কঠিন জ্যামিতির স্কুল কোর্সে, তিনটি স্থানিক অক্ষ বরাবর শূন্য নয় এমন একটি সরল চিত্র হল একটি চতুর্ভুজাকার প্রিজম। প্রবন্ধে বিবেচনা করুন এটি কী ধরনের চিত্র, এতে কোন উপাদান রয়েছে এবং আপনি কীভাবে এর পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল এবং আয়তন গণনা করতে পারেন।
প্রিজমের ধারণা
জ্যামিতিতে, একটি প্রিজম হল একটি স্থানিক চিত্র, যা দুটি অভিন্ন ভিত্তি এবং পার্শ্ব পৃষ্ঠ দ্বারা গঠিত হয় যা এই ঘাঁটির পার্শ্বগুলিকে সংযুক্ত করে। লক্ষ্য করুন যে উভয় বেস কিছু ভেক্টর দ্বারা সমান্তরাল অনুবাদের অপারেশন ব্যবহার করে একে অপরের মধ্যে রূপান্তরিত হয়। প্রিজমের এই অ্যাসাইনমেন্টটি এই সত্যের দিকে পরিচালিত করে যে এর সমস্ত বাহু সর্বদা সমান্তরাল হয়।
বেসের বাহুর সংখ্যা তিন থেকে শুরু করে নির্বিচারে হতে পারে। যখন এই সংখ্যাটি অসীমের দিকে ঝুঁকতে থাকে, তখন প্রিজমটি মসৃণভাবে একটি সিলিন্ডারে পরিণত হয়, যেহেতু এর ভিত্তি একটি বৃত্তে পরিণত হয় এবং পার্শ্ব সমান্তরালগ্রামগুলি সংযুক্ত হয়ে একটি নলাকার পৃষ্ঠ তৈরি করে৷
যেকোন পলিহেড্রনের মতো, একটি প্রিজম দ্বারা চিহ্নিত করা হয়বাহু (বিমানগুলি যা চিত্রটিকে আবদ্ধ করে), প্রান্তগুলি (যে অংশগুলির সাথে যে কোনও দুটি দিক ছেদ করে) এবং শীর্ষবিন্দু (তিন বাহুর মিলন বিন্দু, একটি প্রিজমের জন্য তাদের দুটি পার্শ্বীয় এবং তৃতীয়টি ভিত্তি)। চিত্রের নামযুক্ত তিনটি উপাদানের পরিমাণ নিম্নলিখিত অভিব্যক্তি দ্বারা পরস্পর সংযুক্ত:
P=C + B - 2
এখানে P, C এবং B হল যথাক্রমে প্রান্ত, বাহু এবং শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা। এই অভিব্যক্তিটি অয়লারের উপপাদ্যের গাণিতিক স্বরলিপি।
উপরের ছবিটি দুটি প্রিজম দেখায়। তাদের একটির গোড়ায় (A) একটি নিয়মিত ষড়ভুজ রয়েছে এবং পাশের দিকগুলি ঘাঁটির সাথে লম্ব। চিত্র B আরেকটি প্রিজম দেখায়। এর বাহুগুলো আর ঘাঁটির সাথে লম্ব নয় এবং ভিত্তিটি একটি নিয়মিত পঞ্চভুজ।
চতুর্ভুজাকার প্রিজম কী?
উপরের বর্ণনা থেকে স্পষ্ট, প্রিজমের ধরন প্রাথমিকভাবে নির্ধারিত হয় বহুভুজের ধরন দ্বারা যা ভিত্তি তৈরি করে (উভয়টি ভিত্তিই একই, তাই আমরা তাদের একটি সম্পর্কে কথা বলতে পারি)। যদি এই বহুভুজ একটি সমান্তরালগ্রাম হয়, তাহলে আমরা একটি চতুর্ভুজ প্রিজম পাই। সুতরাং, এই ধরণের প্রিজমের সমস্ত বাহুই সমান্তরালগ্রাম। একটি চতুর্ভুজাকার প্রিজমের নিজস্ব নাম আছে - একটি সমান্তরাল নল।
একটি প্যারালেলেপিপডের বাহুর সংখ্যা ছয়টি এবং প্রতিটি বাহুর সমান সমান্তরাল রয়েছে। যেহেতু বাক্সের ভিত্তি দুটি পার্শ্ব, বাকি চারটি পার্শ্বীয়।
সমান্তরালপিপের শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা আটটি, যা দেখা সহজ যদি আমরা মনে রাখি যে প্রিজমের শীর্ষবিন্দুগুলি কেবলমাত্র ভিত্তি বহুভুজের শীর্ষবিন্দুতে গঠিত হয় (4x2=8)। অয়লারের উপপাদ্য প্রয়োগ করে, আমরা প্রান্তের সংখ্যা পাই:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
12টি পাঁজরের মধ্যে, মাত্র 4টি পার্শ্ব দ্বারা স্বাধীনভাবে গঠিত হয়। বাকি 8টি চিত্রটির ঘাঁটির সমতলগুলিতে রয়েছে৷
আরও নিবন্ধে আমরা কেবল চতুর্ভুজাকার প্রিজম সম্পর্কে কথা বলব।
সমান্তরাল পাইপডের প্রকার
প্রথম ধরনের শ্রেণীবিভাগ হল অন্তর্নিহিত সমান্তরালগ্রামের বৈশিষ্ট্য। এটি দেখতে এরকম হতে পারে:
- নিয়মিত, যার কোণ ৯০o;
- আয়তক্ষেত্র;
- একটি বর্গ একটি নিয়মিত চতুর্ভুজ।
এর সমান নয়
দ্বিতীয় প্রকারের শ্রেণীবিভাগ হল সেই কোণ যার দিকটি ভিত্তিকে অতিক্রম করে। দুটি ভিন্ন ক্ষেত্রে এখানে সম্ভব:
- এই কোণটি সোজা নয়, তাহলে প্রিজমকে বলা হয় তির্যক বা তির্যক;
- কোণটি 90o, তাহলে এই ধরনের প্রিজম আয়তক্ষেত্রাকার বা ঠিক সোজা।
তৃতীয় ধরণের শ্রেণীবিভাগ প্রিজমের উচ্চতার সাথে সম্পর্কিত। যদি প্রিজম আয়তক্ষেত্রাকার হয়, এবং ভিত্তিটি হয় একটি বর্গক্ষেত্র বা একটি আয়তক্ষেত্র, তাহলে একে ঘনক বলা হয়। যদি গোড়ায় একটি বর্গক্ষেত্র থাকে, প্রিজমটি আয়তক্ষেত্রাকার হয় এবং এর উচ্চতা বর্গক্ষেত্রের পাশের দৈর্ঘ্যের সমান হয়, তাহলে আমরা সুপরিচিত কিউব ফিগার পাই।
প্রিজম পৃষ্ঠ এবং ক্ষেত্রফল
একটি প্রিজমের দুটি ভিত্তির উপর থাকা সমস্ত বিন্দুর সেট(সমান্তরালগ্রাম) এবং এর পার্শ্বে (চারটি সমান্তরালগ্রাম) চিত্রটির পৃষ্ঠ তৈরি করে। এই পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল বেসের ক্ষেত্রফল এবং পার্শ্ব পৃষ্ঠের জন্য এই মান গণনা করে গণনা করা যেতে পারে। তাহলে তাদের যোগফল কাঙ্খিত মান দেবে। গাণিতিকভাবে, এটি নিম্নরূপ লেখা হয়:
S=2So+ Sb
এখানে So এবং Sb যথাক্রমে বেস এবং পাশের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল। So এর আগে 2 নম্বরটি প্রদর্শিত হবে কারণ দুটি বেস রয়েছে।
মনে রাখবেন যে লিখিত সূত্রটি যেকোন প্রিজমের জন্য বৈধ, এবং শুধুমাত্র চতুর্ভুজাকার প্রিজমের ক্ষেত্রের জন্য নয়।
এটি মনে রাখা দরকারী যে একটি সমান্তরাল বৃত্তের ক্ষেত্রফল Sp সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:
Sp=ah
যেখানে a এবং h চিহ্নগুলি যথাক্রমে এর একটি বাহুর দৈর্ঘ্য এবং এই দিকে টানা উচ্চতা নির্দেশ করে।
একটি বর্গক্ষেত্র বেস সহ একটি আয়তক্ষেত্রাকার প্রিজমের ক্ষেত্রফল
একটি নিয়মিত চতুর্ভুজাকার প্রিজমে, ভিত্তিটি একটি বর্গক্ষেত্র। সুনির্দিষ্টতার জন্য, আমরা একটি অক্ষর দ্বারা এর দিকটি নির্দেশ করি। একটি নিয়মিত চতুর্ভুজাকার প্রিজমের ক্ষেত্রফল গণনা করতে, আপনাকে এর উচ্চতা জানা উচিত। এই পরিমাণের সংজ্ঞা অনুসারে, এটি একটি বেস থেকে অন্য বেসে নেমে যাওয়া লম্বের দৈর্ঘ্যের সমান, অর্থাৎ তাদের মধ্যে দূরত্বের সমান। এর h অক্ষর দ্বারা এটি চিহ্নিত করা যাক. যেহেতু সমস্ত পার্শ্বমুখগুলি বিবেচনাধীন প্রিজমের প্রকারের জন্য ভিত্তিগুলির সাথে লম্ব, তাই একটি নিয়মিত চতুর্ভুজাকার প্রিজমের উচ্চতা তার পাশের প্রান্তের দৈর্ঘ্যের সমান হবে৷
Bপ্রিজমের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের সাধারণ সূত্র হল দুটি পদ। এই ক্ষেত্রে বেসের ক্ষেত্রফল গণনা করা সহজ, এটি সমান:
So=a2
পাশ্বর্ীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল গণনা করতে, আমরা নিম্নরূপ যুক্তি দিই: এই পৃষ্ঠটি 4টি অভিন্ন আয়তক্ষেত্র দ্বারা গঠিত। তদুপরি, তাদের প্রতিটির বাহু a এবং h এর সমান। এর মানে হল Sb এর ক্ষেত্রফল সমান হবে:
Sb=4ah
মনে রাখবেন যে গুণফল 4a হল বর্গাকার ভিত্তির পরিধি। যদি আমরা এই অভিব্যক্তিটিকে একটি নির্বিচারী ভিত্তির ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করি, তবে একটি আয়তক্ষেত্রাকার প্রিজমের জন্য পার্শ্ব পৃষ্ঠটি নিম্নরূপ গণনা করা যেতে পারে:
Sb=Poh
যেখানে Po বেসের পরিধি।
একটি নিয়মিত চতুর্ভুজাকার প্রিজমের ক্ষেত্রফল গণনার সমস্যায় ফিরে এসে, আমরা চূড়ান্ত সূত্রটি লিখতে পারি:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
একটি তির্যক সমান্তরাল ক্ষেত্রফল
এটি গণনা করা একটি আয়তক্ষেত্রাকারের চেয়ে কিছুটা বেশি কঠিন। এই ক্ষেত্রে, চতুর্ভুজাকার প্রিজমের ভিত্তি ক্ষেত্রফল সমান্তরালগ্রামের মতো একই সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়। পাশ্বর্ীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল যেভাবে নির্ণয় করা হয় তা পরিবর্তনগুলি উদ্বেগজনক৷
এটি করার জন্য, উপরের অনুচ্ছেদে দেওয়া পরিধির মাধ্যমে একই সূত্র ব্যবহার করুন। শুধুমাত্র এখন এটির সামান্য ভিন্ন গুণক থাকবে। তির্যক প্রিজমের ক্ষেত্রে Sb এর সাধারণ সূত্র হল:
Sb=Psrc
এখানে c হল চিত্রটির পাশের প্রান্তের দৈর্ঘ্য।মান Psr আয়তক্ষেত্রাকার স্লাইসের পরিধি। এই পরিবেশটি নিম্নরূপ তৈরি করা হয়েছে: একটি সমতল দিয়ে সমস্ত পাশের মুখগুলিকে ছেদ করা প্রয়োজন যাতে এটি তাদের সকলের সাথে লম্ব হয়। ফলস্বরূপ আয়তক্ষেত্রটি পছন্দসই কাটা হবে।
উপরের চিত্রটি একটি তির্যক বাক্সের উদাহরণ দেখায়। এর ক্রস-হ্যাচড বিভাগটি বাহুগুলির সাথে সমকোণ তৈরি করে। বিভাগের পরিধি হল Psr. এটি পার্শ্বীয় সমান্তরালগ্রামের চারটি উচ্চতা দ্বারা গঠিত হয়। এই চতুর্ভুজাকার প্রিজমের জন্য, উপরের সূত্রটি ব্যবহার করে পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল গণনা করা হয়।
একটি কিউবয়েডের কর্ণের দৈর্ঘ্য
একটি সমান্তরালপিপের তির্যক হল একটি অংশ যা দুটি শীর্ষবিন্দুকে সংযুক্ত করে যার সাধারণ বাহু নেই যা তাদের গঠন করে। যেকোনো চতুর্ভুজাকার প্রিজমে মাত্র চারটি কর্ণ থাকে। একটি কিউবয়েডের জন্য যার গোড়ায় একটি আয়তক্ষেত্র রয়েছে, সমস্ত কর্ণের দৈর্ঘ্য একে অপরের সমান।
নীচের চিত্রটি সংশ্লিষ্ট চিত্রটি দেখায়। লাল অংশটি তার তির্যক।
আপনি যদি পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি মনে রাখেন তবে এর দৈর্ঘ্য গণনা করা খুব সহজ। প্রতিটি শিক্ষার্থী পছন্দসই সূত্র পেতে পারে। এটির নিম্নলিখিত ফর্ম রয়েছে:
D=√(A2+ B2+ C2)
এখানে D হল কর্ণের দৈর্ঘ্য। অবশিষ্ট অক্ষরগুলি বাক্সের বাহুর দৈর্ঘ্য।
অনেকেই সমান্তরাল পাইপের কর্ণকে এর বাহুর কর্ণের সাথে বিভ্রান্ত করে। নীচে একটি ছবি যেখানে রঙিনঅংশগুলি চিত্রের বাহুর তির্যকগুলিকে উপস্থাপন করে৷
এদের প্রতিটির দৈর্ঘ্যও পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য দ্বারা নির্ধারিত হয় এবং সংশ্লিষ্ট পার্শ্ব দৈর্ঘ্যের বর্গের সমষ্টির বর্গমূলের সমান।
প্রিজম ভলিউম
নিয়মিত চতুর্ভুজাকার প্রিজমের ক্ষেত্রফল বা অন্যান্য ধরণের প্রিজম ছাড়াও, কিছু জ্যামিতিক সমস্যা সমাধানের জন্য, আপনাকে তাদের আয়তনও জানতে হবে। একেবারে যেকোনো প্রিজমের জন্য এই মানটি নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:
V=Soh
যদি প্রিজমটি আয়তক্ষেত্রাকার হয় তবে এটির ভিত্তির ক্ষেত্রফল গণনা করা এবং চিত্রটির আয়তন পেতে এটিকে পাশের প্রান্তের দৈর্ঘ্য দ্বারা গুণ করা যথেষ্ট।
যদি প্রিজম একটি নিয়মিত চতুর্ভুজাকার প্রিজম হয়, তাহলে এর আয়তন হবে:
V=a2h.
এটা দেখা সহজ যে এই সূত্রটি ঘনকের আয়তনের জন্য একটি রাশিতে রূপান্তরিত হয় যদি পাশের প্রান্ত h এর দৈর্ঘ্য বেস a এর পাশের সমান হয়।
একটি কিউবয়েডের সমস্যা
অধ্যয়নকৃত উপাদানকে একীভূত করতে, আমরা নিম্নলিখিত সমস্যার সমাধান করব: একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল পাইপ রয়েছে যার বাহু 3 সেমি, 4 সেমি এবং 5 সেমি। এটির পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল, তির্যক দৈর্ঘ্য এবং আয়তন গণনা করা প্রয়োজন।
নিশ্চিততার জন্য, আমরা ধরে নেব যে চিত্রটির ভিত্তিটি 3 সেমি এবং 4 সেমি বাহু সহ একটি আয়তক্ষেত্র। তারপর এর ক্ষেত্রফল হল 12 সেমি2, এবং সময়কাল 14 সেমি। প্রিজমের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের সূত্র ব্যবহার করে আমরা পাই:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94cm2
কর্ণের দৈর্ঘ্য এবং চিত্রের আয়তন নির্ধারণ করতে, আপনি সরাসরি উপরের অভিব্যক্তিগুলি ব্যবহার করতে পারেন:
D=√(32+42+52)=7 071 সেমি;
V=345=60cm3.
একটি তির্যক প্যারালেলেপিডের সমস্যা
নীচের চিত্রটি একটি তির্যক প্রিজম দেখায়। এর বাহুগুলো সমান: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm। আপনাকে এই চিত্রটির পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করতে হবে।
প্রথমে, বেসের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যাক। চিত্রটি দেখায় যে তীব্র কোণটি 50o। তারপর এর এলাকা হল:
So=ha=sin(50o)ba
পাশ্বর্ীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে, আপনাকে ছায়াযুক্ত আয়তক্ষেত্রের পরিধি খুঁজে বের করতে হবে। এই আয়তক্ষেত্রের বাহুগুলো হল asin(45o) এবং bsin(60o)। তাহলে এই আয়তক্ষেত্রটির পরিধি হল:
Psr=2(asin(45o)+bsin(60o))
এই বাক্সের মোট পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল হল:
S=2So+ Sb=2(sin(50o))ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
আমরা চিত্রের বাহুর দৈর্ঘ্যের জন্য সমস্যার অবস্থা থেকে ডেটা প্রতিস্থাপন করি, আমরা উত্তর পাই:
S=458, 5496 সেমি3
এই সমস্যার সমাধান থেকে দেখা যায় যে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলি তির্যক চিত্রের ক্ষেত্রগুলি নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত হয়।
