বীজগণিতীয় অসমতা বা মূলদ সহগ সহ তাদের সিস্টেম যার সমাধান অখণ্ড বা পূর্ণসংখ্যাতে চাওয়া হয়। একটি নিয়ম হিসাবে, ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণে অজানা সংখ্যা বেশি। এইভাবে, তারা অনির্দিষ্ট অসমতা হিসাবেও পরিচিত। আধুনিক গণিতে, উপরের ধারণাটি বীজগণিতীয় সমীকরণগুলিতে প্রয়োগ করা হয় যার সমাধানগুলি কিউ-যুক্তিগত চলকের ক্ষেত্রের কিছু সম্প্রসারণের বীজগণিত পূর্ণসংখ্যা, p-অ্যাডিক চলকের ক্ষেত্র ইত্যাদির মধ্যে চাওয়া হয়।
এই অসমতার উৎপত্তি
ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণের অধ্যয়ন সংখ্যা তত্ত্ব এবং বীজগণিত জ্যামিতির মধ্যে সীমানায়। পূর্ণসংখ্যা ভেরিয়েবলে সমাধান খোঁজা প্রাচীনতম গাণিতিক সমস্যাগুলির মধ্যে একটি। ইতিমধ্যে খ্রিস্টপূর্ব দ্বিতীয় সহস্রাব্দের শুরুতে। প্রাচীন ব্যাবিলনীয়রা দুটি অজানা সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করতে সক্ষম হয়েছিল। গণিতের এই শাখাটি প্রাচীন গ্রীসে সর্বাধিক বিকাশ লাভ করেছিল। ডায়োফ্যান্টাসের পাটিগণিত (আনুমানিক 3য় শতাব্দী খ্রিস্টাব্দ) একটি উল্লেখযোগ্য এবং প্রধান উত্স যা বিভিন্ন ধরণের এবং সমীকরণের সিস্টেম ধারণ করে।
এই বইটিতে, ডায়োফ্যান্টাস দ্বিতীয় এবং তৃতীয়টির অসমতা অধ্যয়নের জন্য বেশ কয়েকটি পদ্ধতির পূর্বাভাস দিয়েছেনডিগ্রী যা 19 শতকে সম্পূর্ণরূপে বিকশিত হয়েছিল। প্রাচীন গ্রিসের এই গবেষক দ্বারা মূলদ সংখ্যার তত্ত্ব তৈরির ফলে অনির্দিষ্ট সিস্টেমের যৌক্তিক সমাধান বিশ্লেষণের দিকে পরিচালিত হয়েছিল, যা তার বইতে পদ্ধতিগতভাবে অনুসরণ করা হয়েছে। যদিও তার কাজে নির্দিষ্ট ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণের সমাধান রয়েছে, তবে বিশ্বাস করার কারণ রয়েছে যে তিনি বেশ কয়েকটি সাধারণ পদ্ধতির সাথেও পরিচিত ছিলেন।
এই অসমতার অধ্যয়ন সাধারণত গুরুতর অসুবিধার সাথে যুক্ত। কারণ এতে পূর্ণসংখ্যার সহগ F (x, y1, …, y) সহ বহুপদ রয়েছে। এর উপর ভিত্তি করে, উপসংহার টানা হয়েছিল যে কোনো একক অ্যালগরিদম নেই যা কোনো প্রদত্ত x-এর জন্য F (x, y1, …., y) নির্ধারণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।)। পরিস্থিতি y1, …, y এর জন্য সমাধানযোগ্য। এই ধরনের বহুপদীর উদাহরণ লেখা যেতে পারে।
সরলতম অসমতা
ax + by=1, যেখানে a এবং b তুলনামূলকভাবে পূর্ণসংখ্যা এবং মৌলিক সংখ্যা, এতে প্রচুর পরিমাণে মৃত্যুদণ্ড রয়েছে (যদি x0, y0 ফলাফলটি তৈরি হয়, তারপর চলকের জোড়া x=x0 + b এবং y=y0 -an, যেখানে n স্বেচ্ছাচারী, এছাড়াও একটি অসমতা হিসাবে বিবেচিত হবে)। ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণের আরেকটি উদাহরণ হল x2 + y2 =z2। এই অসমতার ধনাত্মক অবিচ্ছেদ্য সমাধানগুলি হল ছোট বাহু x, y এবং সমকোণী ত্রিভুজের দৈর্ঘ্য, সেইসাথে পূর্ণসংখ্যার পার্শ্ব মাত্রা সহ কর্ণ z। এই সংখ্যাগুলি পিথাগোরিয়ান সংখ্যা হিসাবে পরিচিত। প্রাইম সংক্রান্ত সমস্ত ট্রিপলেট নির্দেশিতউপরের ভেরিয়েবলগুলো x=m2 – n2, y=2mn, z=m2+ n2, যেখানে m এবং n হল পূর্ণসংখ্যা এবং মৌলিক সংখ্যা (m>n>0)।
ডিওফ্যান্টাস তার পাটিগণিতের মধ্যে তার বিশেষ ধরনের অসমতার যুক্তিযুক্ত (অবশ্যই অবিচ্ছেদ্য) সমাধান অনুসন্ধান করেন। প্রথম ডিগ্রির ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ সমাধানের জন্য একটি সাধারণ তত্ত্ব 17 শতকে সি জি বাশেট দ্বারা বিকশিত হয়েছিল। 19 শতকের শুরুতে অন্যান্য বিজ্ঞানীরা প্রধানত ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0 এর মতো অনুরূপ বৈষম্য নিয়ে গবেষণা করেছিলেন। যেখানে a, b, c, d, e, এবং f সাধারণ, ভিন্ন ভিন্ন, দ্বিতীয় ডিগ্রির দুটি অজানা। ল্যাগ্রেঞ্জ তার গবেষণায় ক্রমাগত ভগ্নাংশ ব্যবহার করেছিলেন। দ্বিঘাত আকারের জন্য গাউস কিছু ধরণের সমাধানের অন্তর্নিহিত একটি সাধারণ তত্ত্ব তৈরি করেছিলেন।
এই দ্বিতীয়-ডিগ্রি বৈষম্যের অধ্যয়নে, শুধুমাত্র বিংশ শতাব্দীতে উল্লেখযোগ্য অগ্রগতি সাধিত হয়েছিল। A. Thue পাওয়া গেছে যে ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ a0x + a1xn-1 y +…+a y =c, যেখানে n≧3, a0, …, a, c হল পূর্ণসংখ্যা, এবং a0tn + … +a অসীম সংখ্যক পূর্ণসংখ্যা সমাধান থাকতে পারে না। যাইহোক, Thue এর পদ্ধতি সঠিকভাবে বিকশিত হয়নি। A. বেকার কার্যকরী উপপাদ্য তৈরি করেছেন যা এই ধরণের কিছু সমীকরণের কার্যকারিতার উপর অনুমান দেয়। BN Delaunay এই অসমতাগুলির একটি সংকীর্ণ শ্রেণীর জন্য প্রযোজ্য তদন্তের আরেকটি পদ্ধতির প্রস্তাব করেছিলেন। বিশেষ করে, ফর্ম ax3 + y3 =1 এইভাবে সম্পূর্ণরূপে সমাধানযোগ্য৷
ডিওফ্যান্টাইন সমীকরণ: সমাধানের পদ্ধতি
ডায়োফ্যান্টাসের তত্ত্বের অনেক দিক রয়েছে। এইভাবে, এই সিস্টেমের একটি সুপরিচিত সমস্যা হল অনুমান যে ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণের কোন অ-তুচ্ছ সমাধান নেই xn + y =z n if n ≧ 3 (ফার্মাটের প্রশ্ন)। বৈষম্যের পূর্ণসংখ্যার পূর্ণতা অধ্যয়ন হল পিথাগোরিয়ান ট্রিপলেটের সমস্যার একটি স্বাভাবিক সাধারণীকরণ। অয়লার n=4 এর জন্য ফার্মাটের সমস্যার একটি ইতিবাচক সমাধান পেয়েছেন। এই ফলাফলের ভিত্তিতে, এটি অনুপস্থিত পূর্ণসংখ্যার প্রমাণকে বোঝায়, n একটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যা হলে সমীকরণের অ-শূন্য অধ্যয়ন।
সিদ্ধান্ত সংক্রান্ত সমীক্ষা শেষ হয়নি। এটির বাস্তবায়নের সাথে অসুবিধাগুলি এই সত্যের সাথে সম্পর্কিত যে বীজগণিত পূর্ণসংখ্যার রিংয়ে সরল ফ্যাক্টরাইজেশন অনন্য নয়। এই সিস্টেমে ভাজকের তত্ত্ব অনেক শ্রেণীর মৌলিক সূচকের জন্য n এটিকে ফার্মাটের উপপাদ্যের বৈধতা নিশ্চিত করা সম্ভব করে তোলে। এইভাবে, দুটি অজানা সহ রৈখিক ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণটি বিদ্যমান পদ্ধতি এবং উপায় দ্বারা পূর্ণ হয়।
বর্ণিত কাজের প্রকার ও প্রকার
বীজগণিত পূর্ণসংখ্যার রিংগুলির পাটিগণিত অন্যান্য অনেক সমস্যা এবং ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণের সমাধানেও ব্যবহৃত হয়। উদাহরণ স্বরূপ, N(a1 x1 +…+ a1এর অসমতা পূরণ করার সময় এই জাতীয় পদ্ধতিগুলি প্রয়োগ করা হয়েছিল x)=m, যেখানে N(a) a এর আদর্শ, এবং x1, …, xn integral rational variables পাওয়া যায়। এই শ্রেণীতে আছে পেল সমীকরণ x2–
dy2=1.
যে মানগুলো a1, …, a দেখা যায়, এই সমীকরণগুলোকে দুই প্রকারে ভাগ করা হয়েছে। প্রথম প্রকার - তথাকথিত সম্পূর্ণ ফর্মগুলি - সমীকরণগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করে যার মধ্যে একটি রৈখিকভাবে স্বতন্ত্র সংখ্যা রয়েছে মূলদিক চলকের ক্ষেত্রের উপর Q, যেখানে m=[Q(a1, …, a):Q], যেখানে বীজগণিতীয় সূচকগুলির একটি ডিগ্রী রয়েছে Q (a1, …, a ) এর উপরে। অসম্পূর্ণ প্রজাতিগুলি হল যার সর্বোচ্চ সংখ্যা ai m এর চেয়ে কম।
সম্পূর্ণ ফর্মগুলি সহজ, তাদের অধ্যয়ন সম্পূর্ণ, এবং সমস্ত সমাধান বর্ণনা করা যেতে পারে। দ্বিতীয় প্রকার, অসম্পূর্ণ প্রজাতি, আরও জটিল, এবং এই জাতীয় তত্ত্বের বিকাশ এখনও সম্পূর্ণ হয়নি। এই ধরনের সমীকরণগুলি ডায়োফ্যান্টাইন অনুমান ব্যবহার করে অধ্যয়ন করা হয়, যার মধ্যে রয়েছে অসমতা F(x, y)=C, যেখানে F (x, y) হল n≧3 ডিগ্রির একটি অপরিবর্তনীয়, সমজাতীয় বহুপদী। সুতরাং, আমরা অনুমান করতে পারি যে yi→∞. তদনুসারে, যদি yi যথেষ্ট বড় হয়, তাহলে অসমতা থু, সিগেল এবং রথের উপপাদ্যকে বিরোধিতা করবে, যেখান থেকে এটি অনুসরণ করে যে F(x, y)=C, যেখানে F হল থার্ড ডিগ্রী বা তার উপরে, অপরিবর্তনীয়ের অসীম সংখ্যক সমাধান থাকতে পারে না।
কীভাবে একটি ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ সমাধান করবেন?
এই উদাহরণটি সবার মধ্যে একটি সংকীর্ণ শ্রেণী। উদাহরণস্বরূপ, তাদের সরলতা সত্ত্বেও, x3 + y3 + z3=N, এবং x2 +y 2 +z2 +u2 =N এই শ্রেণীতে অন্তর্ভুক্ত করা হয় না। সমাধানের অধ্যয়ন হল ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণের একটি বরং মনোযোগ সহকারে অধ্যয়ন করা শাখা, যেখানে ভিত্তি হল সংখ্যার চতুর্মুখী ফর্ম দ্বারা উপস্থাপনা। ল্যাগ্রঞ্জএকটি উপপাদ্য তৈরি করেছেন যা বলে যে সমস্ত প্রাকৃতিক N-এর জন্য পূর্ণতা বিদ্যমান। যেকোনো প্রাকৃতিক সংখ্যাকে তিনটি বর্গক্ষেত্রের সমষ্টি (গাউসের উপপাদ্য) হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, তবে এটি 4a আকারের হওয়া উচিত নয় (8K- 1), যেখানে a এবং k অ ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার সূচক।
F টাইপ ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণের একটি সিস্টেমের যুক্তিযুক্ত বা অবিচ্ছেদ্য সমাধান (x1, …, x)=a, যেখানে F (x1, …, x) হল পূর্ণসংখ্যা সহগ সহ একটি দ্বিঘাত রূপ। সুতরাং, মিনকোস্কি-হাসি উপপাদ্য অনুসারে, অসমতা ∑aijxixj=b ijএবং b মূলদ, প্রতিটি মৌলিক সংখ্যা p-এর জন্য বাস্তব এবং p-অ্যাডিক সংখ্যায় একটি অবিচ্ছেদ্য সমাধান আছে শুধুমাত্র যদি এটি এই কাঠামোতে সমাধানযোগ্য হয়।
অন্তর্নিহিত অসুবিধার কারণে, তৃতীয় ডিগ্রি এবং তার বেশি মাত্রার নির্বিচারে আকারের সংখ্যার অধ্যয়ন কম পরিমাণে করা হয়েছে। মূল নির্বাহের পদ্ধতি হল ত্রিকোণমিতিক সমষ্টির পদ্ধতি। এই ক্ষেত্রে, সমীকরণের সমাধানের সংখ্যা স্পষ্টভাবে ফুরিয়ার অখণ্ডের পরিপ্রেক্ষিতে লেখা হয়। এর পরে, পরিবেশ পদ্ধতিটি সংশ্লিষ্ট সমাহারগুলির অসমতা পূরণের সংখ্যা প্রকাশ করতে ব্যবহৃত হয়। ত্রিকোণমিতিক সমষ্টির পদ্ধতি অসমতার বীজগণিতিক বৈশিষ্ট্যের উপর নির্ভর করে। রৈখিক ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ সমাধানের জন্য প্রচুর সংখ্যক প্রাথমিক পদ্ধতি রয়েছে।
ডিওফ্যান্টাইন বিশ্লেষণ
গণিত বিভাগ, যার বিষয় জ্যামিতির পদ্ধতি দ্বারা বীজগণিতের সমীকরণের সিস্টেমগুলির অবিচ্ছেদ্য এবং যুক্তিযুক্ত সমাধানগুলির অধ্যয়ন, একই থেকেগোলক 19 শতকের দ্বিতীয়ার্ধে, এই সংখ্যা তত্ত্বের উত্থানের ফলে সহগ সহ একটি নির্বিচারে ক্ষেত্র থেকে ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণগুলি অধ্যয়নের দিকে পরিচালিত হয়েছিল এবং সমাধানগুলি এটিতে বা এর রিংগুলিতে বিবেচনা করা হয়েছিল। বীজগণিতীয় ফাংশনের সিস্টেমটি সংখ্যার সাথে সমান্তরালভাবে বিকশিত হয়েছে। উভয়ের মধ্যে মৌলিক সাদৃশ্য, যা ডি. হিলবার্ট এবং বিশেষ করে, এল. ক্রোনেকার দ্বারা জোর দেওয়া হয়েছিল, বিভিন্ন পাটিগণিত ধারণার অভিন্ন নির্মাণের দিকে পরিচালিত করেছিল, যা সাধারণত বিশ্বব্যাপী বলা হয়৷
এটি বিশেষভাবে লক্ষণীয় যদি ধ্রুবকের একটি সীমিত ক্ষেত্রের উপর অধ্যয়নের অধীনে বীজগণিতের ফাংশনগুলি একটি পরিবর্তনশীল হয়। শ্রেণী ক্ষেত্র তত্ত্ব, ভাজক, এবং শাখা এবং ফলাফলের মত ধারণাগুলি উপরের একটি ভাল দৃষ্টান্ত। এই দৃষ্টিকোণটি ডায়োফ্যান্টাইন বৈষম্যের ব্যবস্থায় গৃহীত হয়েছিল শুধুমাত্র পরে, এবং পদ্ধতিগত গবেষণা শুধুমাত্র সংখ্যাগত সহগ দিয়েই নয়, বরং ফাংশন সহ গুণাঙ্কগুলির সাথেও শুধুমাত্র 1950 সালে শুরু হয়েছিল। এই পদ্ধতির একটি নির্ধারক কারণ ছিল বীজগণিত জ্যামিতির বিকাশ। সংখ্যা এবং ফাংশনের ক্ষেত্রগুলির একযোগে অধ্যয়ন, যা একই বিষয়ের দুটি সমান গুরুত্বপূর্ণ দিক হিসাবে উত্থাপিত হয়, শুধুমাত্র মার্জিত এবং বিশ্বাসযোগ্য ফলাফল দেয়নি, তবে দুটি বিষয়ের পারস্পরিক সমৃদ্ধির দিকে পরিচালিত করেছে৷
বীজগণিতীয় জ্যামিতিতে, একটি বৈচিত্র্যের ধারণা একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রের K-এর উপর অসমতার একটি অ-অপরিবর্তনীয় সেট দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়, এবং তাদের সমাধানগুলি কে বা এর সসীম এক্সটেনশনে মানগুলির সাথে যুক্তিযুক্ত বিন্দু দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। সেই অনুযায়ী কেউ বলতে পারে যে ডায়োফ্যান্টাইন জ্যামিতির মৌলিক সমস্যা হল যুক্তিবাদী বিন্দুর অধ্যয়ন।একটি বীজগণিতীয় সেটের X(K), যেখানে X হল K ক্ষেত্রের নির্দিষ্ট সংখ্যা। পূর্ণসংখ্যা সম্পাদনের রৈখিক ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণে একটি জ্যামিতিক অর্থ রয়েছে।
বৈষম্য অধ্যয়ন এবং কার্যকর করার বিকল্প
বীজগাণিতিক জাতগুলির উপর যুক্তিযুক্ত (বা অবিচ্ছেদ্য) পয়েন্টগুলি অধ্যয়ন করার সময়, প্রথম সমস্যা দেখা দেয়, যা তাদের অস্তিত্ব। হিলবার্টের দশম সমস্যাটি এই সমস্যা সমাধানের জন্য একটি সাধারণ পদ্ধতি খুঁজে বের করার সমস্যা হিসাবে তৈরি করা হয়েছে। অ্যালগরিদমের একটি সঠিক সংজ্ঞা তৈরি করার প্রক্রিয়াতে এবং এটি প্রমাণিত হওয়ার পরে যে বিপুল সংখ্যক সমস্যার জন্য এ জাতীয় কোনও মৃত্যুদণ্ড নেই, সমস্যাটি একটি সুস্পষ্ট নেতিবাচক ফলাফল অর্জন করেছে এবং সবচেয়ে আকর্ষণীয় প্রশ্নটি হ'ল ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণের শ্রেণিগুলির সংজ্ঞা। যার জন্য উপরের সিস্টেম বিদ্যমান। বীজগাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে সবচেয়ে স্বাভাবিক পদ্ধতি হল তথাকথিত হ্যাসে নীতি: প্রাথমিক ক্ষেত্র K কে এর সম্পূর্ণতা Kv সমস্ত সম্ভাব্য অনুমানের সাথে একসাথে অধ্যয়ন করা হয়। যেহেতু X(K)=X(Kv) অস্তিত্বের জন্য একটি প্রয়োজনীয় শর্ত, এবং K বিন্দু বিবেচনা করে যে সেট X(Kv) সকল v এর জন্য খালি নয়।
গুরুত্ব এই যে এটি দুটি সমস্যাকে একত্রিত করে। দ্বিতীয়টি অনেক সহজ, এটি একটি পরিচিত অ্যালগরিদম দ্বারা সমাধানযোগ্য। বিশেষ ক্ষেত্রে যেখানে X জাতটি প্রজেক্টিভ, হ্যানসেলের লেমা এবং এর সাধারণীকরণগুলি আরও হ্রাস করা সম্ভব করে: সমস্যাটি একটি সীমিত ক্ষেত্রের যুক্তিযুক্ত বিন্দুগুলির অধ্যয়নের জন্য হ্রাস করা যেতে পারে। তারপরে তিনি ধারাবাহিক গবেষণা বা আরও কার্যকর পদ্ধতির মাধ্যমে একটি ধারণা তৈরি করার সিদ্ধান্ত নেন৷
শেষএকটি গুরুত্বপূর্ণ বিবেচনা হল X(Kv) সেটগুলি একটি সীমিত সংখ্যক v ছাড়া সকলের জন্য খালি নয়, তাই শর্তের সংখ্যা সর্বদা সসীম এবং সেগুলি কার্যকরভাবে পরীক্ষা করা যেতে পারে। যাইহোক, Hasse এর নীতি ডিগ্রি বক্ররেখার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়। উদাহরণস্বরূপ, 3x3 + 4y3=5-এর সমস্ত p-adic নম্বর ক্ষেত্রে পয়েন্ট রয়েছে এবং বাস্তব সংখ্যার সিস্টেমে, কিন্তু কোন মূলদ বিন্দু নেই।
এই পদ্ধতিটি হ্যাসে নীতি থেকে একটি "বিচ্যুতি" সঞ্চালনের জন্য অ্যাবেলিয়ান জাতের প্রধান একজাতীয় স্থানগুলির শ্রেণীগুলিকে বর্ণনা করে একটি ধারণা তৈরি করার জন্য একটি সূচনা বিন্দু হিসাবে কাজ করেছিল। এটি একটি বিশেষ কাঠামোর পরিপ্রেক্ষিতে বর্ণিত হয়েছে যা প্রতিটি বহুগুণ (টেট-শাফারেভিচ গ্রুপ) এর সাথে যুক্ত হতে পারে। তত্ত্বের প্রধান অসুবিধা এই যে গোষ্ঠী গণনা করার পদ্ধতিগুলি পাওয়া কঠিন। এই ধারণাটি বীজগাণিতিক জাতের অন্যান্য শ্রেণিতেও প্রসারিত হয়েছে।
বৈষম্য পূরণের জন্য একটি অ্যালগরিদম অনুসন্ধান করুন
ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণের গবেষণায় ব্যবহৃত আরেকটি হিউরিস্টিক ধারণা হল যে যদি বৈষম্যের একটি সেটে জড়িত ভেরিয়েবলের সংখ্যা বেশি হয়, তবে সিস্টেমে সাধারণত একটি সমাধান থাকে। যাইহোক, কোন বিশেষ ক্ষেত্রে এটি প্রমাণ করা খুব কঠিন। এই ধরনের সমস্যার সাধারণ পদ্ধতি বিশ্লেষণাত্মক সংখ্যা তত্ত্ব ব্যবহার করে এবং ত্রিকোণমিতিক যোগফলের অনুমানের উপর ভিত্তি করে। এই পদ্ধতিটি মূলত বিশেষ ধরণের সমীকরণে প্রয়োগ করা হয়েছিল৷
তবে, পরে এটির সাহায্যে প্রমাণিত হয় যে যদি একটি বিজোড় ডিগ্রির রূপ F হয়, d-এএবং n ভেরিয়েবল এবং মূলদ সহগ, তাহলে d এর তুলনায় n যথেষ্ট বড়, তাই প্রজেক্টিভ হাইপারসারফেস F=0 এর একটি যুক্তিসঙ্গত বিন্দু রয়েছে। আর্টিনের অনুমান অনুসারে, এই ফলাফলটি সত্য যদিও n > d2। এটি শুধুমাত্র দ্বিঘাত ফর্মের জন্য প্রমাণিত হয়েছে। অনুরূপ সমস্যা অন্যান্য ক্ষেত্রের জন্যও জিজ্ঞাসা করা যেতে পারে। ডায়োফ্যান্টাইন জ্যামিতির কেন্দ্রীয় সমস্যা হল পূর্ণসংখ্যা বা যৌক্তিক বিন্দুর সেটের গঠন এবং তাদের অধ্যয়ন, এবং এই সেটটি সসীম কিনা তা স্পষ্ট করা প্রথম প্রশ্ন। এই সমস্যায়, সিস্টেমের ডিগ্রী ভেরিয়েবলের সংখ্যার চেয়ে অনেক বেশি হলে পরিস্থিতি সাধারণত সসীম সংখ্যক এক্সিকিউশন থাকে। এটি মৌলিক অনুমান।
রেখা এবং বক্ররেখার অসমতা
গ্রুপ X(K) কে র্যাঙ্ক r এর একটি মুক্ত কাঠামো এবং ক্রম n এর একটি সসীম গ্রুপের সরাসরি যোগফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। 1930 সাল থেকে, এই সংখ্যাগুলি একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রের K এর উপর সমস্ত উপবৃত্তাকার বক্ররেখার সেটে সীমাবদ্ধ কিনা তা নিয়ে অধ্যয়ন করা হয়েছে৷ টরশন n এর সীমানা সত্তরের দশকে প্রদর্শিত হয়েছিল৷ কার্যকরী ক্ষেত্রে নির্বিচারে উচ্চ পদের বক্ররেখা রয়েছে। সংখ্যাগত ক্ষেত্রে, এখনও এই প্রশ্নের কোন উত্তর নেই।
অবশেষে, মর্ডেলের অনুমান বলে যে অখণ্ড বিন্দুর সংখ্যা g>1 গণের একটি বক্ররেখার জন্য সসীম। কার্যকরী ক্ষেত্রে, এই ধারণাটি 1963 সালে Yu. I. Manin দ্বারা প্রদর্শিত হয়েছিল। ডায়োফ্যান্টাইন জ্যামিতিতে সসীমতা উপপাদ্য প্রমাণ করার জন্য ব্যবহৃত প্রধান হাতিয়ার হল উচ্চতা। বীজগাণিতিক জাতগুলির মধ্যে, একটির উপরে মাত্রাগুলি অ্যাবেলিয়ানম্যানিফোল্ড, যা উপবৃত্তাকার বক্ররেখার বহুমাত্রিক অ্যানালগ, সবচেয়ে পুঙ্খানুপুঙ্খভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছে৷
A. ওয়েইল যেকোন মাত্রার আবেলিয়ান বৈচিত্র্যের (মর্ডেল-ওয়েইল ধারণা) যৌক্তিক পয়েন্টগুলির একটি গ্রুপের জেনারেটরের সংখ্যার সসীমতার উপর উপপাদ্যটিকে সাধারণীকরণ করেছিলেন, এটিকে প্রসারিত করেছিলেন। 1960-এর দশকে, বার্চ এবং সুইনারটন-ডায়ারের অনুমান আবির্ভূত হয়েছিল, এটি এবং গ্রুপ এবং বহুগুণের জিটা ফাংশনগুলিকে উন্নত করে। সংখ্যাগত প্রমাণ এই অনুমানকে সমর্থন করে।
সমাধানযোগ্যতা সমস্যা
একটি অ্যালগরিদম খোঁজার সমস্যা যা কোন ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণের সমাধান আছে কিনা তা নির্ধারণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। উদ্ভূত সমস্যার একটি অপরিহার্য বৈশিষ্ট্য হল একটি সার্বজনীন পদ্ধতির অনুসন্ধান যা যেকোনো অসমতার জন্য উপযুক্ত হবে। এই জাতীয় পদ্ধতিটি উপরের সিস্টেমগুলিকে সমাধান করার অনুমতি দেবে, যেহেতু এটি P21++P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 বা p21+ ⋯ + P2K=0 এর সমতুল্য। n12+⋯+pK2=0। পূর্ণসংখ্যার রৈখিক অসমতার জন্য সমাধান খুঁজে বের করার জন্য এমন একটি সর্বজনীন উপায় খুঁজে বের করার সমস্যাটি ডি দ্বারা উত্থাপিত হয়েছিল। গিলবার্ট।
1950-এর দশকের গোড়ার দিকে, ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ সমাধানের জন্য একটি অ্যালগরিদমের অ-অস্তিত্ব প্রমাণ করার লক্ষ্যে প্রথম অধ্যয়ন প্রদর্শিত হয়েছিল। এই সময়ে, ডেভিস অনুমান উপস্থিত হয়েছিল, যা বলেছিল যে কোনও গণনাযোগ্য সেটও গ্রীক বিজ্ঞানীর অন্তর্গত। কারণ অ্যালগরিদমিকভাবে সিদ্ধান্তহীন সেটের উদাহরণগুলি পরিচিত, কিন্তু পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে গণনাযোগ্য। এটি অনুসরণ করে যে ডেভিস অনুমান সত্য এবং এই সমীকরণগুলির সমাধানযোগ্যতার সমস্যাএকটি নেতিবাচক মৃত্যুদন্ড আছে৷
এর পরে, ডেভিস অনুমানের জন্য, এটি প্রমাণ করা বাকি আছে যে একটি অসমতাকে রূপান্তরিত করার জন্য একটি পদ্ধতি রয়েছে যা একই সাথে (বা হয়নি) সমাধানও রয়েছে। এটি দেখানো হয়েছিল যে ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণের এই ধরনের পরিবর্তন সম্ভব যদি এটির উপরের দুটি বৈশিষ্ট্য থাকে: 1) এই ধরণের যেকোনো সমাধানে v ≦ uu; 2) যেকোন k-এর জন্য, সূচকীয় বৃদ্ধি সহ একটি সম্পাদন আছে।
এই শ্রেণীর একটি রৈখিক ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণের একটি উদাহরণ প্রমাণটি সম্পূর্ণ করেছে। যুক্তিযুক্ত সংখ্যায় এই অসমতাগুলির সমাধানযোগ্যতা এবং স্বীকৃতির জন্য একটি অ্যালগরিদমের অস্তিত্বের সমস্যাটি এখনও একটি গুরুত্বপূর্ণ এবং খোলা প্রশ্ন হিসাবে বিবেচিত হয় যা পর্যাপ্তভাবে অধ্যয়ন করা হয়নি৷
