগ নেই. প্রকৃতপক্ষে, গণিত একটি মৌলিক বিজ্ঞান, এবং এর সমস্ত ফল প্রধানত পদার্থবিদ্যা, রসায়ন, জ্যোতির্বিদ্যা এবং এমনকি অর্থনীতি দ্বারা বিকশিত হয়। ডেরিভেটিভটি ছিল গাণিতিক বিশ্লেষণের সূচনা, যা আমাদের ফাংশনগুলির গ্রাফ থেকে সিদ্ধান্তে আঁকতে সক্ষম হয়েছিল এবং আমরা প্রকৃতির নিয়মগুলিকে ব্যাখ্যা করতে শিখেছি এবং সেগুলিকে আমাদের সুবিধার দিকে নিয়ে যেতে শিখেছি৷

উপসংহার

অবশ্যই, প্রত্যেকেরই বাস্তব জীবনে ডেরিভেটিভের প্রয়োজন নাও হতে পারে। কিন্তু গণিত যুক্তি বিকাশ করে, যা অবশ্যই প্রয়োজন হবে। এটা অকারণে নয় যে গণিতকে বিজ্ঞানের রানী বলা হয়: এটি জ্ঞানের অন্যান্য ক্ষেত্র বোঝার ভিত্তি তৈরি করে।