ইতিমধ্যে প্রাথমিক বিদ্যালয়ে, শিক্ষার্থীরা ভগ্নাংশের সম্মুখীন হয়। এবং তারপর তারা প্রতিটি বিষয় উপস্থিত হয়. এই সংখ্যাগুলির সাথে ক্রিয়াগুলি ভুলে যাওয়া অসম্ভব। অতএব, আপনাকে সাধারণ এবং দশমিক ভগ্নাংশ সম্পর্কে সমস্ত তথ্য জানতে হবে। এই ধারণাগুলি সহজ, প্রধান জিনিস হল সবকিছুকে ক্রমানুসারে বোঝা।
আমাদের ভগ্নাংশের প্রয়োজন কেন?
আমাদের চারপাশের জগৎ পুরো বস্তু নিয়ে গঠিত। তাই শেয়ারের প্রয়োজন নেই। কিন্তু দৈনন্দিন জীবন ক্রমাগত মানুষকে বস্তু এবং জিনিসের কিছু অংশ নিয়ে কাজ করতে ঠেলে দেয়।
উদাহরণস্বরূপ, চকোলেটে কয়েকটি স্লাইস থাকে। পরিস্থিতি বিবেচনা করুন যেখানে এর টালি বারোটি আয়তক্ষেত্র দ্বারা গঠিত হয়। আপনি যদি এটিকে দুটি ভাগে ভাগ করেন তবে আপনি 6টি অংশ পাবেন। ভালোভাবে তিন ভাগে ভাগ করা হবে। কিন্তু পাঁচজনকে পূর্ণ সংখ্যক চকলেটের টুকরো দেওয়া যাবে না।
যাইহোক, এই স্লাইসগুলি ইতিমধ্যে ভগ্নাংশ। এবং তাদের আরও বিভাজন আরও জটিল সংখ্যার দিকে নিয়ে যায়৷
একটি "ভগ্নাংশ" কি?
এটি একটি সংখ্যা যা একটির অংশ নিয়ে গঠিত। বাহ্যিকভাবে, এটি দুটি সংখ্যা দ্বারা বিভক্ত বলে মনে হচ্ছেঅনুভূমিক বা স্ল্যাশ। এই বৈশিষ্ট্যটিকে ভগ্নাংশ বলা হয়। উপরের (বামে) লেখা সংখ্যাকে লব বলে। নীচেরটি (ডানদিকে) হল হর৷
আসলে, ভগ্নাংশ বারটি একটি বিভাজন চিহ্ন হিসাবে পরিণত হয়। অর্থাৎ লবকে লভ্যাংশ বলা যেতে পারে এবং হরকে ভাজক বলা যেতে পারে।
কোন ভগ্নাংশ বিদ্যমান?
গণিতে এদের মাত্র দুই প্রকার: সাধারণ এবং দশমিক ভগ্নাংশ। স্কুলছাত্ররা প্রাথমিক গ্রেডে প্রথমদের সাথে পরিচিত হয়, তাদের কেবল "ভগ্নাংশ" বলে ডাকে। দ্বিতীয় শিখে ৫ম শ্রেণীতে। তখনই এই নামগুলি উপস্থিত হয়৷
সাধারণ ভগ্নাংশ - যেগুলি একটি বার দ্বারা পৃথক করা দুটি সংখ্যা হিসাবে লেখা হয়। উদাহরণস্বরূপ, 4/7। দশমিক হল এমন একটি সংখ্যা যেখানে ভগ্নাংশের একটি অবস্থানগত স্বরলিপি রয়েছে এবং একটি কমা দিয়ে পূর্ণসংখ্যা থেকে পৃথক করা হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, 4, 7. ছাত্রদের স্পষ্ট হওয়া দরকার যে প্রদত্ত দুটি উদাহরণ সম্পূর্ণ ভিন্ন সংখ্যা।
প্রতিটি সরল ভগ্নাংশকে দশমিক হিসাবে লেখা যেতে পারে। এই বিবৃতি প্রায় সবসময় বিপরীত হিসাবে সত্য. এমন কিছু নিয়ম আছে যা আপনাকে দশমিক ভগ্নাংশকে সাধারণ ভগ্নাংশ হিসাবে লিখতে দেয়।
এই ধরনের ভগ্নাংশের কোন উপপ্রকার আছে?
কালানুক্রমিক ক্রমানুসারে শুরু করা ভালো কারণ সেগুলি অধ্যয়ন করা হচ্ছে৷ সাধারণ ভগ্নাংশ প্রথমে আসে। তাদের মধ্যে, 5টি উপ-প্রজাতিকে আলাদা করা যায়।
- সঠিক। এর লব সর্বদা হর থেকে কম হয়।
- ভুল। তার লব হর এর চেয়ে বড় বা সমান।
- হ্রাসযোগ্য/অপ্রতিরোধ্য। তার মত হতে পারেসঠিক এবং ভুল আরেকটি বিষয় গুরুত্বপূর্ণ, লব এবং হর এর সাধারণ গুণনীয়ক আছে কিনা। যদি থাকে, তবে তাদের ভগ্নাংশের উভয় অংশকে ভাগ করার কথা, অর্থাৎ, এটি হ্রাস করার কথা।
- মিশ্র একটি পূর্ণসংখ্যা তার স্বাভাবিক সঠিক (ভুল) ভগ্নাংশের জন্য নির্ধারিত হয়। এবং এটি সর্বদা বাম দিকে দাঁড়িয়ে থাকে৷
- যৌগিক। একে অপরের মধ্যে বিভক্ত দুটি ভগ্নাংশ থেকে এটি গঠিত হয়। অর্থাৎ, এতে একবারে তিনটি ভগ্নাংশ বৈশিষ্ট্য রয়েছে।
দশমিক ভগ্নাংশের মাত্র দুটি উপপ্রকার আছে:
- চূড়ান্ত, অর্থাৎ যার ভগ্নাংশ সীমিত (শেষ আছে);
- অসীম - এমন একটি সংখ্যা যার দশমিক বিন্দুর পরে সংখ্যা শেষ হয় না (এগুলি অবিরামভাবে লেখা যেতে পারে)।
কীভাবে দশমিককে একটি সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করবেন?
যদি এটি একটি সসীম সংখ্যা হয়, তাহলে নিয়মের উপর ভিত্তি করে সংসর্গ প্রয়োগ করা হয় - যেমন আমি শুনি, তাই আমি লিখি। অর্থাৎ, আপনাকে এটি সঠিকভাবে পড়তে হবে এবং এটি লিখতে হবে, তবে কমা ছাড়াই, তবে একটি ভগ্নাংশ লাইন দিয়ে।
প্রয়োজনীয় হর সম্পর্কে একটি ইঙ্গিত হিসাবে, মনে রাখবেন যে এটি সর্বদা এক এবং কিছু শূন্য। পরবর্তীটি প্রশ্নে থাকা সংখ্যার ভগ্নাংশে যতগুলি সংখ্যা লিখতে হবে।
দশমিক ভগ্নাংশকে কীভাবে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করবেন, যদি তাদের সম্পূর্ণ অংশ অনুপস্থিত থাকে, অর্থাৎ শূন্যের সমান? উদাহরণস্বরূপ, 0.9 বা 0.05। নির্দিষ্ট নিয়ম প্রয়োগ করার পরে, দেখা যাচ্ছে যে আপনাকে শূন্য পূর্ণসংখ্যা লিখতে হবে। কিন্তু তা নির্দেশিত নয়। এটি শুধুমাত্র ভগ্নাংশ অংশ লিখতে অবশেষ. প্রথম নম্বরেহরটি 10 এর সমান হবে, দ্বিতীয়টির 100 হবে। অর্থাৎ, নির্দেশিত উদাহরণগুলির উত্তর হিসাবে সংখ্যা থাকবে: 9/10, 5/100। তদুপরি, পরবর্তীটি 5 দ্বারা হ্রাস করা যেতে পারে। তাই, এটির ফলাফল 1/20 লিখতে হবে।
কিভাবে একটি দশমিক থেকে একটি সাধারণ ভগ্নাংশ তৈরি করা যায় যদি এর পূর্ণসংখ্যা অংশটি শূন্য থেকে ভিন্ন হয়? উদাহরণস্বরূপ, 5, 23 বা 13, 00108। উভয় উদাহরণই পূর্ণসংখ্যার অংশ পড়ে এবং এর মান লিখুন। প্রথম ক্ষেত্রে, এটি 5, দ্বিতীয়টিতে - 13। তারপরে আপনাকে ভগ্নাংশে যেতে হবে। তাদের সাথে একই অপারেশন চালানো প্রয়োজন। প্রথম সংখ্যাটি 23/100 প্রদর্শিত হবে, দ্বিতীয়টি - 108/100000। দ্বিতীয় মান আবার কমানো প্রয়োজন. উত্তর হল মিশ্র ভগ্নাংশ: 5 23/100 এবং 13 27/25000।
কিভাবে অসীম দশমিককে একটি সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করবেন?
যদি এটি অ-পর্যায়ক্রমিক হয়, তাহলে এই ধরনের অপারেশন করা যাবে না। এই সত্যটির কারণে প্রতিটি দশমিক ভগ্নাংশ সর্বদা চূড়ান্ত বা পর্যায়ক্রমিক রূপান্তরিত হয়।
এই ধরনের ভগ্নাংশ দিয়ে আপনি যা করতে পারেন তা হল এটিকে গোল করা। কিন্তু তখন দশমিক হবে সেই অসীমের প্রায় সমান। এটি ইতিমধ্যে একটি সাধারণ এক পরিণত করা যেতে পারে. কিন্তু বিপরীত প্রক্রিয়া: দশমিকে রূপান্তর - কখনই প্রাথমিক মান দেবে না। অর্থাৎ অসীম পর্যায়ক্রমিক ভগ্নাংশগুলি সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তরিত হয় না। এটি মনে রাখার মতো বিষয়।
একটি অসীম পর্যায়ক্রমিক ভগ্নাংশকে সাধারণ ভগ্নাংশ হিসাবে কীভাবে লিখবেন?
এই সংখ্যাগুলিতে, দশমিক বিন্দুর পরে, এক বা একাধিক সংখ্যা সর্বদা উপস্থিত হয়, যা পুনরাবৃত্তি হয়। তাদের পিরিয়ড বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, 03(3)। এখানে পিরিয়ডে "3"। এগুলিকে যৌক্তিক হিসাবে শ্রেণীবদ্ধ করা হয়েছে কারণ সেগুলি সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তরিত হতে পারে৷
যারা পর্যায়ক্রমিক ভগ্নাংশের সম্মুখীন হয়েছেন তারা জানেন যে তারা বিশুদ্ধ বা মিশ্র হতে পারে। প্রথম ক্ষেত্রে, পিরিয়ড অবিলম্বে কমা থেকে শুরু হয়। দ্বিতীয়টিতে, ভগ্নাংশের অংশটি যেকোনো সংখ্যা দিয়ে শুরু হয় এবং তারপরে পুনরাবৃত্তি শুরু হয়।
যে নিয়ম অনুসারে আপনাকে একটি সাধারণ ভগ্নাংশ হিসাবে একটি অসীম দশমিক লিখতে হবে তা এই দুই ধরণের সংখ্যার জন্য আলাদা হবে। বিশুদ্ধ পর্যায়ক্রমিক ভগ্নাংশগুলিকে সাধারণ ভগ্নাংশ হিসাবে লেখা বেশ সহজ। চূড়ান্তগুলির মতো, সেগুলিকে রূপান্তরিত করতে হবে: পিরিয়ডটিকে লবটিতে লিখুন, এবং 9 নম্বরটি হবে হর, যতবার পিরিয়ডের সংখ্যা রয়েছে ততবার পুনরাবৃত্তি করুন৷
উদাহরণস্বরূপ, 0, (5)। সংখ্যাটির একটি পূর্ণসংখ্যার অংশ নেই, তাই আপনাকে অবিলম্বে ভগ্নাংশের অংশে যেতে হবে। লবটিতে 5 এবং হরটিতে 9 লিখুন। অর্থাৎ, উত্তরটি হবে 5/9 ভগ্নাংশ।
মিশ্রিত একটি সাধারণ দশমিক পর্যায়ক্রমিক ভগ্নাংশ কীভাবে লিখতে হয় তার নিয়ম।
- পিরিয়ড পর্যন্ত ভগ্নাংশের সংখ্যা গণনা করুন। তারা হর এর শূন্য সংখ্যা নির্দেশ করবে।
- পিরিয়ডের দৈর্ঘ্য দেখুন। এত বেশি 9 এর একটি হর থাকবে।
- হরটি লিখুন: প্রথমে নাইন, তারপর শূন্য।
- লব নির্ণয় করতে, আপনাকে দুটি সংখ্যার পার্থক্য লিখতে হবে। দশমিক বিন্দুর পরের সব সংখ্যা পিরিয়ডের সাথে কমে যাবে। বিয়োগযোগ্য - এটি একটি পিরিয়ড ছাড়া।
উদাহরণস্বরূপ, 0, 5(8) - পর্যায়ক্রমিক দশমিক ভগ্নাংশটিকে একটি সাধারণ ভগ্নাংশ হিসাবে লিখুন। পিরিয়ডের আগে ভগ্নাংশ হলএক অঙ্ক। তাই শূন্য এক হবে. পিরিয়ডে শুধুমাত্র একটি সংখ্যা আছে - 8। অর্থাৎ, শুধুমাত্র একটি নয়টি আছে। অর্থাৎ, হর-এ আপনাকে ৯০ লিখতে হবে।
58 থেকে লব নির্ণয় করতে, আপনাকে 5 বিয়োগ করতে হবে। এতে 53 দেখা যাচ্ছে। উদাহরণস্বরূপ, উত্তর লিখতে হবে 53/90।
আপনি কীভাবে সাধারণ ভগ্নাংশকে দশমিকে রূপান্তর করবেন?
সরলতম বিকল্প হল একটি সংখ্যা যার হর হল সংখ্যা 10, 100 ইত্যাদি। তারপর হরটি সহজভাবে বাতিল করা হয়, এবং ভগ্নাংশ এবং পূর্ণসংখ্যা অংশগুলির মধ্যে একটি কমা স্থাপন করা হয়৷
এমন পরিস্থিতিতে আছে যখন হর সহজেই 10, 100, ইত্যাদিতে পরিণত হয়। উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যা 5, 20, 25। তাদের যথাক্রমে 2, 5 এবং 4 দ্বারা গুণ করা যথেষ্ট। শুধুমাত্র হর জন্য নয়, একই সংখ্যা দ্বারা লবের জন্যও শুধুমাত্র গুণের প্রয়োজন হয়।
অন্য সব ক্ষেত্রে, একটি সহজ নিয়ম কার্যকর: লবকে হর দিয়ে ভাগ করুন। এই ক্ষেত্রে, আপনি দুটি উত্তর পেতে পারেন: একটি চূড়ান্ত বা একটি পর্যায়ক্রমিক দশমিক ভগ্নাংশ।
সাধারণ ভগ্নাংশ সহ ক্রিয়া
যোগ ও বিয়োগ
শিক্ষার্থীরা অন্যদের আগে তাদের জানতে পারে। এবং প্রথমে ভগ্নাংশের একই হর রয়েছে এবং তারপরে ভিন্ন। এই প্ল্যানে সাধারণ নিয়মগুলি হ্রাস করা যেতে পারে৷
- হরের সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক খুঁজুন।
- সমস্ত সাধারণ ভগ্নাংশের অতিরিক্ত ফ্যাক্টর রেকর্ড করুন।
- লব এবং হরকে তাদের জন্য সংজ্ঞায়িত গুণনীয়ক দ্বারা গুণ করুন।
- ভগ্নাংশের লব যোগ করুন (বিয়োগ করুন) এবং সাধারণ হর ছাড়াই ছেড়ে দিনপরিবর্তন।
- যদি মিন্যুয়েন্ডের লব সাবট্রাহেন্ডের থেকে কম হয়, তাহলে আপনাকে খুঁজে বের করতে হবে আমাদের একটি মিশ্র সংখ্যা নাকি সঠিক ভগ্নাংশ আছে।
- প্রথম ক্ষেত্রে, পূর্ণসংখ্যা অংশ অবশ্যই একটি নিতে হবে। ভগ্নাংশের লবের সাথে একটি হর যোগ করুন। এবং তারপর বিয়োগ করুন।
- দ্বিতীয়তে - একটি ছোট সংখ্যা থেকে একটি বড় সংখ্যায় বিয়োগের নিয়ম প্রয়োগ করা প্রয়োজন। অর্থাৎ, সাবট্রাহেন্ডের মডুলাস থেকে মিনিয়েন্ডের মডুলাস বিয়োগ করুন এবং উত্তরে “-” চিহ্ন দিন।
- যোগের (বিয়োগ) ফলাফল মনোযোগ সহকারে দেখুন। যদি আপনি একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ পান, তাহলে এটি সম্পূর্ণ অংশ নির্বাচন করার কথা। অর্থাৎ, লবকে হর দিয়ে ভাগ করুন।
গুণ ও ভাগ
তাদের বাস্তবায়নের জন্য, ভগ্নাংশগুলিকে একটি সাধারণ হর হিসাবে কমিয়ে আনার প্রয়োজন নেই। এটি পদক্ষেপ নেওয়া সহজ করে তোলে। তবে তাদের এখনও নিয়ম মেনে চলতে হবে।
- সাধারণ ভগ্নাংশগুলিকে গুণ করার সময়, লব এবং হরগুলির সংখ্যাগুলি বিবেচনা করা প্রয়োজন। যদি কোন লব এবং হর একটি সাধারণ গুণনীয়ক থাকে, তবে সেগুলি হ্রাস করা যেতে পারে।
- গুণিত সংখ্যা।
- গুণিত হর।
- যদি ফলাফলটি একটি হ্রাসকৃত ভগ্নাংশ হয়, তবে এটি আবার সরলীকৃত হওয়ার কথা।
- ভাগ করার সময়, আপনাকে প্রথমে ভাগকে গুণ দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে হবে এবং ভাজককে (দ্বিতীয় ভগ্নাংশ) একটি পারস্পরিক (লব এবং হর অদলবদল) দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে হবে।
- তারপর গুণের মতো এগিয়ে যান (১ম ধাপ থেকে শুরু)।
- যে কাজগুলিতে আপনাকে একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা গুণ (ভাগ) করতে হবে, শেষএকটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ হিসাবে লিখতে হবে। অর্থাৎ, 1 এর হর সহ। তারপর উপরে বর্ণিত হিসাবে এগিয়ে যান।
দশমিক ক্রিয়াকলাপ
যোগ ও বিয়োগ
অবশ্যই, আপনি সর্বদা একটি দশমিককে একটি সাধারণ ভগ্নাংশে পরিণত করতে পারেন। এবং ইতিমধ্যে বর্ণিত পরিকল্পনা অনুযায়ী কাজ করুন। তবে কখনও কখনও এই অনুবাদ ছাড়া কাজ করা আরও সুবিধাজনক। তাহলে যোগ ও বিয়োগের নিয়ম ঠিক একই হবে।
- সংখ্যার ভগ্নাংশের অঙ্কের সংখ্যা সমান করুন, অর্থাৎ দশমিক বিন্দুর পরে। এতে শূন্যের অনুপস্থিত সংখ্যা বরাদ্দ করুন।
- ভগ্নাংশ লিখুন যাতে কমা কমার নিচে থাকে।
- প্রাকৃতিক সংখ্যার মতো যোগ (বিয়োগ) করুন।
- কমা সরান।
গুণ ও ভাগ
এটা গুরুত্বপূর্ণ যে আপনি এখানে শূন্য যোগ করবেন না। ভগ্নাংশগুলিকে উদাহরণে দেওয়া হিসাবে রেখে দেওয়ার কথা। এবং তারপর পরিকল্পনা অনুযায়ী যান।
- গুণের জন্য, কমা উপেক্ষা করে ভগ্নাংশগুলিকে একটির নীচে লিখুন।
- প্রাকৃতিক সংখ্যার মত গুন করুন।
- উত্তরটিতে একটি কমা দিন, উত্তরের ডান প্রান্ত থেকে গণনা করুন যতগুলি সংখ্যা উভয় ফ্যাক্টরের ভগ্নাংশে রয়েছে।
- ভাগ করতে, আপনাকে প্রথমে ভাজককে রূপান্তর করতে হবে: এটিকে একটি স্বাভাবিক সংখ্যা করুন। অর্থাৎ, ভাজকের ভগ্নাংশে কতগুলি সংখ্যা রয়েছে তার উপর নির্ভর করে এটিকে 10, 100 ইত্যাদি দ্বারা গুণ করুন।
- লভ্যাংশকে একই সংখ্যা দ্বারা গুণ করুন।
- একটি দশমিককে একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করুন।
- পূর্ণসংখ্যার বিভাজন শেষ হওয়ার মুহূর্তে উত্তরে একটি কমা দিন।
একটি উদাহরণে উভয় প্রকার ভগ্নাংশ থাকলে কি হবে?
হ্যাঁ, গণিতে প্রায়ই এমন উদাহরণ রয়েছে যেখানে আপনাকে সাধারণ এবং দশমিক ভগ্নাংশে অপারেশন করতে হবে। এই সমস্যার দুটি সম্ভাব্য সমাধান আছে। আপনাকে উদ্দেশ্যমূলকভাবে সংখ্যাগুলি ওজন করতে হবে এবং সেরাটি বেছে নিতে হবে৷
প্রথম উপায়: সাধারণ দশমিকের প্রতিনিধিত্ব করুন
এটি উপযুক্ত যদি বিভাজন বা রূপান্তরের ফলে সসীম ভগ্নাংশ হয়। যদি অন্তত একটি সংখ্যা একটি পর্যায়ক্রমিক অংশ দেয়, তাহলে এই কৌশলটি নিষিদ্ধ। অতএব, আপনি সাধারণ ভগ্নাংশের সাথে কাজ করতে পছন্দ না করলেও, আপনাকে সেগুলি গণনা করতে হবে।
দ্বিতীয় উপায়: দশমিক ভগ্নাংশকে সাধারণ ভগ্নাংশ হিসাবে লিখুন
এই কৌশলটি সুবিধাজনক যদি দশমিক বিন্দুর পরে 1-2টি সংখ্যা থাকে। যদি সেগুলির মধ্যে আরও বেশি থাকে তবে একটি খুব বড় সাধারণ ভগ্নাংশ বের হতে পারে এবং দশমিক এন্ট্রিগুলি আপনাকে দ্রুত এবং সহজে কাজটি গণনা করার অনুমতি দেবে। অতএব, আপনার উচিত সর্বদা কাজটি নির্ভুলভাবে মূল্যায়ন করা এবং সবচেয়ে সহজ সমাধান পদ্ধতি বেছে নেওয়া।
