অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য। অনির্দিষ্ট অখণ্ডের গণনা

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2024-01-15 17:21

গাণিতিক বিশ্লেষণের মৌলিক বিভাগগুলির মধ্যে একটি হল অবিচ্ছেদ্য ক্যালকুলাস। এটি বস্তুর প্রশস্ত ক্ষেত্রকে কভার করে, যেখানে প্রথমটি অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য। এটিকে একটি চাবিকাঠি হিসাবে স্থাপন করা মূল্যবান, যা এমনকি উচ্চ বিদ্যালয়ে উচ্চতর গণিত বর্ণনা করে এমন দৃষ্টিকোণ এবং সুযোগের ক্রমবর্ধমান সংখ্যা প্রকাশ করে৷

আবির্ভাব

প্রথম নজরে, অবিচ্ছেদ্যটি একেবারে আধুনিক, প্রাসঙ্গিক বলে মনে হয়, কিন্তু বাস্তবে দেখা যাচ্ছে যে এটি 1800 খ্রিস্টপূর্বাব্দের প্রথম দিকে আবির্ভূত হয়েছিল। মিশরকে আনুষ্ঠানিকভাবে মাতৃভূমি হিসাবে বিবেচনা করা হয়, কারণ এর অস্তিত্বের পূর্বের প্রমাণ আমাদের কাছে পৌঁছায়নি। তিনি, তথ্যের অভাবের কারণে, এই সমস্ত সময় কেবল একটি ঘটনা হিসাবে অবস্থান করেছিলেন। তিনি আবারও সেই সময়ের মানুষের মধ্যে বিজ্ঞানের বিকাশের স্তর নিশ্চিত করেছিলেন। অবশেষে, খ্রিস্টপূর্ব ৪র্থ শতাব্দীর প্রাচীন গ্রীক গণিতবিদদের কাজ পাওয়া গেছে। তারা এমন একটি পদ্ধতি বর্ণনা করেছে যেখানে একটি অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য ব্যবহার করা হয়েছিল, যার সারমর্মটি ছিল একটি বক্ররেখা চিত্রের আয়তন বা ক্ষেত্রফল (ত্রিমাত্রিক)এবং যথাক্রমে দ্বি-মাত্রিক সমতল)। গণনার নীতিটি মূল চিত্রটিকে অসীম উপাদানগুলিতে বিভক্ত করার উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়েছিল, তবে শর্ত থাকে যে তাদের আয়তন (ক্ষেত্রফল) ইতিমধ্যেই পরিচিত। সময়ের সাথে সাথে, পদ্ধতিটি বেড়েছে, আর্কিমিডিস এটি একটি প্যারাবোলার ক্ষেত্র খুঁজে বের করতে ব্যবহার করেছিলেন। অনুরূপ গণনা একই সময়ে প্রাচীন চীনের বিজ্ঞানীরা করেছিলেন, এবং তারা বিজ্ঞানে তাদের গ্রীক সমকক্ষদের থেকে সম্পূর্ণ স্বাধীন ছিল।

উন্নয়ন

খ্রিস্টীয় 11 শতকের পরবর্তী অগ্রগতি ছিল আরব বিজ্ঞানী- "সর্বজনীন" আবু আলী আল-বসরীর কাজ, যিনি ইতিমধ্যে যা জানা ছিল তার সীমানা ঠেলে দিয়েছিলেন, যোগফল গণনার জন্য অখণ্ডের উপর ভিত্তি করে সূত্র তৈরি করেছিলেন। প্রথম থেকে চতুর্থ পর্যন্ত সারি এবং ক্ষমতার যোগফল, এর জন্য প্রয়োগ করা গাণিতিক আনয়নের পদ্ধতিটি আমাদের কাছে পরিচিত।

আধুনিক যুগের মন তারিফ করে যে কীভাবে প্রাচীন মিশরীয়রা তাদের হাত ছাড়া কোনো বিশেষ যন্ত্র ছাড়াই আশ্চর্যজনক স্থাপত্য নিদর্শন তৈরি করেছিল, কিন্তু সেই সময়ের বিজ্ঞানীদের মনের শক্তি কি অলৌকিক কিছু কম নয়? আজকের তুলনায়, তাদের জীবন প্রায় আদিম বলে মনে হয়, তবে অনির্দিষ্ট অখণ্ডের সমাধান সর্বত্র উদ্ভূত হয়েছিল এবং আরও বিকাশের জন্য অনুশীলনে ব্যবহৃত হয়েছিল।

পরবর্তী পদক্ষেপটি 16 শতকে সংঘটিত হয়েছিল, যখন ইতালীয় গণিতবিদ ক্যাভালিয়ারি অবিভাজ্য পদ্ধতির বিকাশ করেছিলেন, যা পিয়েরে ফার্মাট দ্বারা বাছাই করা হয়েছিল। এই দুই ব্যক্তিত্বই আধুনিক অখণ্ড ক্যালকুলাসের ভিত্তি স্থাপন করেছিলেন, যা এই মুহূর্তে পরিচিত। তারা পার্থক্য এবং একীকরণের ধারণাগুলিকে সংযুক্ত করেছিল, যা আগে ছিলস্বায়ত্তশাসিত ইউনিট হিসাবে বিবেচিত। সর্বোপরি, সেই সময়ের গণিতগুলি খণ্ডিত ছিল, উপসংহারের কণাগুলি তাদের নিজস্বভাবে বিদ্যমান ছিল, একটি সীমিত সুযোগ রয়েছে। একীকরণের পথ এবং সাধারণ স্থলের সন্ধানের পথই সেই সময়ে একমাত্র সত্য ছিল, যার কারণে আধুনিক গাণিতিক বিশ্লেষণ বৃদ্ধি ও বিকাশের সুযোগ পেয়েছিল৷

অখণ্ডের স্বরলিপি সহ সময়ের সাথে সাথে সবকিছুই পরিবর্তিত হয়েছে। সর্বোপরি, বিজ্ঞানীরা এটিকে সব উপায়ে চিহ্নিত করেছেন, উদাহরণস্বরূপ, নিউটন একটি বর্গাকার আইকন ব্যবহার করেছিলেন যেখানে তিনি একটি সংহত ফাংশন স্থাপন করেছিলেন বা এটিকে কেবল এটির পাশে রেখেছিলেন৷

এই অসঙ্গতি 17 শতক পর্যন্ত অব্যাহত ছিল, যখন বিজ্ঞানী গটফ্রাইড লিবনিজ, গাণিতিক বিশ্লেষণের সমগ্র তত্ত্বের জন্য একটি ল্যান্ডমার্ক, আমাদের কাছে এত পরিচিত প্রতীকটি চালু করেছিলেন। দীর্ঘায়িত "S" প্রকৃতপক্ষে ল্যাটিন বর্ণমালার এই অক্ষরের উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়েছে, কারণ এটি অ্যান্টিডেরিভেটিভের যোগফলকে নির্দেশ করে। 15 বছর পর জ্যাকব বার্নোলির জন্য এই অখণ্ড নামটি পেয়েছে।

আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য সরাসরি অ্যান্টিডেরিভেটিভের সংজ্ঞার উপর নির্ভর করে, তাই প্রথমে এটি বিবেচনা করা যাক।

একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ একটি ফাংশন যা একটি ডেরিভেটিভের বিপরীত, বাস্তবে এটিকে আদিমও বলা হয়। অন্যথায়: একটি ফাংশন d এর অ্যান্টিডেরিভেটিভ হল একটি ফাংশন D যার ডেরিভেটিভ v V'=v এর সমান। অ্যান্টিডেরিভেটিভের জন্য অনুসন্ধান হল অনির্দিষ্ট অখণ্ডের গণনা, এবং এই প্রক্রিয়াটিকেই ইন্টিগ্রেশন বলা হয়৷

উদাহরণ:

ফাংশন s(y)=y³, এবং এর অ্যান্টিডেরিভেটিভ S(y)=(y^4/4)।

বিবেচনাধীন ফাংশনের সমস্ত অ্যান্টিডেরিভেটিভের সেট হল অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য, এটি নিম্নরূপ চিহ্নিত করা হয়েছে: ∫v(x)dx.

V(x) মূল ফাংশনের কিছু অ্যান্টিডেরিভেটিভ হওয়ার কারণে, অভিব্যক্তিটি ঘটে: ∫v(x)dx=V(x) + C, যেখানে C একটি ধ্রুবক। একটি নির্বিচারে ধ্রুবক হল যেকোনো ধ্রুবক, যেহেতু এর ডেরিভেটিভ শূন্যের সমান।

বৈশিষ্ট্য

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য বৈশিষ্ট্যগুলি মূল সংজ্ঞা এবং ডেরিভেটিভের বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে।

আসুন মূল পয়েন্টগুলো দেখি:

• অ্যান্টিডেরিভেটিভের ডেরিভেটিভ থেকে অবিচ্ছেদ্য হল অ্যান্টিডেরিভেটিভ নিজেই এবং একটি নির্বিচারে ধ্রুবক С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
• ফাংশন ইন্টিগ্রালের ডেরিভেটিভ হল আসল ফাংশন (∫v(x)dx)'=v(x);
• ধ্রুবকটি অবিচ্ছেদ্য চিহ্নের নীচে থেকে বের করা হয় ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx, যেখানে k হয় নির্বিচারে;
• সমষ্টি থেকে নেওয়া অখণ্ডটি ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy এর সমষ্টির সমান।

শেষ দুটি বৈশিষ্ট্য থেকে, আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্যটি রৈখিক। এর জন্য ধন্যবাদ, আমাদের আছে: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy।

একত্রীকরণের জন্য, অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য সমাধানের উদাহরণ বিবেচনা করুন।

এটা অখণ্ড ∫(3sinx + 4cosx)dx খুঁজে বের করা প্রয়োজন:

∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx + C. 3

উদাহরণ থেকে আমরা উপসংহারে আসতে পারি:অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য সমাধান কিভাবে জানেন না? শুধু সব আদিম খুঁজে! তবে অনুসন্ধানের নীতিগুলি নীচে বিবেচনা করা হবে৷

পদ্ধতি এবং উদাহরণ

অখণ্ড সমাধান করতে, আপনি নিম্নলিখিত পদ্ধতিগুলি অবলম্বন করতে পারেন:

• প্রস্তুত টেবিল ব্যবহার করুন;
• অংশ দ্বারা সংহত;
• ভেরিয়েবল পরিবর্তন করে ইন্টিগ্রেট করুন;
• ডিফারেনশিয়াল সাইনের অধীনে আনা হচ্ছে।

টেবিল

সবচেয়ে সহজ এবং সবচেয়ে উপভোগ্য উপায়। এই মুহুর্তে, গাণিতিক বিশ্লেষণে বেশ বিস্তৃত টেবিল রয়েছে যেখানে অনির্দিষ্ট অখণ্ডের মৌলিক সূত্রগুলি লেখা আছে। অন্য কথায়, এমন টেমপ্লেট রয়েছে যা আপনার আগে এবং আপনার জন্য তৈরি করা হয়েছে, এটি শুধুমাত্র সেগুলি ব্যবহার করার জন্যই রয়ে গেছে। এখানে মূল সারণী অবস্থানের একটি তালিকা রয়েছে যেখানে আপনি প্রায় প্রতিটি উদাহরণ পেতে পারেন যার সমাধান রয়েছে:

• ∫0dy=C, যেখানে C একটি ধ্রুবক;
• ∫dy=y + C, যেখানে C একটি ধ্রুবক;
• ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, যেখানে C একটি ধ্রুবক এবং n - নন-এক নম্বর;
• ∫(1/y)dy=ln|y| + C, যেখানে C একটি ধ্রুবক;
• ∫e^ydy=e^{y + C, যেখানে C একটি ধ্রুবক;}
• ∫k^ydy=(ky^{/ln k) + C, যেখানে C একটি ধ্রুবক;}
• ∫কোসিডি=সাইনি + সি, যেখানে সি একটি ধ্রুবক;
• ∫sinydy=-আরাম + C, যেখানে C একটি ধ্রুবক;
• ∫dy/cos2y=tgy + C, যেখানে C একটি ধ্রুবক;
• ∫dy/sin2y=-ctgy + C, যেখানে C একটি ধ্রুবক;
• ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, যেখানে C একটি ধ্রুবক;
• ∫chydy=লাজুক + সি, যেখানে সি -ধ্রুবক;
• ∫shydy=chy + C, যেখানে C একটি ধ্রুবক।

যদি প্রয়োজন হয়, কয়েকটি পদক্ষেপ নিন, ইন্টিগ্র্যান্ডকে একটি সারণী আকারে আনুন এবং বিজয় উপভোগ করুন। উদাহরণ: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.

সমাধান অনুসারে, এটা স্পষ্ট যে টেবুলার উদাহরণের জন্য, ইন্টিগ্র্যান্ডে 5 এর একটি গুণনীয়ক নেই। আমরা এটিকে যোগ করি, সমান্তরালে এটিকে 1/5 দ্বারা গুণ করি যাতে সাধারণ অভিব্যক্তি পরিবর্তন না হয়।

অংশ দ্বারা ইন্টিগ্রেশন

দুটি ফাংশন বিবেচনা করুন - z(y) এবং x(y)। সংজ্ঞার সমগ্র ডোমেনের উপর তাদের অবশ্যই ক্রমাগত পার্থক্য করা উচিত। পার্থক্য বৈশিষ্ট্যগুলির একটি অনুসারে, আমাদের রয়েছে: d(xz)=xdz + zdx। সমীকরণের উভয় অংশকে একীভূত করলে, আমরা পাই: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz।

ফলিত সমতা পুনর্লিখন করে, আমরা একটি সূত্র পাই যা অংশ দ্বারা একীকরণের পদ্ধতি বর্ণনা করে: ∫zdx=zx - ∫xdz।

এটা কেন দরকার? মোদ্দা কথা হল যে কিছু উদাহরণ সরলীকৃত করা যেতে পারে, শর্তসাপেক্ষে বলতে গেলে, ∫zdx-কে ∫xdz-এ কমিয়ে দিন যদি পরেরটি ট্যাবুলার ফর্মের কাছাকাছি হয়। এছাড়াও, এই সূত্রটি একাধিকবার প্রয়োগ করা যেতে পারে, সর্বোত্তম ফলাফল অর্জন করে৷

এইভাবে কীভাবে অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য সমাধান করবেন:

গণনা করতে হবে ∫(s + 1)e2sds

∫(x + 1)e^2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e^2s, dy=e^2xds}=((s+1)e^2s) / 2-1/2∫e^2s dx=((s+1)e^2s) / 2-e^2s/4+ C;

হিসাব করতে হবে ∫lnsds

∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + গ.

ভেরিয়েবল প্রতিস্থাপন

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য সমাধানের এই নীতিটি আগের দুটির চেয়ে কম চাহিদা নয়, যদিও এটি আরও জটিল। পদ্ধতিটি নিম্নরূপ: যাক V(x) কিছু ফাংশন v(x) এর অবিচ্ছেদ্য অংশ। ইভেন্টে যে উদাহরণে অখণ্ডটি নিজেই জটিল হিসাবে জুড়ে আসে, সেখানে বিভ্রান্ত হওয়ার এবং সমাধানের ভুল পথ নেওয়ার উচ্চ সম্ভাবনা রয়েছে। এটি এড়ানোর জন্য, পরিবর্তনশীল x থেকে z-এ রূপান্তর অনুশীলন করা হয়, যেখানে x-এর উপর z-এর নির্ভরতা বজায় রেখে সাধারণ অভিব্যক্তিটি দৃশ্যত সরলীকৃত হয়।

গাণিতিকভাবে এটি এইরকম দেখায়: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y^{-1(x)), যেখানে x=y(z) একটি প্রতিস্থাপন। এবং, অবশ্যই, ইনভার্স ফাংশন z=y}-1^{(x) সম্পূর্ণরূপে ভেরিয়েবলের নির্ভরতা এবং সম্পর্ক বর্ণনা করে। গুরুত্বপূর্ণ দ্রষ্টব্য - ডিফারেনশিয়াল dx অগত্যা একটি নতুন ডিফারেনশিয়াল dz দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়, যেহেতু অনির্দিষ্ট অখণ্ডের মধ্যে একটি পরিবর্তনশীল প্রতিস্থাপনের অর্থ সর্বত্র এটির প্রতিস্থাপন বোঝায়, শুধুমাত্র ইন্টিগ্র্যান্ডে নয়৷}

উদাহরণ:

খুঁজতে হবে ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds

প্রতিস্থাপন z=(s+1)/(s2+2s-5) প্রয়োগ করুন। তারপর dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2। ফলস্বরূপ, আমরা নিম্নলিখিত অভিব্যক্তি পাই, যা গণনা করা খুব সহজ:

∫(s+1)/(s²+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s^2+2s-5|+C;

অখণ্ড খুঁজে বের করতে হবে∫2^se^sdx

সমাধান করতে, আমরা নিম্নলিখিত আকারে অভিব্যক্তিটি পুনরায় লিখি:

∫2^se^sds=∫(2e)^sds।

a=2e দ্বারা চিহ্নিত করুন (এই পদক্ষেপটি যুক্তির প্রতিস্থাপন নয়, এটি এখনও s), আমরা আমাদের আপাতদৃষ্টিতে জটিল অবিচ্ছেদ্য একটি প্রাথমিক সারণী ফর্মে নিয়ে এসেছি:

∫(2e)^sds=∫a^sds=as ^{/ lna + C=(2e)}s ^{/ ln(2e) + C=2}s^es ^{/ ln(2 + lne) + C=2}s^es ^{/ (ln2 + 1) + C.}

ডিফারেনশিয়াল সাইনের আওতায় আনা

মোটামুটিভাবে, অনির্দিষ্ট অখণ্ডের এই পদ্ধতিটি পরিবর্তনশীল পরিবর্তন নীতির একটি যমজ ভাই, তবে নকশা প্রক্রিয়ার মধ্যে পার্থক্য রয়েছে। আসুন আরও ঘনিষ্ঠভাবে দেখা যাক।

যদি ∫v(x)dx=V(x) + C এবং y=z(x), তাহলে ∫v(y)dy=V(y) + C.

এই ক্ষেত্রে, একজনকে তুচ্ছ অবিচ্ছেদ্য রূপান্তরগুলি ভুলে যাওয়া উচিত নয়, যার মধ্যে:

• dx=d(x + a), যেখানে a যেকোনো ধ্রুবক;
• dx=(1 / a)d(ax + b), যেখানে a আবার একটি ধ্রুবক, কিন্তু শূন্যের সমান নয়;
• xdx=1/2d(x2 + b);
• sinxdx=-d(cosx);
• cosxdx=d(sinx)।

যদি আমরা অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য গণনা করার সময় সাধারণ ক্ষেত্রে বিবেচনা করি, উদাহরণগুলি সাধারণ সূত্র w'(x)dx=dw(x) এর অধীনে সংক্ষিপ্ত করা যেতে পারে।

উদাহরণ:

খুঁজতে হবে ∫(2s + 3)²ds, ds=1/2d(2s + 3)

∫(2s + 3)²ds=1/2∫(2s + 3)²d(2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)²) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)^{2 + C;}

∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + গ.

অনলাইন সহায়তা

কিছু ক্ষেত্রে, যার দোষ হয় অলসতা বা জরুরী প্রয়োজন হতে পারে, আপনি অনলাইন টিপস ব্যবহার করতে পারেন, বা বরং, অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য ক্যালকুলেটর ব্যবহার করতে পারেন। সমস্ত আপাত জটিলতা এবং পূর্ণাঙ্গগুলির বিতর্কিততা সত্ত্বেও, তাদের সমাধান একটি নির্দিষ্ট অ্যালগরিদমের সাপেক্ষে, যা নীতির উপর ভিত্তি করে "যদি না হয় …, তাহলে …"।

অবশ্যই, এই জাতীয় ক্যালকুলেটর বিশেষ করে জটিল উদাহরণগুলি আয়ত্ত করতে পারবে না, কারণ এমন কিছু ক্ষেত্রে রয়েছে যেখানে সমাধানটি কৃত্রিমভাবে খুঁজে বের করতে হবে, প্রক্রিয়ার কিছু উপাদানকে "জোর করে" প্রবর্তন করতে হবে, কারণ ফলাফলটি স্পষ্টভাবে অর্জন করা যায় না। উপায় এই বিবৃতির সমস্ত বিতর্ক সত্ত্বেও, এটি সত্য, যেহেতু গণিত, নীতিগতভাবে, একটি বিমূর্ত বিজ্ঞান, এবং সম্ভাব্যতার সীমানা প্রসারিত করার প্রয়োজনীয়তাকে তার প্রাথমিক কাজ হিসাবে বিবেচনা করে। প্রকৃতপক্ষে, মসৃণ, রান-ইন তত্ত্ব অনুসারে উপরে যাওয়া এবং বিকাশ করা অত্যন্ত কঠিন, তাই আপনার অনুমান করা উচিত নয় যে আমরা যে অনির্দিষ্ট অখণ্ডগুলিকে সমাধান করেছি সেগুলি সম্ভাবনার উচ্চতা। কিন্তু জিনিসের প্রযুক্তিগত দিকে ফিরে. কমপক্ষে গণনা পরীক্ষা করার জন্য, আপনি সেই পরিষেবাগুলি ব্যবহার করতে পারেন যেখানে আমাদের আগে সবকিছু লেখা ছিল। যদি একটি জটিল অভিব্যক্তির স্বয়ংক্রিয় গণনা করার প্রয়োজন হয়, তবে সেগুলিকে বিতরণ করা যাবে না, আপনাকে আরও গুরুতর সফ্টওয়্যার অবলম্বন করতে হবে। ম্যাটল্যাব পরিবেশের দিকে সবার আগে মনোযোগ দেওয়া উচিত৷

আবেদন

প্রথম নজরে অনির্দিষ্ট অখণ্ডের সমাধানটি বাস্তবের সাথে সম্পূর্ণরূপে স্পর্শের বাইরে বলে মনে হচ্ছে, কারণ এটি প্রয়োগের সুস্পষ্ট ক্ষেত্রগুলি দেখা কঠিন। প্রকৃতপক্ষে, এগুলি সরাসরি কোথাও ব্যবহার করা যায় না, তবে অনুশীলনে ব্যবহৃত সমাধানগুলি বের করার প্রক্রিয়াতে এগুলি একটি প্রয়োজনীয় মধ্যবর্তী উপাদান হিসাবে বিবেচিত হয়। সুতরাং, একীকরণ হল পার্থক্যের বিপরীত, যার কারণে এটি সক্রিয়ভাবে সমীকরণ সমাধানের প্রক্রিয়ায় অংশগ্রহণ করে।

পরিবর্তনে, এই সমীকরণগুলি যান্ত্রিক সমস্যার সমাধান, ট্র্যাজেক্টরি এবং তাপ পরিবাহিতা গণনার উপর সরাসরি প্রভাব ফেলে - সংক্ষেপে, সবকিছু যা বর্তমানকে তৈরি করে এবং ভবিষ্যতের আকার দেয়। অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য, যার উদাহরণ আমরা উপরে পরীক্ষা করেছি, শুধুমাত্র প্রথম নজরে তুচ্ছ, কারণ এটি আরও নতুন আবিষ্কারের ভিত্তি৷