বার্ট্রান্ডের প্যারাডক্স সম্ভাব্যতা তত্ত্বের শাস্ত্রীয় ব্যাখ্যায় একটি সমস্যা। জোসেফ তার রচনা Calcul des probabilités (1889) এ এটি একটি উদাহরণ হিসাবে উপস্থাপন করেছিলেন যে একটি প্রক্রিয়া বা পদ্ধতি যদি একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল তৈরি করে তবে সম্ভাব্যতাগুলিকে ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায় না৷
সমস্যা বিবৃতি
বার্ট্রান্ডের প্যারাডক্স নিম্নরূপ।
প্রথম, একটি বৃত্তে খোদাই করা একটি সমবাহু ত্রিভুজ বিবেচনা করুন। এই ক্ষেত্রে, ব্যাস এলোমেলোভাবে নির্বাচিত হয়। এটি ত্রিভুজের বাহুর চেয়ে লম্বা হওয়ার সম্ভাবনা কত?
বার্ট্রান্ড তিনটি যুক্তি তৈরি করেছিলেন, যার সবকটিই সঠিক বলে মনে হয়, কিন্তু ভিন্ন ফলাফল দেয়।
র্যান্ডম এন্ডপয়েন্ট পদ্ধতি
আপনাকে বৃত্তে দুটি স্থান নির্বাচন করতে হবে এবং তাদের সংযোগকারী একটি চাপ আঁকতে হবে। গণনার জন্য, বার্ট্রান্ডের সম্ভাব্যতা প্যারাডক্স বিবেচনা করা হয়। এটি কল্পনা করা প্রয়োজন যে ত্রিভুজটি ঘোরানো হয়েছে যাতে এর শীর্ষবিন্দুটি জ্যার শেষ বিন্দুগুলির একটির সাথে মিলে যায়। মূল্য পরিশোধমনে রাখবেন যে যদি অন্য অংশটি দুটি স্থানের মধ্যে একটি চাপের উপর থাকে তবে বৃত্তটি ত্রিভুজের বাহুর চেয়ে দীর্ঘ। চাপের দৈর্ঘ্য বৃত্তের এক তৃতীয়াংশ, তাই একটি এলোমেলো জ্যা লম্বা হওয়ার সম্ভাবনা 1/3।
নির্বাচন পদ্ধতি
এটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং এর উপর একটি বিন্দু নির্বাচন করা প্রয়োজন। এর পরে, আপনাকে এই জায়গাটির মাধ্যমে একটি জ্যা তৈরি করতে হবে, ব্যাসের সাথে লম্ব। সম্ভাব্যতা তত্ত্বের বার্ট্রান্ডের বিবেচিত প্যারাডক্স গণনা করতে, একজনকে কল্পনা করতে হবে যে ত্রিভুজটি ঘোরানো হয়েছে যাতে পার্শ্বটি ব্যাসার্ধের সাথে লম্ব হয়। নির্বাচিত বিন্দু বৃত্তের কেন্দ্রের কাছাকাছি হলে জ্যা পায়ের চেয়ে দীর্ঘ হয়। এবং এই ক্ষেত্রে, ত্রিভুজের দিকটি ব্যাসার্ধকে দ্বিখণ্ডিত করে। তাই, খোদাই করা চিত্রের পাশের চেয়ে জ্যা লম্বা হওয়ার সম্ভাবনা হল 1/2।
এলোমেলো জ্যা
মিডপয়েন্ট পদ্ধতি। বৃত্তের উপর একটি স্থান নির্বাচন করা এবং একটি প্রদত্ত মধ্যম দিয়ে একটি জ্যা তৈরি করা প্রয়োজন। অক্ষটি খোদাই করা ত্রিভুজের প্রান্তের চেয়ে দীর্ঘ, যদি নির্বাচিত অবস্থানটি 1/2 ব্যাসার্ধের একটি কেন্দ্রীভূত বৃত্তের মধ্যে থাকে। ছোট বৃত্তের ক্ষেত্রফল বড় চিত্রের এক চতুর্থাংশ। অতএব, একটি এলোমেলো জ্যার সম্ভাবনা খোদাই করা ত্রিভুজের বাহুর চেয়ে দীর্ঘ এবং 1/4 সমান।
উপরে উপস্থাপিত হিসাবে, নির্বাচনের পদ্ধতিগুলি নির্দিষ্ট কর্ডের ওজনের মধ্যে পার্থক্য করে, যা ব্যাস। পদ্ধতি 1-এ, প্রতিটি জ্যা ঠিক একভাবে নির্বাচন করা যেতে পারে, তা ব্যাস হোক বা না হোক।
পদ্ধতি 2-এ, প্রতিটি সরল রেখা দুটি উপায়ে নির্বাচন করা যেতে পারে। যেখানে অন্য কোনো জ্যা বেছে নেওয়া হবেসম্ভাবনার একটি মাত্র।
3 পদ্ধতিতে, প্রতিটি মিডপয়েন্ট নির্বাচনের একটি একক প্যারামিটার থাকে। বৃত্তের কেন্দ্র ব্যতীত, যা সমস্ত ব্যাসের মধ্যবিন্দু। ফলাফলের সম্ভাব্যতাগুলিকে প্রভাবিত না করে প্যারামিটারগুলি বাদ দেওয়ার জন্য সমস্ত প্রশ্নের "অর্ডার" করে এই সমস্যাগুলি এড়ানো যেতে পারে৷
নির্বাচন পদ্ধতিগুলিও নিম্নরূপ কল্পনা করা যেতে পারে। ব্যাস নয় এমন একটি জ্যা অনন্যভাবে তার মধ্যবিন্দু দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। উপরে উপস্থাপিত তিনটি নির্বাচন পদ্ধতির প্রত্যেকটি মাঝখানের একটি ভিন্ন বন্টন তৈরি করে। এবং বিকল্প 1 এবং 2 দুটি ভিন্ন নন-ইউনিফর্ম পার্টিশন প্রদান করে, যখন পদ্ধতি 3 একটি অভিন্ন বন্টন দেয়।
বার্ট্রান্ডের সমস্যা সমাধানের ক্লাসিক প্যারাডক্স নির্ভর করে যে পদ্ধতির দ্বারা জ্যাকে "এলোমেলোভাবে" বেছে নেওয়া হয় তার উপর। এটা দেখা যাচ্ছে যে যদি র্যান্ডম নির্বাচনের একটি পদ্ধতি আগে থেকে নির্দিষ্ট করা হয়, তাহলে সমস্যার একটি সুনির্দিষ্ট সমাধান রয়েছে। এর কারণ হল প্রতিটি পৃথক পদ্ধতির নিজস্ব কর্ডের বিতরণ রয়েছে। বার্ট্রান্ডের দেখানো তিনটি বিধি নির্বাচনের বিভিন্ন পদ্ধতির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং, আরও তথ্যের অনুপস্থিতিতে, একটির উপর অন্যটিকে সমর্থন করার কোন কারণ নেই। তদনুসারে, বর্ণিত সমস্যার একটি একক সমাধান নেই৷
একটি সাধারণ উত্তরকে কীভাবে অনন্য করে তোলা যায় তার একটি উদাহরণ হল জ্যা-এর শেষ বিন্দুগুলি 0 এবং c-এর মধ্যে সমানভাবে ব্যবধান করা হয়, যেখানে c হল বৃত্তের পরিধি। এই বন্টনটি বার্ট্রান্ডের প্রথম আর্গুমেন্টের মতই এবং এর ফলে অনন্য সম্ভাব্যতা হবে 1/3।
এই বার্ট্রান্ড রাসেল প্যারাডক্স এবং ক্লাসিক্যালের অন্যান্য স্বতন্ত্রতাসম্ভাবনার ব্যাখ্যাগুলি আরও কঠোর ফর্মুলেশনকে ন্যায্যতা দেয়। সম্ভাব্যতা ফ্রিকোয়েন্সি এবং বিষয়বাদী বায়েসিয়ান তত্ত্ব সহ।
বার্ট্রান্ডের প্যারাডক্সের অন্তর্নিহিত কী
তাঁর 1973 সালের প্রবন্ধে "The Well-posed Problem," এডউইন জেইনস তার অনন্য সমাধান দিয়েছেন। তিনি উল্লেখ করেছেন যে বার্ট্রান্ডের প্যারাডক্স "সর্বোচ্চ অজ্ঞতা" নীতির উপর ভিত্তি করে একটি ভিত্তির উপর ভিত্তি করে। এর মানে হল যে আপনি এমন কোনো তথ্য ব্যবহার করবেন না যা সমস্যা বিবৃতিতে দেওয়া হয়নি। জেইনস উল্লেখ করেছেন যে বার্ট্রান্ডের সমস্যা বৃত্তের অবস্থান বা আকার নির্ধারণ করে না। এবং যুক্তি দিয়েছিলেন যে তাই যে কোনও নির্দিষ্ট এবং উদ্দেশ্যমূলক সিদ্ধান্ত অবশ্যই আকার এবং অবস্থানের প্রতি "উদাসীন" হতে হবে৷
দৃষ্টান্তের উদ্দেশ্যে
ধরে নিচ্ছি যে সমস্ত কর্ড এলোমেলোভাবে 2 সেমি বৃত্তে স্থাপন করা হয়েছে, এখন আপনাকে এটিতে দূর থেকে খড় ছুঁড়তে হবে।
তারপর আপনাকে একটি ছোট ব্যাস সহ আরেকটি বৃত্ত নিতে হবে (উদাহরণস্বরূপ, 1 সেন্টিমিটার), যা একটি বড় চিত্রে ফিট করে। তারপরে এই ছোট বৃত্তে জ্যাগুলির বিতরণ সর্বাধিক একের মতো হওয়া উচিত। যদি দ্বিতীয় চিত্রটিও প্রথমটির ভিতরে চলে যায় তবে সম্ভাব্যতা, নীতিগতভাবে, পরিবর্তন করা উচিত নয়। এটা দেখা খুব সহজ যে পদ্ধতি 3-এর জন্য নিম্নলিখিত পরিবর্তন ঘটবে: ছোট লাল বৃত্তে কর্ডের বন্টন বড় বৃত্তের বন্টন থেকে গুণগতভাবে আলাদা হবে।
পদ্ধতি 1 এর ক্ষেত্রেও একই ঘটনা ঘটে। যদিও গ্রাফিকাল ভিউতে এটি দেখা কঠিন।
পদ্ধতি 2 একমাত্রযা একটি স্কেল এবং একটি অনুবাদ অপরিবর্তনীয় হতে দেখা যাচ্ছে৷
পদ্ধতি নম্বর 3 সহজভাবে এক্সটেনসিবল বলে মনে হচ্ছে।
পদ্ধতি 1 কোনটিই নয়।
তবে, জেনস এই পদ্ধতিগুলি গ্রহণ বা প্রত্যাখ্যান করার জন্য সহজে invariants ব্যবহার করেননি। এটি এই সম্ভাবনাকে ছেড়ে দেবে যে অন্য একটি অবর্ণিত পদ্ধতি রয়েছে যা এর যুক্তিসঙ্গত অর্থের দিকগুলির সাথে খাপ খায়। Jaynes invariances বর্ণনা অবিচ্ছেদ্য সমীকরণ প্রয়োগ. সরাসরি সম্ভাব্যতা বন্টন নির্ধারণ করতে। তার সমস্যায়, অবিচ্ছেদ্য সমীকরণের প্রকৃতপক্ষে একটি অনন্য সমাধান রয়েছে, এবং এটিকে উপরের দ্বিতীয় র্যান্ডম ব্যাসার্ধ পদ্ধতি বলা হয়েছিল।
2015 সালের একটি গবেষণাপত্রে, অ্যালন ড্ররি যুক্তি দেন যে জেনেসের নীতি দুটি বার্ট্রান্ড সমাধানও দিতে পারে। লেখক আশ্বস্ত করেছেন যে ইনভেরিয়েন্সের উপরোক্ত বৈশিষ্ট্যগুলির গাণিতিক বাস্তবায়ন অনন্য নয়, তবে এটি নির্ভর করে মৌলিক এলোমেলো নির্বাচন পদ্ধতির উপর যা একজন ব্যক্তি ব্যবহার করার সিদ্ধান্ত নেন। তিনি দেখান যে তিনটি বার্ট্রান্ড সমাধানের প্রতিটি ঘূর্ণনশীল, স্কেলিং এবং অনুবাদমূলক ইনভেরিয়েন্স ব্যবহার করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে। একই সময়ে, এই উপসংহারে পৌঁছেছি যে জেইনস নীতিটি উদাসীনতার পদ্ধতির মতোই ব্যাখ্যার বিষয়।
শারীরিক পরীক্ষা
পদ্ধতি 2 হল একমাত্র সমাধান যা পরিসংখ্যানগত মেকানিক্স এবং গ্যাস কাঠামোর মতো নির্দিষ্ট শারীরবৃত্তীয় ধারণাগুলিতে উপস্থিত রূপান্তর পরিবর্তনকে সন্তুষ্ট করে। এছাড়াও প্রস্তাবিতএকটি ছোট বৃত্ত থেকে খড় নিক্ষেপের জেনসের পরীক্ষা৷
তবে, অন্যান্য ব্যবহারিক পরীক্ষাগুলি ডিজাইন করা যেতে পারে যা অন্যান্য পদ্ধতি অনুসারে উত্তর প্রদান করে। উদাহরণস্বরূপ, প্রথম র্যান্ডম এন্ডপয়েন্ট পদ্ধতির সমাধানে পৌঁছানোর জন্য, আপনি এলাকার কেন্দ্রে একটি কাউন্টার সংযুক্ত করতে পারেন। এবং দুটি স্বাধীন ঘূর্ণনের ফলাফলগুলি জ্যার চূড়ান্ত স্থানগুলিকে হাইলাইট করে। তৃতীয় পদ্ধতির সমাধানে পৌঁছানোর জন্য, কেউ গুড় দিয়ে বৃত্তটিকে ঢেকে দিতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, এবং প্রথম বিন্দুটিকে চিহ্নিত করতে পারে যেখানে মাছিটি মধ্যম জ্যা হিসাবে অবতরণ করে। বেশ কিছু মনীষী বিভিন্ন সিদ্ধান্তে উপনীত হওয়ার জন্য গবেষণা তৈরি করেছেন এবং পরীক্ষামূলকভাবে ফলাফল নিশ্চিত করেছেন।
সাম্প্রতিক ঘটনা
নিকোলাস শ্যাকেল তার 2007 সালের নিবন্ধ "দ্য বার্ট্রান্ড প্যারাডক্স অ্যান্ড দ্য ইনডিফেন্স প্রিন্সিপল"-এ যুক্তি দিয়েছেন যে এক শতাব্দীরও বেশি সময় পরেও সমস্যাটি এখনও অমীমাংসিত রয়ে গেছে। তিনি উদাসীনতার নীতিকে খণ্ডন করতে যান। অধিকন্তু, তার 2013 সালের গবেষণাপত্রে, "The Bertrand Russell Paradox Revisited: Why All Solutions are Not Practical," ড্যারেল আর. রোবটম দেখান যে প্রস্তাবিত সমস্ত রায়ের সাথে তার নিজের প্রশ্নের কোনো সম্পর্ক নেই৷ সুতরাং দেখা গেল যে প্যারাডক্সটি সমাধান করা আগের চিন্তার চেয়ে অনেক বেশি কঠিন হবে৷
শ্যাকেল জোর দিয়ে বলেছেন যে এখনও পর্যন্ত অনেক বিজ্ঞানী এবং বিজ্ঞান থেকে দূরে থাকা লোকেরা বার্ট্রান্ডের প্যারাডক্সের সমাধান করার চেষ্টা করেছেন। এটি এখনও দুটি ভিন্ন পদ্ধতির সাহায্যে পরাস্ত হয়৷
যাদের মধ্যে অ-সমতুল্য সমস্যাগুলির মধ্যে পার্থক্য বিবেচনা করা হয়েছিল এবং যেগুলিতে সমস্যাটি সর্বদা সঠিক বলে বিবেচিত হয়েছিল৷ শ্যাকেল তার বইয়ে লুইকে উদ্ধৃত করেছেনমেরিনফ (পার্থক্যের কৌশলের একটি সাধারণ ব্যাখ্যাকারী হিসাবে) এবং এডউইন জেনস (একটি সুচিন্তিত তত্ত্বের লেখক হিসাবে)।
তবে, তাদের সাম্প্রতিক কাজ একটি জটিল সমস্যা সমাধানে, ডিডেরিক আর্টস এবং ম্যাসিমিলিয়ানো সাসোলি দে বিয়াঞ্চি বিশ্বাস করেন যে বার্ট্রান্ড প্যারাডক্সের সমাধান করার জন্য, একটি মিশ্র কৌশলের মাধ্যমে প্রাঙ্গণটি সন্ধান করতে হবে। এই লেখকদের মতে, প্রথম ধাপ হল এলোমেলো হয়ে যাওয়া সত্তার প্রকৃতি স্পষ্টভাবে উল্লেখ করে সমস্যার সমাধান করা। এবং এটি করার পরেই, যে কোনও সমস্যা সঠিক বলে বিবেচিত হতে পারে। জেনস এটাই মনে করে।
সুতরাং সর্বাধিক অজ্ঞতার নীতিটি এটি সমাধানের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। এই লক্ষ্যে, এবং যেহেতু সমস্যাটি নির্দিষ্ট করে না যে কীভাবে একটি জ্যা নির্বাচন করা উচিত, তাই নীতিটি বিভিন্ন সম্ভাবনার স্তরে নয়, বরং অনেক গভীরে প্রয়োগ করা হয়৷
অংশ নির্বাচন
সমস্যার এই অংশটির জন্য সমস্ত সম্ভাব্য উপায়ে একটি মেটা-গড়ের গণনা প্রয়োজন, যাকে লেখক সর্বজনীন গড় বলে। এটি মোকাবেলা করার জন্য, তারা বিচক্ষণ পদ্ধতি ব্যবহার করে। উইনার প্রক্রিয়ায় সম্ভাব্যতার আইন সংজ্ঞায়িত করার জন্য যা করা হচ্ছে তা দ্বারা অনুপ্রাণিত। তাদের ফলাফল জেনেসের সংখ্যাসূচক ফলাফলের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, যদিও তাদের ভালভাবে তৈরি করা সমস্যাটি মূল লেখকের থেকে আলাদা৷
অর্থনীতি এবং বাণিজ্যে, বার্ট্রান্ড প্যারাডক্স, এর স্রষ্টা জোসেফ বার্ট্রান্ডের নামে নামকরণ করা হয়েছে, এমন একটি পরিস্থিতি বর্ণনা করে যেখানে দুটি খেলোয়াড় (ফার্ম) একটি ন্যাশ ভারসাম্যে পৌঁছায়। যখন উভয় সংস্থাই প্রান্তিক খরচের সমান মূল্য নির্ধারণ করে(MS)।
বার্ট্রান্ডের প্যারাডক্স একটি ভিত্তির উপর ভিত্তি করে। এটা এই সত্য যে Cournot প্রতিযোগিতার মতো মডেলগুলিতে, ফার্মের সংখ্যা বৃদ্ধি প্রান্তিক খরচের সাথে দামের একত্রিত হওয়ার সাথে জড়িত। এই বিকল্প মডেলগুলিতে, বার্ট্রান্ডের প্যারাডক্স হল অল্প সংখ্যক ফার্মের অলিগোপলিতে যারা খরচের উপরে দাম ধার্য করে ইতিবাচক মুনাফা অর্জন করে৷
শুরুতে, এটা ধরে নেওয়া উচিত যে দুটি ফার্ম A এবং B একটি সমজাতীয় পণ্য বিক্রি করে, যার প্রতিটির উৎপাদন এবং বিতরণের খরচ একই। এটি অনুসরণ করে যে ক্রেতারা শুধুমাত্র মূল্যের ভিত্তিতে একটি পণ্য চয়ন করে। এর মানে হল যে চাহিদা অসীম মূল্য ইলাস্টিক। A বা B উভয়ই অন্যদের চেয়ে বেশি দাম নির্ধারণ করবে না, কারণ এটি পুরো বার্ট্রান্ড প্যারাডক্সকে ভেঙে ফেলবে। বাজারের অংশগ্রহণকারীদের মধ্যে একজন তার প্রতিযোগীর কাছে সমর্পণ করবে। একই মূল্য নির্ধারণ করলে কোম্পানিগুলো লাভ ভাগ করবে।
অন্যদিকে, কোনো ফার্ম যদি তার দাম সামান্য কমায়, তাহলে পুরো বাজার পাবে এবং উল্লেখযোগ্যভাবে বেশি রিটার্ন পাবে। যেহেতু A এবং B এটি জানে, তারা প্রত্যেকে প্রতিযোগীকে কম করার চেষ্টা করবে যতক্ষণ না পণ্যটি শূন্য অর্থনৈতিক লাভে বিক্রি হয়।
সাম্প্রতিক কাজ দেখিয়েছে যে বার্ট্রান্ডের মিশ্র কৌশল প্যারাডক্সে একটি অতিরিক্ত ভারসাম্য থাকতে পারে, ইতিবাচক অর্থনৈতিক লাভের সাথে, যদি একচেটিয়া যোগফল অসীম হয়। চূড়ান্ত লাভের ক্ষেত্রে, এটি দেখানো হয়েছিল যে মূল্য প্রতিযোগিতার অধীনে একটি ইতিবাচক বৃদ্ধি মিশ্র ভারসাম্য এবং এমনকি সাধারণ ক্ষেত্রেও অসম্ভব।সম্পর্কযুক্ত সিস্টেম।
আসলে, অর্থনীতিতে বার্ট্রান্ডের প্যারাডক্স অনুশীলনে খুব কমই দেখা যায়, কারণ প্রকৃত পণ্যগুলি প্রায় সবসময়ই মূল্য ছাড়া অন্য কোনো উপায়ে পার্থক্য করা হয় (উদাহরণস্বরূপ, একটি লেবেলের জন্য অতিরিক্ত অর্থ প্রদান)। সংস্থাগুলির উত্পাদন এবং বিতরণ করার ক্ষমতার সীমা রয়েছে। এই কারণে দুটি ব্যবসার কদাচিৎ একই খরচ হয়৷
বার্ট্রান্ডের ফলাফলটি অসঙ্গতিপূর্ণ কারণ যদি ফার্মের সংখ্যা এক থেকে দুই পর্যন্ত বৃদ্ধি পায়, তাহলে দাম একচেটিয়া থেকে প্রতিযোগিতামূলক হয়ে যায় এবং তারপরে যে সংস্থাগুলি বৃদ্ধি পায় তার সমান স্তরে থাকে। এটি খুব বাস্তবসম্মত নয়, কারণ বাস্তবে, বাজার ক্ষমতা সহ কয়েকটি সংস্থার বাজারগুলি প্রান্তিক খরচের উপরে দাম নেওয়ার প্রবণতা রাখে। অভিজ্ঞতামূলক বিশ্লেষণ দেখায় যে দুটি প্রতিযোগী সহ বেশিরভাগ শিল্প ইতিবাচক মুনাফা তৈরি করে।
আধুনিক বিশ্বে, বিজ্ঞানীরা প্রতিযোগিতার কর্ণট মডেলের সাথে আরও সামঞ্জস্যপূর্ণ প্যারাডক্সের সমাধান খুঁজে বের করার চেষ্টা করছেন। যেখানে একটি বাজারে দুটি সংস্থা ইতিবাচক মুনাফা করছে যা পুরোপুরি প্রতিযোগিতামূলক এবং একচেটিয়া স্তরের মধ্যে কোথাও৷
বার্ট্রান্ডের প্যারাডক্স সরাসরি অর্থনীতির সাথে সম্পর্কিত না হওয়ার কিছু কারণ:
- ক্ষমতা সীমা। কখনও কখনও সংস্থাগুলির সমস্ত চাহিদা মেটাতে পর্যাপ্ত ক্ষমতা থাকে না। এই পয়েন্টটি ফ্রান্সিস এজওয়ার্থ প্রথম উত্থাপন করেছিলেন এবং বার্ট্রান্ড-এজওয়ার্থ মডেলের জন্ম দিয়েছিলেন।
- পূর্ণসংখ্যার দাম। MC-এর উপরে দামগুলি বাদ দেওয়া হয়েছে কারণ একটি ফার্ম এলোমেলোভাবে অন্যটিকে কম করতে পারে।ক্ষুদ্র পরিমাণ. যদি দামগুলি বিচ্ছিন্ন হয় (উদাহরণস্বরূপ, তাদের অবশ্যই পূর্ণসংখ্যার মান নিতে হবে), তাহলে একটি ফার্মকে অবশ্যই অন্যটিকে কমপক্ষে একটি রুবেল কমিয়ে দিতে হবে। এটি বোঝায় যে ক্ষুদ্র মুদ্রার মান MC-এর উপরে। যদি অন্য একটি ফার্ম এটির জন্য উচ্চ মূল্য নির্ধারণ করে, অন্য একটি ফার্ম এটি কমিয়ে দিতে পারে এবং পুরো বাজার দখল করতে পারে, বার্ট্রান্ডের প্যারাডক্স এর মধ্যেই রয়েছে। এতে তার কোনো লাভ হবে না। এই ব্যবসাটি অন্য ফার্মের সাথে 50/50 বিক্রয় ভাগাভাগি করতে পছন্দ করবে এবং সম্পূর্ণরূপে ইতিবাচক রাজস্ব পাবে।
- পণ্যের পার্থক্য। যদি বিভিন্ন ফার্মের পণ্য একে অপরের থেকে আলাদা হয়, তাহলে ভোক্তারা কম দামের পণ্যগুলিতে পুরোপুরি স্যুইচ করতে পারবেন না।
- গতিশীল প্রতিযোগিতা। বারবার মিথস্ক্রিয়া বা বারবার মূল্য প্রতিযোগিতা মূল্যের ভারসাম্যের দিকে নিয়ে যেতে পারে।
- অধিক পরিমাণের জন্য আরও আইটেম। এটি পুনরাবৃত্তি মিথস্ক্রিয়া থেকে অনুসরণ করে. যদি একটি কোম্পানি তার দাম একটু বেশি সেট করে, তবে এটি এখনও মোটামুটি একই সংখ্যক ক্রয় পাবে, কিন্তু আইটেম প্রতি আরও বেশি লাভ পাবে। তাই, অন্য কোম্পানি তার মার্কআপ বাড়াবে, ইত্যাদি। (শুধু রিপ্লেতে, অন্যথায় গতিশীলতা অন্য দিকে যায়)।
অলিগোপলি
যদি দুটি কোম্পানি একটি মূল্যের বিষয়ে একমত হতে পারে, তাহলে চুক্তিটি বজায় রাখা তাদের দীর্ঘমেয়াদী স্বার্থে: মূল্য হ্রাস রাজস্ব চুক্তি মেনে চলার রাজস্বের দ্বিগুণেরও কম এবং অন্য সংস্থাটি তার কম না করা পর্যন্ত স্থায়ী হয়। নিজস্ব দাম।
তত্ত্বসম্ভাব্যতা (গণিতের বাকি অংশের মতো) আসলে একটি সাম্প্রতিক আবিষ্কার। আর উন্নয়ন মসৃণ হয়নি। সম্ভাব্যতার ক্যালকুলাসকে আনুষ্ঠানিক করার প্রথম প্রয়াস মারকুইস ডি ল্যাপ্লেস দ্বারা করা হয়েছিল, যিনি ধারণাটিকে সংজ্ঞায়িত করার প্রস্তাব করেছিলেন একটি ফলাফলের দিকে পরিচালিত ঘটনাগুলির সংখ্যার অনুপাত হিসাবে৷
অবশ্যই, সমস্ত সম্ভাব্য ইভেন্টের সংখ্যা সীমিত হলেই তা বোঝা যায়। এবং তাছাড়া, সব ঘটনা সমানভাবে সম্ভব।
এইভাবে, সেই সময়ে, এই ধারণাগুলির কোনও শক্ত ভিত্তি নেই বলে মনে হয়েছিল। সংজ্ঞাটিকে অসীম সংখ্যক ঘটনার ক্ষেত্রে প্রসারিত করার প্রচেষ্টা আরও বড় অসুবিধার দিকে পরিচালিত করেছে। বার্ট্রান্ডের প্যারাডক্স এমন একটি আবিষ্কার যা গণিতবিদদের সম্ভাব্যতার সম্পূর্ণ ধারণা সম্পর্কে সতর্ক করেছে।
