সম্ভাব্যতা তত্ত্ব গণিতের একটি বিশেষ শাখা, যেটি শুধুমাত্র উচ্চ শিক্ষা প্রতিষ্ঠানের শিক্ষার্থীরা অধ্যয়ন করে। আপনি গণনা এবং সূত্র ভালবাসেন? আপনি কি স্বাভাবিক বন্টন, সমাহারের এনট্রপি, গাণিতিক প্রত্যাশা এবং একটি বিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীলের পরিবর্তনের সাথে পরিচিত হওয়ার সম্ভাবনা নিয়ে ভয় পান না? তাহলে এই সাবজেক্টটি আপনার জন্য খুবই আগ্রহের বিষয় হবে। আসুন বিজ্ঞানের এই বিভাগের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ মৌলিক ধারণাগুলির সাথে পরিচিত হই।
বেসিকগুলি স্মরণ করুন
এমনকি যদি আপনি সম্ভাব্যতা তত্ত্বের সহজতম ধারণাগুলি মনে রাখেন তবে নিবন্ধের প্রথম অনুচ্ছেদগুলিকে অবহেলা করবেন না। আসল বিষয়টি হল যে বেসিকগুলি সম্পর্কে পরিষ্কার বোঝা ছাড়া, আপনি নীচে আলোচনা করা সূত্রগুলির সাথে কাজ করতে সক্ষম হবেন না৷
সুতরাং, কিছু এলোমেলো ঘটনা আছে, কিছু পরীক্ষা। সম্পাদিত কর্মের ফলস্বরূপ, আমরা বেশ কয়েকটি ফলাফল পেতে পারি - তাদের মধ্যে কিছু বেশি সাধারণ, অন্যগুলি কম সাধারণ। একটি ইভেন্টের সম্ভাব্যতা হল সম্ভাব্য সংখ্যার মোট সংখ্যার সাথে এক প্রকারের প্রকৃত প্রাপ্ত ফলাফলের সংখ্যার অনুপাত। শুধুমাত্র এই ধারণার শাস্ত্রীয় সংজ্ঞা জেনে, আপনি ক্রমাগত গাণিতিক প্রত্যাশা এবং বৈচিত্র অধ্যয়ন শুরু করতে পারেনএলোমেলো ভেরিয়েবল।
পাটিগণিত মানে
এমনকি স্কুলে, গণিত পাঠে, আপনি পাটিগণিত গড় নিয়ে কাজ শুরু করেছিলেন। এই ধারণাটি সম্ভাব্যতা তত্ত্বে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়, এবং তাই এটি উপেক্ষা করা যায় না। এই মুহুর্তে আমাদের জন্য প্রধান জিনিস হল যে আমরা একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং তারতম্যের সূত্রগুলিতে এটির মুখোমুখি হব৷
আমাদের সংখ্যার একটি ক্রম আছে এবং আমরা পাটিগণিতের গড় বের করতে চাই। আমাদের জন্য যা প্রয়োজন তা হল উপলব্ধ সমস্ত কিছুর যোগফল এবং অনুক্রমের উপাদানগুলির সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা। আসুন আমরা 1 থেকে 9 পর্যন্ত সংখ্যা রাখি। উপাদানগুলির যোগফল হবে 45, এবং আমরা এই মানটিকে 9 দ্বারা ভাগ করব। উত্তর: - 5.
বিচ্ছুরণ
বৈজ্ঞানিকভাবে বলতে গেলে, প্রকরণ হল পাটিগণিত গড় থেকে প্রাপ্ত বৈশিষ্ট্য মানের বিচ্যুতির গড় বর্গ। একটি বড় ল্যাটিন অক্ষর D দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এটি গণনা করার জন্য কী প্রয়োজন? অনুক্রমের প্রতিটি উপাদানের জন্য, আমরা উপলব্ধ সংখ্যা এবং গাণিতিক গড়ের মধ্যে পার্থক্য গণনা করি এবং এটিকে বর্গ করি। আমরা যে ইভেন্টটি বিবেচনা করছি তার জন্য যতগুলি ফলাফল হতে পারে ঠিক ততগুলি মান থাকবে। এর পরে, আমরা প্রাপ্ত সমস্ত কিছুকে সংক্ষিপ্ত করি এবং অনুক্রমের উপাদানগুলির সংখ্যা দ্বারা ভাগ করি। আমাদের যদি পাঁচটি সম্ভাব্য ফলাফল থাকে, তাহলে পাঁচ দিয়ে ভাগ করুন।
ডিসপারশনের এমন বৈশিষ্ট্যও রয়েছে যা সমস্যার সমাধান করার সময় এটি প্রয়োগ করার জন্য আপনাকে মনে রাখতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, যদি র্যান্ডম ভেরিয়েবলটি X গুণ বৃদ্ধি করা হয়, তবে প্রকরণটি বর্গক্ষেত্রের X গুণ বৃদ্ধি পায় (অর্থাৎ, XX)। এটি কখনই শূন্যের কম নয় এবং নির্ভর করে নাএকটি সমান মান উপরে বা নিচের দ্বারা মান স্থানান্তর করা। এছাড়াও, স্বাধীন ট্রায়ালের জন্য, যোগফলের প্রকরণটি ভিন্নতার যোগফলের সমান।
এখন আমাদের অবশ্যই একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ভিন্নতার উদাহরণ এবং গাণিতিক প্রত্যাশা বিবেচনা করতে হবে।
ধরুন আমরা 21টি পরীক্ষা চালিয়েছি এবং 7টি ভিন্ন ফলাফল পেয়েছি। আমরা তাদের প্রত্যেককে যথাক্রমে 1, 2, 2, 3, 4, 4 এবং 5 বার পর্যবেক্ষণ করেছি। পার্থক্য কি হবে?
প্রথমে, পাটিগণিত গড় গণনা করা যাক: উপাদানগুলির যোগফল অবশ্যই 21। এটিকে 7 দিয়ে ভাগ করুন, 3 পাবেন। এখন মূল ক্রমানুসারে প্রতিটি সংখ্যা থেকে 3 বিয়োগ করুন, প্রতিটি মান বর্গ করুন এবং যোগ করুন ফলাফল একসাথে। এটা দেখা যাচ্ছে 12। এখন আমাদের জন্য সংখ্যাটিকে উপাদানের সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা বাকি আছে, এবং মনে হবে, এটাই সব। কিন্তু একটা ধরা আছে! আসুন আলোচনা করি।
পরীক্ষার সংখ্যার উপর নির্ভরশীলতা
এটা দেখা যাচ্ছে যে প্রকরণ গণনা করার সময়, হর দুটি সংখ্যার একটি হতে পারে: হয় N বা N-1। এখানে N হল সঞ্চালিত পরীক্ষার সংখ্যা বা অনুক্রমের উপাদানগুলির সংখ্যা (যা আসলে একই)। এটা কিসের উপর নির্ভর করে?
যদি পরীক্ষার সংখ্যা শতভাগে পরিমাপ করা হয়, তাহলে আমাদের অবশ্যই হর-এ N বসাতে হবে। যদি একক হয়, তাহলে N-1। বিজ্ঞানীরা সীমানাটি বেশ প্রতীকীভাবে আঁকার সিদ্ধান্ত নিয়েছেন: আজ এটি 30 নম্বর বরাবর চলে। যদি আমরা 30 টিরও কম পরীক্ষা চালাই, তাহলে আমরা পরিমাণটি N-1 দ্বারা ভাগ করব, এবং বেশি হলে N.
টাস্ক
আসুন ভিন্নতা এবং প্রত্যাশা সমস্যা সমাধানের আমাদের উদাহরণে ফিরে যাওয়া যাক। আমরাএকটি মধ্যবর্তী সংখ্যা 12 পেয়েছে, যাকে N বা N-1 দ্বারা ভাগ করতে হবে। যেহেতু আমরা 21টি পরীক্ষা চালিয়েছি, যা 30টির কম, আমরা দ্বিতীয় বিকল্পটি বেছে নেব। সুতরাং উত্তর হল: পার্থক্য হল 12/2=2.
প্রত্যাশা
আসুন দ্বিতীয় ধারণার দিকে এগিয়ে যাওয়া যাক, যা আমাদের এই নিবন্ধে বিবেচনা করতে হবে। গাণিতিক প্রত্যাশা হল সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতা দ্বারা গুণিত সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফল যোগ করার ফলাফল। এটা বোঝা গুরুত্বপূর্ণ যে ফলাফলের মান, সেইসাথে বৈকল্পিক গণনা করার ফলাফল, পুরো টাস্কের জন্য শুধুমাত্র একবার প্রাপ্ত হয়, তা যতই ফলাফল বিবেচনা করুক না কেন।
প্রত্যাশা সূত্রটি বেশ সহজ: আমরা একটি ফলাফল নিই, এটিকে তার সম্ভাব্যতা দ্বারা গুণ করি, দ্বিতীয়, তৃতীয় ফলাফলের জন্য একই যোগ করি, ইত্যাদি। এই ধারণার সাথে সম্পর্কিত সবকিছুই গণনা করা সহজ। উদাহরণস্বরূপ, গাণিতিক প্রত্যাশার যোগফল যোগফলের গাণিতিক প্রত্যাশার সমান। কাজের ক্ষেত্রেও একই কথা। সম্ভাব্যতা তত্ত্বের প্রতিটি পরিমাণ এই ধরনের সহজ ক্রিয়াকলাপগুলি সম্পাদন করার অনুমতি দেয় না। আসুন একটি কাজ গ্রহণ করি এবং আমরা একবারে অধ্যয়ন করা দুটি ধারণার মান গণনা করি। উপরন্তু, আমরা তত্ত্ব দ্বারা বিভ্রান্ত ছিলাম - এটি অনুশীলন করার সময়।
আরেকটি উদাহরণ
আমরা 50টি ট্রায়াল চালিয়েছি এবং 10 ধরনের ফলাফল পেয়েছি - 0 থেকে 9 পর্যন্ত সংখ্যা - বিভিন্ন শতাংশে উপস্থিত। এগুলি যথাক্রমে: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%। মনে রাখবেন যে সম্ভাব্যতা পেতে, আপনাকে শতাংশের মানগুলিকে 100 দ্বারা ভাগ করতে হবে। এইভাবে, আমরা 0.02 পাই; 0, 1, ইত্যাদি আসুন একটি র্যান্ডম এর বৈচিত্র্যের জন্য প্রতিনিধিত্ব করিসমস্যা সমাধানের মান এবং গাণিতিক প্রত্যাশার উদাহরণ।
প্রাথমিক বিদ্যালয় থেকে আমাদের মনে রাখা সূত্র ব্যবহার করে পাটিগণিত গড় গণনা করুন: 50/10=5.
এখন গণনা করা সহজ করতে সম্ভাব্যতাকে "টুকরো করে" ফলাফলের সংখ্যায় অনুবাদ করা যাক। আমরা 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 এবং 9 পাই। প্রাপ্ত প্রতিটি মান থেকে পাটিগণিত গড় বিয়োগ করুন, তারপরে আমরা প্রাপ্ত ফলাফলগুলির প্রতিটি বর্গ করি। একটি উদাহরণ হিসাবে প্রথম উপাদান ব্যবহার করে কিভাবে এটি করতে দেখুন: 1 - 5=(-4)। আরও: (-4)(-4)=16. অন্যান্য মানের জন্য, এই অপারেশনগুলি নিজে করুন। আপনি যদি সবকিছু ঠিকঠাক করে থাকেন, তাহলে সমস্ত মধ্যবর্তী ফলাফল যোগ করার পর আপনি 90 পাবেন।
90 কে N দ্বারা ভাগ করে প্রকরণ এবং গড় গণনা চালিয়ে যান। কেন আমরা N-1 না বেছে N বেছে নেব? এটা ঠিক, কারণ সম্পাদিত পরীক্ষার সংখ্যা 30 ছাড়িয়ে গেছে। তাই: 90/10=9। আমরা বিচ্ছুরণ পেয়েছি। আপনি যদি একটি ভিন্ন নম্বর পান, হতাশ হবেন না। সম্ভবত, আপনি গণনায় একটি সাধারণ ত্রুটি করেছেন। আপনি যা লিখেছেন তা দুবার চেক করুন, এবং সবকিছু নিশ্চিত হয়ে যাবে।
অবশেষে, প্রত্যাশার সূত্রটি মনে রাখা যাক। আমরা সমস্ত গণনা দেব না, আমরা শুধুমাত্র উত্তর লিখব যা দিয়ে আপনি সমস্ত প্রয়োজনীয় প্রক্রিয়া সম্পন্ন করার পরে পরীক্ষা করতে পারবেন। প্রত্যাশাটি 5, 48 এর সমান হবে। আমরা কেবল প্রথম উপাদানগুলির উদাহরণ ব্যবহার করে কীভাবে অপারেশন চালাতে হয় তা স্মরণ করি: 00, 02 + 10, 1… এবং আরও অনেক কিছু। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, আমরা ফলাফলের মানকে তার সম্ভাব্যতা দ্বারা গুণ করি।
বিচ্যুতি
অন্য একটি ধারণা হল প্রকরণ এবং প্রত্যাশিত মানের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিতআদর্শ চ্যুতি. এটি ল্যাটিন অক্ষর sd দ্বারা বা গ্রীক ছোট হাতের "সিগমা" দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এই ধারণাটি দেখায় কিভাবে, গড়ে, মানগুলি কেন্দ্রীয় বৈশিষ্ট্য থেকে বিচ্যুত হয়। এর মান খুঁজে পেতে, আপনাকে প্রকরণের বর্গমূল গণনা করতে হবে।
আপনি যদি একটি সাধারণ বন্টনের একটি গ্রাফ তৈরি করেন এবং সরাসরি এতে স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশনের মান দেখতে চান তবে এটি বেশ কয়েকটি ধাপে করা যেতে পারে। চিত্রের অর্ধেকটি মোডের বাম বা ডানে নিন (কেন্দ্রীয় মান), অনুভূমিক অক্ষে একটি লম্ব আঁকুন যাতে ফলস্বরূপ চিত্রগুলির ক্ষেত্রগুলি সমান হয়। ডিস্ট্রিবিউশনের মাঝখানের অংশের মান এবং অনুভূমিক অক্ষের ফলস্বরূপ অভিক্ষেপ হবে মানক বিচ্যুতি।
সফ্টওয়্যার
আপনি সূত্রের বর্ণনা এবং উপস্থাপিত উদাহরণগুলি থেকে দেখতে পাচ্ছেন, বৈচিত্র্য এবং গাণিতিক প্রত্যাশা গণনা করা একটি গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে সবচেয়ে সহজ পদ্ধতি নয়। সময় নষ্ট না করার জন্য, উচ্চ শিক্ষায় ব্যবহৃত প্রোগ্রামটি ব্যবহার করা বোধগম্য হয় - এটিকে "আর" বলা হয়। এটিতে ফাংশন রয়েছে যা আপনাকে পরিসংখ্যান এবং সম্ভাব্যতা তত্ত্ব থেকে অনেক ধারণার জন্য মান গণনা করতে দেয়।
উদাহরণস্বরূপ, আপনি মানগুলির একটি ভেক্টর সংজ্ঞায়িত করেন। এটি নিম্নরূপ করা হয়: ভেক্টর <-c(1, 5, 2…)। এখন, যখন আপনাকে এই ভেক্টরের জন্য কিছু মান গণনা করতে হবে, আপনি একটি ফাংশন লিখুন এবং এটি একটি যুক্তি হিসাবে দিন। বৈচিত্র খুঁজে পেতে, আপনাকে var ব্যবহার করতে হবে। তার একটি উদাহরণব্যবহার: var(ভেক্টর)। তারপর আপনি শুধু "এন্টার" টিপুন এবং ফলাফল পাবেন৷
উপসংহারে
ভ্যারিয়েন্স এবং গাণিতিক প্রত্যাশা হল সম্ভাব্যতা তত্ত্বের মৌলিক ধারণা, যা ছাড়া ভবিষ্যতে কিছু গণনা করা কঠিন। বিশ্ববিদ্যালয়গুলিতে বক্তৃতাগুলির মূল কোর্সে, তারা বিষয়টি অধ্যয়নের প্রথম মাসগুলিতে ইতিমধ্যেই বিবেচনা করা হয়। এই সহজ ধারণাগুলির বোঝার অভাব এবং তাদের গণনা করতে অক্ষমতার কারণেই অনেক শিক্ষার্থী অবিলম্বে প্রোগ্রামে পিছিয়ে পড়তে শুরু করে এবং পরে সেশনের শেষে খারাপ গ্রেড পায়, যা তাদের বৃত্তি থেকে বঞ্চিত করে।
এই নিবন্ধে উপস্থাপিত সমস্যাগুলির মতোই সমাধান করে, দিনে আধা ঘণ্টা অন্তত এক সপ্তাহ অনুশীলন করুন। তারপরে যেকোন সম্ভাব্যতা তত্ত্ব পরীক্ষায় আপনি বহিরাগত টিপস এবং চিট শীট ছাড়াই উদাহরণগুলির সাথে মোকাবিলা করবেন৷
