গণিত একটি ধাঁধার মত। এটি একটি কলামে ভাগ এবং গুণের জন্য বিশেষভাবে সত্য। স্কুলে, এই ক্রিয়াগুলি সহজ থেকে জটিল পর্যন্ত অধ্যয়ন করা হয়। অতএব, সহজ উদাহরণ ব্যবহার করে উপরের ক্রিয়াকলাপগুলি সম্পাদন করার জন্য অবশ্যই অ্যালগরিদম আয়ত্ত করা প্রয়োজন। যাতে পরবর্তীতে দশমিক ভগ্নাংশকে কলামে ভাগ করতে কোনো অসুবিধা না হয়। সর্বোপরি, এটি এই ধরনের কাজের সবচেয়ে কঠিন সংস্করণ।
যারা গণিতে ভালো হতে চান তাদের জন্য পরামর্শ
এই বিষয়ের জন্য ধারাবাহিক অধ্যয়ন প্রয়োজন। জ্ঞানের ফাঁক এখানে অগ্রহণযোগ্য। এই নীতিটি ইতিমধ্যেই প্রথম শ্রেণিতে থাকা প্রতিটি শিক্ষার্থীর শেখা উচিত। অতএব, আপনি যদি একটি সারিতে বেশ কয়েকটি পাঠ এড়িয়ে যান তবে আপনাকে উপাদানটি নিজেই আয়ত্ত করতে হবে। অন্যথায়, পরবর্তীতে শুধুমাত্র গণিত নয়, এর সাথে সম্পর্কিত অন্যান্য বিষয়েও সমস্যা হবে।
গণিতের সফল অধ্যয়নের দ্বিতীয় পূর্বশর্ত হল যোগ, বিয়োগ ও গুণ আয়ত্ত করার পরেই দীর্ঘ ভাগের উদাহরণে যাওয়া।
শিশুযদি সে গুণের সারণী না শিখে থাকে তবে ভাগ করা কঠিন হবে। যাইহোক, পিথাগোরিয়ান টেবিল থেকে এটি শিখতে ভাল। অপ্রয়োজনীয় কিছু নেই, এবং এই ক্ষেত্রে গুন হজম করা সহজ।
একটি কলামে প্রাকৃতিক সংখ্যাকে কীভাবে গুণ করা হয়?
ভাগ এবং গুণের জন্য একটি কলামে উদাহরণ সমাধান করতে অসুবিধা হলে, গুণ দিয়ে সমস্যাটি সমাধান করা শুরু করতে হবে। কারণ ভাগ হল গুণের বিপরীত:
- আপনি দুটি সংখ্যা গুণ করার আগে, আপনাকে তাদের মনোযোগ সহকারে দেখতে হবে। আরও সংখ্যা (দীর্ঘ) সহ একটি চয়ন করুন, প্রথমে এটি লিখুন। এটির নীচে দ্বিতীয়টি রাখুন। তদুপরি, সংশ্লিষ্ট বিভাগের নম্বরগুলি একই বিভাগের অধীনে হওয়া উচিত। অর্থাৎ, প্রথম সংখ্যার ডানদিকের সংখ্যাটি দ্বিতীয়টির ডানদিকের সংখ্যার উপরে হওয়া উচিত।
- ডান দিক থেকে শুরু করে উপরের সংখ্যার প্রতিটি সংখ্যা দিয়ে নীচের সংখ্যার ডানদিকের সংখ্যাকে গুণ করুন। লাইনের নীচে উত্তরটি লিখুন যাতে এর শেষ অঙ্কটি আপনি যেটির দ্বারা গুণ করেছেন তার নীচে থাকে৷
- নিচের সংখ্যার অন্যান্য সংখ্যার সাথে একই পুনরাবৃত্তি করুন। কিন্তু গুণের ফলাফল বাম দিকে এক অঙ্ক স্থানান্তর করা আবশ্যক. এই ক্ষেত্রে, এটির শেষ সংখ্যাটি একটির নীচে থাকবে যার দ্বারা এটি গুণ করা হয়েছিল৷
দ্বিতীয় গুণকের সংখ্যা শেষ না হওয়া পর্যন্ত একটি কলামে এই গুণনটি চালিয়ে যান। এখন তাদের ভাঁজ করা দরকার। এটাই হবে কাঙ্ক্ষিত উত্তর।
দশমিক ভগ্নাংশের একটি কলামে গুণ করার জন্য অ্যালগরিদম
প্রথম, এটি কল্পনা করা উচিত যে দশমিক ভগ্নাংশ দেওয়া হয় না, তবে প্রাকৃতিক। অর্থাৎ, তাদের থেকে কমাগুলি সরান এবং তারপরে পূর্বে বর্ণিত হিসাবে এগিয়ে যানকেস।
উত্তরটি রেকর্ড করা হলে পার্থক্য শুরু হয়। এই মুহুর্তে, উভয় ভগ্নাংশে দশমিক বিন্দুর পরে থাকা সমস্ত সংখ্যা গণনা করা প্রয়োজন। উত্তরের শেষ থেকে আপনাকে তাদের কতগুলি গণনা করতে হবে এবং সেখানে একটি কমা লাগাতে হবে৷
এই অ্যালগরিদমটিকে একটি উদাহরণ দিয়ে ব্যাখ্যা করা সুবিধাজনক: 0.25 x 0.33:
- এই ভগ্নাংশগুলি লিখুন যাতে 33 নম্বরটি 25 এর নিচে হয়।
- এখন ডান ট্রিপলকে 25 দ্বারা গুণ করতে হবে। এটি 75 হিসাবে দেখা যাচ্ছে। এটি এমনভাবে লিখতে হবে যাতে পাঁচটি সেই ট্রিপলের নিচে থাকে যার দ্বারা গুণ করা হয়েছিল।
- তারপর 25 কে প্রথম 3 দ্বারা গুণ করুন। আবার এটি 75 হবে, কিন্তু এটি এমনভাবে লেখা হবে যাতে 5 আগের সংখ্যার 7 এর নিচে হয়।
- এই দুটি সংখ্যা যোগ করার পর, আমরা 825 পাই। দশমিক ভগ্নাংশে, 4 সংখ্যা কমা দ্বারা পৃথক করা হয়। অতএব, উত্তরে, আপনাকে অবশ্যই কমা দিয়ে 4টি সংখ্যা আলাদা করতে হবে। কিন্তু তাদের মধ্যে আছে মাত্র তিনজন। এটি করার জন্য, আপনাকে 8 এর আগে 0 লিখতে হবে, একটি কমা দিতে হবে, এর আগে আরেকটি 0।
- উদাহরণে উত্তরটি হবে 0, 0825 নম্বর।
কীভাবে ভাগ করা শেখা শুরু করবেন?
দীর্ঘ ভাগের উদাহরণ সমাধান করার আগে, আপনার ভাগের উদাহরণে ব্যবহৃত সংখ্যার নাম মনে রাখা উচিত। তাদের মধ্যে প্রথমটি (যেটি বিভাজ্য) বিভাজ্য। দ্বিতীয়টি (এতে বিভক্ত) একটি ভাজক। উত্তরটি একটি ভাগফল।
তারপর, একটি সাধারণ দৈনন্দিন উদাহরণ ব্যবহার করে, আমরা এই গাণিতিক অপারেশনটির সারমর্ম ব্যাখ্যা করব। উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি 10টি মিষ্টি গ্রহণ করেন, তবে সেগুলিকে মা এবং বাবার মধ্যে সমানভাবে ভাগ করা সহজ। কিন্তু আপনার যদি সেগুলি আপনার পিতামাতা এবং ভাইয়ের মধ্যে বিতরণ করার প্রয়োজন হয় তবে কী করবেন?
তারপর, আপনি নিয়মগুলির সাথে পরিচিত হতে পারেনবিভাগ এবং নির্দিষ্ট উদাহরণ দিয়ে তাদের মাস্টার. প্রথমে সহজ এবং তারপরে আরও জটিলগুলির দিকে এগিয়ে যান৷
একটি কলামে সংখ্যা ভাগ করার জন্য অ্যালগরিদম
প্রথম, আমরা একটি একক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য প্রাকৃতিক সংখ্যার পদ্ধতি উপস্থাপন করি। তারা বহু-সংখ্যার ভাজক বা দশমিক ভগ্নাংশের ভিত্তিও হবে। শুধুমাত্র তখনই ছোটখাটো পরিবর্তন করার কথা, কিন্তু পরে আরও কিছু পরিবর্তন করা হবে:
- লং ডিভিশন করার আগে, আপনাকে লভ্যাংশ এবং ভাজক কোথায় তা খুঁজে বের করতে হবে।
- লভ্যাংশ লিখ। এর ডানদিকে রয়েছে ভাজক।
- শেষ কোণার কাছে বাম এবং নীচে আঁকুন।
- অসম্পূর্ণ লভ্যাংশ নির্ধারণ করুন, অর্থাৎ, বিভাজনের জন্য সর্বনিম্ন সংখ্যা হবে। সাধারণত এটি একটি সংখ্যা নিয়ে থাকে, সর্বাধিক দুটি।
- যে নম্বরটি উত্তরে প্রথম লেখা হবে সেটি বেছে নিন। এটি অবশ্যই লভ্যাংশে ভাজক যতবার ফিট করবে তার সংখ্যা হতে হবে।
- এই সংখ্যাটিকে ভাজক দ্বারা গুণ করার ফলাফল লিখুন।
- অসম্পূর্ণ ভাজকের নিচে লিখুন। বিয়োগ করুন।
- ইতিমধ্যে বিভক্ত অংশের পরে প্রথম অঙ্কটি সরান।
- আবার উত্তর নিন।
- গুন এবং বিয়োগের পুনরাবৃত্তি করুন। যদি অবশিষ্ট শূন্য হয় এবং লভ্যাংশ শেষ হয়, তাহলে উদাহরণটি করা হয়। অন্যথায়, পদক্ষেপগুলি পুনরাবৃত্তি করুন: সংখ্যাটি ভেঙে ফেলুন, সংখ্যাটি বেছে নিন, গুণ করুন, বিয়োগ করুন।
ভাজকের একাধিক সংখ্যা থাকলে দীর্ঘ বিভাজন কীভাবে সমাধান করবেন?
অ্যালগরিদম নিজেই উপরে বর্ণিত বিষয়ের সাথে পুরোপুরি মিলে যায়। পার্থক্যটি অসম্পূর্ণ লভ্যাংশের সংখ্যার সংখ্যা হবে। তাদেরএখন কমপক্ষে দুটি হওয়া উচিত, তবে যদি সেগুলি ভাজকের থেকে কম হয়, তবে এটি প্রথম তিনটি সংখ্যার সাথে কাজ করার কথা।
এই বিভাগে আরও একটি সূক্ষ্মতা রয়েছে। আসল বিষয়টি হল যে অবশিষ্টাংশ এবং চিত্রটি এটিতে বাহিত হয় কখনও কখনও একটি ভাজক দ্বারা বিভাজ্য হয় না। তারপর এটি ক্রমানুসারে আরো একটি চিত্র বৈশিষ্ট্য অনুমিত হয়. কিন্তু একই সময়ে, উত্তর শূন্য হতে হবে। যদি তিন-সংখ্যার সংখ্যাগুলিকে একটি কলামে ভাগ করা হয়, তাহলে দুই সংখ্যার বেশি ভেঙে ফেলার প্রয়োজন হতে পারে। তারপরে একটি নিয়ম চালু করা হয়: উত্তরে শূন্যের সংখ্যা কম হওয়া উচিত।
আপনি উদাহরণ ব্যবহার করে এমন একটি বিভাগ বিবেচনা করতে পারেন - 12082: 863.
- এটিতে অসম্পূর্ণ বিভাজ্য সংখ্যাটি হল 1208 নম্বর। এতে 863 নম্বরটি শুধুমাত্র একবার বসানো হয়েছে। অতএব, উত্তরে, 1 বসাতে হবে এবং 1208-এর নিচে 863 লিখতে হবে।
- বিয়োগ করার পর অবশিষ্ট থাকে ৩৪৫।
- আপনাকে এটিতে ২ নম্বরটি ভেঙে দিতে হবে।
- 3452 নম্বরটি চার গুণ 863 ফিট করে।
- চারটি অবশ্যই উত্তরে লিখতে হবে। তাছাড়া, 4 দিয়ে গুণ করলে এই সংখ্যাটি পাওয়া যায়।
- বিয়োগের পর অবশিষ্ট থাকে শূন্য। অর্থাৎ বিভাজন শেষ।
উদাহরণে উত্তরটি হবে 14 নম্বর।
লভ্যাংশ শূন্যে শেষ হলে কী হবে?
বা কিছু শূন্য? এই ক্ষেত্রে, একটি শূন্য অবশিষ্টাংশ প্রাপ্ত হয়, এবং লভ্যাংশে এখনও শূন্য রয়েছে। হতাশ হবেন না, সবকিছু মনে হতে পারে তার চেয়ে সহজ। অবিভক্ত থাকা সমস্ত শূন্য উত্তরে যোগ করাই যথেষ্ট।
উদাহরণস্বরূপ, আপনাকে 400 কে 5 দ্বারা ভাগ করতে হবে। অসম্পূর্ণ লভ্যাংশ হল 40। এতে পাঁচটি 8 বার রাখা হয়েছে। এর মানে উত্তর লেখার কথা 8. কখনবিয়োগ করার কোন অবশিষ্ট নেই। অর্থাৎ বিভাজন শেষ, কিন্তু লভ্যাংশে শূন্য রয়ে গেছে। এটা উত্তর যোগ করতে হবে. সুতরাং 400 কে 5 দিয়ে ভাগ করলে 80 হয়।
আপনি যদি দশমিককে ভাগ করতে চান তাহলে কী করবেন?
আবারও, এই সংখ্যাটি একটি স্বাভাবিক সংখ্যার মতো দেখায়, কমা ব্যতীত পূর্ণসংখ্যার অংশটিকে ভগ্নাংশ থেকে আলাদা করে। এটি পরামর্শ দেয় যে দশমিকের দীর্ঘ বিভাজন উপরে বর্ণিত একটির অনুরূপ।
শুধু পার্থক্য হবে সেমিকোলন। ভগ্নাংশ থেকে প্রথম অঙ্কটি নামানোর সাথে সাথেই উত্তর দেওয়ার কথা। অন্যভাবে, এটি এভাবে বলা যেতে পারে: পূর্ণসংখ্যার অংশের বিভাজন শেষ - একটি কমা রাখুন এবং সমাধানটি আরও চালিয়ে যান।
দশমিক ভগ্নাংশ সহ একটি কলামে বিভাজনের উদাহরণ সমাধান করার সময়, আপনাকে মনে রাখতে হবে যে দশমিক বিন্দুর পরে যে কোনও অংশে শূন্যের সংখ্যা নির্ধারণ করা যেতে পারে। কখনও কখনও শেষ পর্যন্ত সংখ্যাগুলি সম্পূর্ণ করার জন্য এটি প্রয়োজনীয়৷
দুই দশমিকের বিভাজন
এটা জটিল মনে হতে পারে। কিন্তু শুধুমাত্র শুরুতে। সর্বোপরি, একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা ভগ্নাংশের একটি কলামে কীভাবে ভাগ করা যায় তা ইতিমধ্যেই পরিষ্কার। সুতরাং, আমাদের এই উদাহরণটি ইতিমধ্যে পরিচিত ফর্মে কমাতে হবে।
এটা করা সহজ। আপনাকে উভয় ভগ্নাংশকে 10, 100, 1,000, বা 10,000 দ্বারা গুণ করতে হবে, অথবা যদি টাস্কের প্রয়োজন হয় তাহলে এক মিলিয়ন। ভাজকের দশমিক অংশে কতগুলি শূন্য রয়েছে তার উপর ভিত্তি করে গুণকটি বেছে নেওয়ার কথা। অর্থাৎ, ফলস্বরূপ, দেখা যাচ্ছে যে আপনাকে একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা ভগ্নাংশকে ভাগ করতে হবে।
এবং এইসবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে হবে। সর্বোপরি, এটি চালু হতে পারে যে এই অপারেশন থেকে লভ্যাংশ একটি পূর্ণসংখ্যা হয়ে যায়। তারপর ভগ্নাংশের একটি কলামে বিভাজন সহ উদাহরণের সমাধানটি সবচেয়ে সহজ বিকল্পে হ্রাস করা হবে: প্রাকৃতিক সংখ্যা সহ ক্রিয়াকলাপ।
উদাহরণস্বরূপ: 28, 4কে 3, 2 দ্বারা ভাগ করা হয়েছে:
- প্রথম, তাদের অবশ্যই 10 দ্বারা গুণ করতে হবে, যেহেতু দ্বিতীয় সংখ্যাটিতে দশমিক বিন্দুর পরে শুধুমাত্র একটি সংখ্যা রয়েছে। গুণ করলে 284 এবং 32 হবে।
- তাদের আলাদা করার কথা। এবং একবারে পুরো সংখ্যা 284 বাই 32।
- উত্তরের জন্য প্রথম মিলে যাওয়া সংখ্যাটি 8। এটিকে গুণ করলে 256 পাওয়া যায়। বাকিটি 28।
- পূর্ণসংখ্যার বিভাজন শেষ হয়েছে, এবং উত্তরে একটি কমা বসানোর কথা।
- ব্যালেন্স করতে ড্যাশ 0.
- আবার ৮টা নিন।
- অবশিষ্ট: 24. এতে আরও 0 যোগ করুন।
- এখন আপনাকে ৭ নিতে হবে।
- গুণের ফলাফল 224, বাকি 16।
- আরেকটি 0 ভেঙ্গে ফেলুন। প্রতিটি 5টি নিন এবং ঠিক 160টি পান। বাকি 0।
বিভাগ শেষ। উদাহরণ 28, 4:3, 2 এর ফলাফল হল 8, 875।
ভাজক 10, 100, 0, 1 বা 0.01 হলে কী হবে?
গুণের মতো এখানে দীর্ঘ ভাগের প্রয়োজন নেই। নির্দিষ্ট সংখ্যক সংখ্যার জন্য কমাটিকে সঠিক দিকে সরানোই যথেষ্ট। তাছাড়া, এই নীতি অনুসারে, আপনি পূর্ণসংখ্যা এবং দশমিক ভগ্নাংশ উভয়ের সাথে উদাহরণ সমাধান করতে পারেন।
সুতরাং, যদি আপনাকে 10, 100 বা 1000 দ্বারা ভাগ করতে হয়, তাহলে কমাটি বামদিকে যতগুলি সংখ্যা আছে ততগুলি দ্বারা ভাজকটিতে শূন্য রয়েছে। অর্থাৎ, যখন একটি সংখ্যা 100 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তখন কমাদুটি সংখ্যা বাম দিকে সরানো উচিত। যদি লভ্যাংশ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা হয়, তাহলে ধরে নেওয়া হয় যে কমাটি এর শেষে রয়েছে।
এই ক্রিয়াটি একই ফলাফল দেয় যেন সংখ্যাটিকে 0, 1, 0, 01, বা 0.001 দ্বারা গুণ করা হয়৷ এই উদাহরণগুলিতে, কমাটিও সমান সংখ্যা দ্বারা বাম দিকে সরানো হয় ভগ্নাংশের দৈর্ঘ্য।
0, 1 (ইত্যাদি) দ্বারা ভাগ করা বা 10 (ইত্যাদি) দ্বারা গুণ করা হলে, কমাটি ডানদিকে এক অঙ্ক (বা দুই, তিন, শূন্যের সংখ্যা বা দৈর্ঘ্যের উপর নির্ভর করে) যেতে হবে ভগ্নাংশ অংশ)।
এটা লক্ষণীয় যে লভ্যাংশে প্রদত্ত সংখ্যার সংখ্যা যথেষ্ট নাও হতে পারে। তারপরে অনুপস্থিত শূন্যগুলি বামে (পূর্ণসংখ্যার অংশে) বা ডানে (দশমিক বিন্দুর পরে) যোগ করা যেতে পারে।
পুনরাবৃত্ত ভগ্নাংশ বিভাজন
এই ক্ষেত্রে, একটি কলামে ভাগ করার সময় আপনি সঠিক উত্তর পেতে সক্ষম হবেন না। পিরিয়ড সহ একটি ভগ্নাংশ সম্মুখীন হলে একটি উদাহরণ কিভাবে সমাধান করবেন? এখানে সাধারণ ভগ্নাংশে যাওয়া প্রয়োজন। এবং তারপর পূর্বে অধ্যয়নকৃত নিয়ম অনুযায়ী তাদের বিভাগ সম্পাদন করুন।
উদাহরণস্বরূপ, আপনাকে 0, (3) কে 0, 6 দ্বারা ভাগ করতে হবে। প্রথম ভগ্নাংশটি পর্যায়ক্রমিক। এটি 3/9 ভগ্নাংশে রূপান্তরিত হয়, যা হ্রাস করার পরে 1/3 দেবে। দ্বিতীয় ভগ্নাংশটি চূড়ান্ত দশমিক। এটি একটি সাধারণ লিখতে আরও সহজ: 6/10, যা 3/5 এর সমান। সাধারণ ভগ্নাংশকে ভাগ করার নিয়মে ভাগকে গুণ দিয়ে এবং ভাজককে পারস্পরিক দিয়ে প্রতিস্থাপন করার নির্দেশ দেওয়া হয়েছে। অর্থাৎ, উদাহরণটি 1/3 কে 5/3 দ্বারা গুণ করার জন্য ফুটে ওঠে। উত্তর হবে 5/9।
যদি উদাহরণের বিভিন্ন ভগ্নাংশ থাকে…
তারপর বেশ কিছু সম্ভাব্য সমাধান আছে। প্রথমত, একটি সাধারণ ভগ্নাংশ হতে পারেদশমিকে রূপান্তর করার চেষ্টা করুন। তারপর উপরের অ্যালগরিদম অনুযায়ী ইতিমধ্যেই দুই দশমিককে ভাগ করুন।
দ্বিতীয়ভাবে, প্রতিটি চূড়ান্ত দশমিক ভগ্নাংশ একটি সাধারণ ভগ্নাংশ হিসাবে লেখা যেতে পারে। এটা সবসময় সুবিধাজনক নয়। প্রায়শই, এই ধরনের ভগ্নাংশগুলি বিশাল হতে দেখা যায়। হ্যাঁ, এবং উত্তরগুলি কষ্টকর। অতএব, প্রথম পন্থাটিকে অধিকতর পছন্দনীয় বলে মনে করা হয়৷
