ডামিদের জন্য গাউস পদ্ধতি: সমাধানের উদাহরণ

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2023-12-17 05:18

এই নিবন্ধে, পদ্ধতিটিকে রৈখিক সমীকরণ (SLAE) এর সিস্টেমগুলি সমাধান করার উপায় হিসাবে বিবেচনা করা হয়েছে। পদ্ধতিটি বিশ্লেষণাত্মক, অর্থাৎ, এটি আপনাকে একটি সাধারণ সমাধান অ্যালগরিদম লিখতে এবং তারপরে নির্দিষ্ট উদাহরণ থেকে মানগুলি প্রতিস্থাপন করতে দেয়। ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি বা ক্র্যামারের সূত্রের বিপরীতে, গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করার সময়, আপনি তাদের সাথেও কাজ করতে পারেন যাদের অসীম অনেকগুলি সমাধান রয়েছে। অথবা এটা একেবারেই নেই।

গউস পদ্ধতিতে সমাধান করার অর্থ কী?

প্রথম, আমাদের আমাদের সমীকরণের সিস্টেমকে ম্যাট্রিক্স হিসাবে লিখতে হবে। এটা এই মত দেখায়. সিস্টেমটি নেওয়া হয়েছে:

সহগগুলি একটি টেবিলের আকারে এবং ডানদিকে একটি পৃথক কলামে লেখা হয় - বিনামূল্যে সদস্য। বিনামূল্যে সদস্যদের সঙ্গে কলাম একটি উল্লম্ব বার দ্বারা সুবিধার জন্য পৃথক করা হয়. এই কলামটি অন্তর্ভুক্ত একটি ম্যাট্রিক্সকে বর্ধিত বলা হয়৷

পরবর্তী, সহগ সহ মূল ম্যাট্রিক্সকে উপরের ত্রিভুজাকার আকারে হ্রাস করতে হবে। এটি গাউস পদ্ধতি দ্বারা সিস্টেম সমাধানের প্রধান বিন্দু। সহজভাবে বলতে গেলে, নির্দিষ্ট ম্যানিপুলেশনের পরে, ম্যাট্রিক্সটি এইরকম হওয়া উচিত, যাতে এর নীচের বাম অংশে শুধুমাত্র শূন্য থাকে:

তারপর, যদি আপনি সমীকরণের একটি সিস্টেম হিসাবে নতুন ম্যাট্রিক্সটি আবার লেখেন, আপনি লক্ষ্য করবেন যে শেষ লাইনে ইতিমধ্যে একটি মূলের মান রয়েছে, যা পরে উপরের সমীকরণে প্রতিস্থাপিত হয়, অন্য একটি মূল পাওয়া যায়, ইত্যাদি।

এটি সবচেয়ে সাধারণ পদে গাউসিয়ান সমাধানের একটি বর্ণনা। আর হঠাৎ সিস্টেমে সমাধান না হলে কী হবে? নাকি তাদের একটি অসীম সংখ্যা আছে? এই এবং আরও অনেক প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য, গাউস পদ্ধতি দ্বারা সমাধানে ব্যবহৃত সমস্ত উপাদানগুলিকে আলাদাভাবে বিবেচনা করা প্রয়োজন৷

ম্যাট্রিস, তাদের বৈশিষ্ট্য

ম্যাট্রিক্সে কোন লুকানো অর্থ নেই। এটি পরবর্তী ক্রিয়াকলাপের জন্য ডেটা রেকর্ড করার একটি সুবিধাজনক উপায়। এমনকি স্কুলছাত্রদেরও তাদের ভয় পাওয়া উচিত নয়।

ম্যাট্রিক্সটি সর্বদা আয়তক্ষেত্রাকার হয় কারণ এটি আরও সুবিধাজনক। এমনকি গাউস পদ্ধতিতেও, যেখানে ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স তৈরি করার জন্য সবকিছু ফুটে ওঠে, প্রবেশে একটি আয়তক্ষেত্র দেখা যায়, যেখানে কোনো সংখ্যা নেই সেখানে শূন্য থাকে। শূন্যগুলি বাদ দেওয়া যেতে পারে, তবে সেগুলি উহ্য৷

ম্যাট্রিক্সের আকার আছে। এর "প্রস্থ" হল সারির সংখ্যা (m), এর "দৈর্ঘ্য" হল কলামের সংখ্যা (n)। তারপর ম্যাট্রিক্স A এর আকার (কপিটাল ল্যাটিন অক্ষরগুলি সাধারণত তাদের পদের জন্য ব্যবহৃত হয়) A_m×n হিসাবে চিহ্নিত করা হবে। যদি m=n হয়, তাহলে এই ম্যাট্রিক্সটি বর্গক্ষেত্র, এবংm=n - এর অর্ডার। তদনুসারে, ম্যাট্রিক্স A-এর যেকোনো উপাদানকে এর সারি এবং কলামের সংখ্যা দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে: a_xy; x - সারি সংখ্যা, পরিবর্তন [1, m], y - কলাম সংখ্যা, পরিবর্তন [1, n]।

গাউসিয়ান পদ্ধতিতে, ম্যাট্রিক্সগুলি সমাধানের মূল বিষয় নয়। নীতিগতভাবে, সমস্ত ক্রিয়াকলাপগুলি নিজেরাই সমীকরণের সাথে সরাসরি সম্পাদিত হতে পারে, তবে, স্বরলিপিটি অনেক বেশি কষ্টকর হবে এবং এতে বিভ্রান্ত হওয়া অনেক সহজ হবে৷

কোয়ালিফায়ার

ম্যাট্রিক্সেরও একটি নির্ধারক আছে। এটি একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য। এখন এর অর্থ খুঁজে বের করা মূল্যবান নয়, আপনি কেবল এটি কীভাবে গণনা করা হয় তা দেখাতে পারেন এবং তারপরে ম্যাট্রিক্সের কী বৈশিষ্ট্যগুলি নির্ধারণ করে তা বলুন। নির্ধারক খুঁজে বের করার সবচেয়ে সহজ উপায় হল কর্ণের মাধ্যমে। ম্যাট্রিক্সে কাল্পনিক কর্ণ আঁকা হয়; তাদের প্রতিটিতে অবস্থিত উপাদানগুলিকে গুণিত করা হয়, এবং তারপরে ফলস্বরূপ পণ্যগুলি যোগ করা হয়: ডানদিকে একটি ঢাল সহ কর্ণ - একটি "প্লাস" চিহ্ন সহ, বাম দিকে একটি ঢাল সহ - একটি "বিয়োগ" চিহ্ন সহ।

এটি লক্ষ্য করা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ যে নির্ধারক শুধুমাত্র একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য গণনা করা যেতে পারে। একটি আয়তক্ষেত্রাকার ম্যাট্রিক্সের জন্য, আপনি নিম্নলিখিতগুলি করতে পারেন: সারিগুলির সংখ্যা এবং কলামের সংখ্যার মধ্যে সবচেয়ে ছোটটি চয়ন করুন (এটি k হতে দিন), এবং তারপরে ম্যাট্রিক্সে k কলাম এবং k সারিগুলি এলোমেলোভাবে চিহ্নিত করুন৷ নির্বাচিত কলাম এবং সারির সংযোগস্থলে অবস্থিত উপাদানগুলি একটি নতুন বর্গ ম্যাট্রিক্স গঠন করবে। যদি এই ধরনের ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক শূন্য ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা হয়, তাহলে তাকে মূল আয়তক্ষেত্রাকার ম্যাট্রিক্সের মৌলিক মাইনর বলা হবে।

আগেকিভাবে Gauss পদ্ধতি দ্বারা সমীকরণের একটি সিস্টেমের সমাধান শুরু করতে হয়, এটি নির্ধারক গণনা করতে আঘাত করে না। যদি এটি শূন্য হয়ে যায়, তবে আমরা অবিলম্বে বলতে পারি যে ম্যাট্রিক্সের হয় অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে, বা কোনওটিই নেই। এমন একটি দুঃখজনক ক্ষেত্রে, আপনাকে আরও যেতে হবে এবং ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক সম্পর্কে জানতে হবে।

সিস্টেমের শ্রেণীবিভাগ

ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্কের মতো একটা জিনিস আছে। এটি তার নন-জিরো নির্ধারকের সর্বোচ্চ ক্রম (ভিত্তি মাইনর মনে রেখে, আমরা বলতে পারি যে একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক হল বেসিস মাইনর এর ক্রম)।

যেভাবে জিনিসগুলি র‍্যাঙ্কের সাথে, স্লোকে ভাগ করা যায়:

• জয়েন্ট। যৌথ সিস্টেমের জন্য, প্রধান ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক (শুধুমাত্র সহগ সমন্বিত) বর্ধিত এক (মুক্ত পদের একটি কলাম সহ) র্যাঙ্কের সাথে মিলে যায়। এই ধরনের সিস্টেমগুলির একটি সমাধান আছে, কিন্তু অগত্যা একটি নয়, তাই, যৌথ সিস্টেমগুলি অতিরিক্তভাবে বিভক্ত:
• - নিশ্চিত - একটি অনন্য সমাধান আছে। কিছু সিস্টেমে, ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক এবং অজানা সংখ্যা সমান (বা কলামের সংখ্যা, যা একই জিনিস);
• - অনির্দিষ্ট - অসীম সংখ্যক সমাধান সহ। এই ধরনের সিস্টেমে ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক অজানা সংখ্যার চেয়ে কম৷
• বেমানান। এই ধরনের সিস্টেমের জন্য, প্রধান এবং বর্ধিত ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক মেলে না। বেমানান সিস্টেমের কোন সমাধান নেই।

গউস পদ্ধতিটি ভাল কারণ এটি আপনাকে সিস্টেমের অসামঞ্জস্যতার একটি দ্ব্যর্থহীন প্রমাণ (বড় ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক গণনা না করে) বা অসীম সংখ্যক সমাধান সহ একটি সিস্টেমের জন্য একটি সাধারণ সমাধান পেতে দেয়৷

প্রাথমিক রূপান্তর

আগেকীভাবে সরাসরি সিস্টেমের সমাধানে এগিয়ে যেতে হয়, আপনি এটিকে কম কষ্টকর এবং গণনার জন্য আরও সুবিধাজনক করতে পারেন। এটি প্রাথমিক রূপান্তরের মাধ্যমে অর্জন করা হয় - যেমন তাদের বাস্তবায়ন কোনোভাবেই চূড়ান্ত উত্তর পরিবর্তন করে না। এটি লক্ষ করা উচিত যে উপরের প্রাথমিক রূপান্তরগুলির মধ্যে কয়েকটি শুধুমাত্র ম্যাট্রিক্সের জন্য বৈধ, যার উৎসটি ছিল সুনির্দিষ্টভাবে SLAE। এখানে এই রূপান্তরগুলির একটি তালিকা রয়েছে:

1. স্ট্রিং পরিবর্তন করুন। এটা স্পষ্ট যে আমরা যদি সিস্টেম রেকর্ডে সমীকরণের ক্রম পরিবর্তন করি, তাহলে এটি কোনওভাবেই সমাধানকে প্রভাবিত করবে না। অতএব, এই সিস্টেমের ম্যাট্রিক্সে সারি অদলবদল করাও সম্ভব, অবশ্যই, বিনামূল্যে সদস্যদের কলাম সম্পর্কে ভুলে যাবেন না।
2. একটি স্ট্রিংয়ের সমস্ত উপাদানকে কিছু ফ্যাক্টর দ্বারা গুণ করা। খুব দরকারী! এটি দিয়ে, আপনি ম্যাট্রিক্সে বড় সংখ্যা কমাতে বা শূন্য মুছে ফেলতে পারেন। সমাধানের সেট, স্বাভাবিক হিসাবে, পরিবর্তন হবে না, এবং এটি আরও ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করতে আরও সুবিধাজনক হয়ে উঠবে। প্রধান বিষয় হল সহগ শূন্যের সমান হওয়া উচিত নয়।
3. আনুপাতিক সহগ সহ লাইন মুছুন। এটি আংশিকভাবে পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদ থেকে অনুসরণ করে। যদি ম্যাট্রিক্সের দুই বা ততোধিক সারিতে সমানুপাতিক সহগ থাকে, তাহলে আনুপাতিকতার সহগ দ্বারা একটি সারিকে গুণ/ভাগ করার সময়, দুটি (বা আবার, আরও) একেবারে অভিন্ন সারি পাওয়া যায় এবং আপনি অতিরিক্তগুলি সরিয়ে ফেলতে পারেন, শুধুমাত্র রেখে একটি।
4. নাল লাইনটি মুছুন। যদি রূপান্তরের সময় এমন একটি স্ট্রিং পাওয়া যায় যেখানে মুক্ত সদস্য সহ সমস্ত উপাদান শূন্য হয়, তবে এই জাতীয় স্ট্রিংকে শূন্য বলা যেতে পারে এবং ম্যাট্রিক্সের বাইরে ফেলে দেওয়া যেতে পারে।
5. এক সারির উপাদানের সাথে অন্যটির উপাদান যোগ করা (অনুসারেসংশ্লিষ্ট কলাম) কিছু সহগ দ্বারা গুণিত। সব থেকে অস্পষ্ট এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ রূপান্তর. এটি আরও বিস্তারিতভাবে এটিতে থাকার মূল্য।

একটি ফ্যাক্টর দ্বারা গুণিত একটি স্ট্রিং যোগ করা

বোঝার সহজতার জন্য, ধাপে ধাপে এই প্রক্রিয়াটিকে আলাদা করা মূল্যবান। দুটি সারি ম্যাট্রিক্স থেকে নেওয়া হয়েছে:

a₁₁ a₁₂ … a_1n | b1

a_২১ a₂₂ … a_2n | b₂

ধরা যাক আপনাকে প্রথমটিকে "-2" দ্বারা গুণ করে দ্বিতীয়টির সাথে যোগ করতে হবে৷

a'_২১ =a₂₁ + -2×a11

a'₂₂ =a₂₂ + -2×a12

a'_2n =a_2n + -2×a1n

তারপর ম্যাট্রিক্সের দ্বিতীয় সারিটি একটি নতুন দিয়ে প্রতিস্থাপিত হয়, যখন প্রথমটি অপরিবর্তিত থাকে।

a₁₁ a₁₂ … a_1n | b1

a'₂₁ a'₂₂ … a'_2n | b₂

এটা লক্ষ করা উচিত যে গুণিতকটি এমনভাবে নির্বাচন করা যেতে পারে যাতে দুটি স্ট্রিং যোগ করার ফলে, নতুন স্ট্রিংয়ের একটি উপাদান শূন্যের সমান হয়। অতএব, সিস্টেমে একটি সমীকরণ পাওয়া সম্ভব, যেখানে একটি কম অজানা থাকবে। এবং যদি আপনি এই জাতীয় দুটি সমীকরণ পান, তবে অপারেশনটি আবার করা যেতে পারে এবং একটি সমীকরণ পেতে পারে যাতে ইতিমধ্যে দুটি কম অজানা থাকবে। এবং যদি প্রতিবার আমরা মূল সারির চেয়ে কম সমস্ত সারিগুলির জন্য শূন্য এক সহগ-এ পরিণত করি, তবে আমরা ধাপগুলির মতো ম্যাট্রিক্সের একেবারে নীচে যেতে পারি এবং একটি অজানা সমীকরণ পেতে পারি। এই বলা হয়গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে সিস্টেমটি সমাধান করুন।

সাধারণত

একটা ব্যবস্থা থাকুক। এটিতে m সমীকরণ এবং n অজানা মূল রয়েছে। আপনি এটি এভাবে লিখতে পারেন:

প্রধান ম্যাট্রিক্সটি সিস্টেমের সহগ থেকে সংকলিত হয়। বিনামূল্যে সদস্যদের একটি কলাম সম্প্রসারিত ম্যাট্রিক্সে যোগ করা হয়েছে এবং সুবিধার জন্য একটি বার দ্বারা পৃথক করা হয়েছে৷

পরবর্তী:

• ম্যাট্রিক্সের প্রথম সারিটি k=(-a₂₁/a₁₁);
• প্রথম পরিবর্তিত সারি এবং ম্যাট্রিক্সের দ্বিতীয় সারি যোগ করা হয়েছে;
• দ্বিতীয় সারির পরিবর্তে, পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদ থেকে যোগের ফলাফল ম্যাট্রিক্সে ঢোকানো হয়;
• এখন নতুন দ্বিতীয় লাইনে প্রথম সহগ হল একটি₁₁ × (-a₂₁/a_{11) + a}21 _=-a21 _{+ a}21_=0.

এখন রূপান্তরের একই সিরিজ সঞ্চালিত হয়, শুধুমাত্র প্রথম এবং তৃতীয় লাইন জড়িত। তদনুসারে, অ্যালগরিদমের প্রতিটি ধাপে, উপাদান a₂₁ a₃₁ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। তারপর সবকিছুর পুনরাবৃত্তি হয় a₄₁, … a_m1. ফলাফল হল একটি ম্যাট্রিক্স যেখানে সারির প্রথম উপাদান [2, m] শূন্যের সমান। এখন আপনাকে প্রথম লাইনের কথা ভুলে যেতে হবে এবং দ্বিতীয় লাইন থেকে শুরু করে একই অ্যালগরিদম সম্পাদন করতে হবে:

• k সহগ=(-a₃₂/a₂₂);
• দ্বিতীয় পরিবর্তিত লাইনটি "বর্তমান" লাইনে যোগ করা হয়েছে;
• সংযোজনের ফলাফল তৃতীয়, চতুর্থ ইত্যাদি লাইনে প্রতিস্থাপিত হয়, যখন প্রথম এবং দ্বিতীয় অপরিবর্তিত থাকে;
• ম্যাট্রিক্সের [3, m] সারিতে, প্রথম দুটি উপাদান ইতিমধ্যেই শূন্যের সমান৷

অ্যালগরিদমটি অবশ্যই পুনরাবৃত্তি করতে হবে যতক্ষণ না সহগ k=(-a_{m, m-1}/a_mm প্রদর্শিত হয়)। এর মানে হল যে অ্যালগরিদমটি শেষবার শুধুমাত্র নিম্ন সমীকরণের জন্য চালানো হয়েছিল। এখন ম্যাট্রিক্স একটি ত্রিভুজ মত দেখায়, বা একটি ধাপ আকৃতি আছে. নীচের লাইনে সমীকরণ রয়েছে a_mn × x =b_m সহগ এবং মুক্ত শব্দটি পরিচিত, এবং মূলটি তাদের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়: x =b_m/a_mn. x_n-1=(b_m-1 - a_{m-1, n খুঁজে পেতে ফলস্বরূপ মূলটি উপরের সারিতে প্রতিস্থাপিত হয়×(b}m_/amn_))÷am-1, n-1_{. এবং একইভাবে সাদৃশ্য দ্বারা: প্রতিটি পরবর্তী লাইনে একটি নতুন রুট রয়েছে এবং সিস্টেমের "শীর্ষে" পৌঁছে, কেউ সমাধানের একটি সেট খুঁজে পেতে পারে [x}1_{, … x ]। এটি একমাত্র হবে।}

যখন কোন সমাধান না থাকে

যদি ম্যাট্রিক্স সারিগুলির একটিতে মুক্ত পদ ব্যতীত সমস্ত উপাদান শূন্যের সমান হয়, তবে এই সারির সাথে সম্পর্কিত সমীকরণটি 0=b এর মতো দেখায়। এর কোনো সমাধান নেই। এবং যেহেতু এই ধরনের একটি সমীকরণ সিস্টেমে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে, তাহলে পুরো সিস্টেমের সমাধানের সেটটি খালি, অর্থাৎ, এটি অধঃপতিত।

যখন অসীম সংখ্যক সমাধান থাকে

এটা চালু হতে পারে যে হ্রাসকৃত ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্সে একটি উপাদান সহ কোনও সারি নেই - সমীকরণের সহগ এবং একটি - একটি বিনামূল্যে সদস্য৷ শুধুমাত্র স্ট্রিং আছে যেগুলি, যখন পুনরায় লেখা হয়, দুই বা ততোধিক ভেরিয়েবল সহ একটি সমীকরণের মত দেখাবে। এর মানে হল যে সিস্টেমটিতে অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে। এই ক্ষেত্রে, উত্তর একটি সাধারণ সমাধান আকারে দেওয়া যেতে পারে। কিভাবে করবেন?

সবম্যাট্রিক্সের ভেরিয়েবলগুলি মৌলিক এবং বিনামূল্যে বিভক্ত। বেসিক - এগুলি সেইগুলি যেগুলি স্টেপড ম্যাট্রিক্সের সারিগুলির "প্রান্তে" দাঁড়িয়ে আছে। বাকিরা ফ্রি। সাধারণ সমাধানে, মৌলিক ভেরিয়েবলগুলি বিনামূল্যের পরিপ্রেক্ষিতে লেখা হয়।

সুবিধার জন্য, ম্যাট্রিক্সকে প্রথমে সমীকরণের একটি সিস্টেমে পুনরায় লেখা হয়। তারপর তাদের শেষের দিকে, যেখানে ঠিক একটি মৌলিক চলক অবশিষ্ট ছিল, এটি একপাশে থেকে যায়, এবং বাকি সবকিছু অন্য দিকে স্থানান্তরিত হয়। এটি একটি মৌলিক পরিবর্তনশীল সহ প্রতিটি সমীকরণের জন্য করা হয়। তারপর, বাকি সমীকরণগুলিতে, যেখানে সম্ভব, মৌলিক চলকের পরিবর্তে, এর জন্য প্রাপ্ত অভিব্যক্তিটি প্রতিস্থাপিত হয়। যদি ফলাফলটি আবার শুধুমাত্র একটি মৌলিক ভেরিয়েবল সম্বলিত একটি অভিব্যক্তি হয়, তবে এটি সেখান থেকে আবার প্রকাশ করা হয় এবং তাই, যতক্ষণ না প্রতিটি মৌলিক ভেরিয়েবল মুক্ত ভেরিয়েবল সহ একটি অভিব্যক্তি হিসাবে লেখা হয়। এটি SLAE এর সাধারণ সমাধান।

আপনি সিস্টেমের মৌলিক সমাধানও খুঁজে পেতে পারেন - বিনামূল্যের ভেরিয়েবলকে যেকোনো মান দিন, এবং তারপর এই বিশেষ ক্ষেত্রে মৌলিক ভেরিয়েবলের মান গণনা করুন। অসীমভাবে অনেকগুলি বিশেষ সমাধান রয়েছে৷

নির্দিষ্ট উদাহরণ সহ সমাধান

এখানে সমীকরণের একটি সিস্টেম রয়েছে।

সুবিধার জন্য, এখনই এর ম্যাট্রিক্স তৈরি করা ভালো

এটা জানা যায় যে গাউস পদ্ধতিতে সমাধান করার সময়, প্রথম সারির সাথে সম্পর্কিত সমীকরণটি রূপান্তর শেষে অপরিবর্তিত থাকবে। অতএব, এটি আরও লাভজনক হবে যদি ম্যাট্রিক্সের উপরের বাম উপাদানটি সবচেয়ে ছোট হয় - তারপরে প্রথম উপাদানগুলিঅপারেশনের পর বাকি সারি শূন্য হয়ে যাবে। এর মানে হল কম্পাইল করা ম্যাট্রিক্সে প্রথমটির জায়গায় দ্বিতীয় সারি রাখা উপকারী হবে।

পরবর্তী, আপনাকে দ্বিতীয় এবং তৃতীয় লাইন পরিবর্তন করতে হবে যাতে প্রথম উপাদানগুলি শূন্য হয়ে যায়। এটি করার জন্য, সেগুলিকে প্রথমটিতে যোগ করুন, একটি সহগ দ্বারা গুণ করুন:

দ্বিতীয় লাইন: k=(-a₂₁/a₁₁)=(-3/1)=-3

a'_২১ =a₂₁ + k×a₁₁=3 + (-3)×1=0

a'₂₂ =a₂₂ + k×a₁₂ =-1 + (- 3)×2=-7

a'₂₃ =a₂₃ + k×a₁₃ =1 + (-3)×4=-11

b'₂ =b₂ + k×b₁=12 + (-3)×12=-24

তৃতীয় লাইন: k=(-a₃1_/a11_{)=(- 5/1)=-5}

a'₃₁ =a₃1+ k×a₁₁=5 + (-5)×1=0

a'₃₂ =a₃2+ k×a₁₂ =1 + (-5)×2=-9

a'₃₃ =a₃₃ + k×a₁₃ =2 + (-5)×4=-18

b'₃=b₃ + k×b₁=3 + (-5)×12=-57

এখন, বিভ্রান্ত না হওয়ার জন্য, আপনাকে রূপান্তরের মধ্যবর্তী ফলাফল সহ একটি ম্যাট্রিক্স লিখতে হবে।

অবশ্যই, কিছু অপারেশনের সাহায্যে এই ধরনের ম্যাট্রিক্সকে আরও পঠনযোগ্য করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, আপনি প্রতিটি উপাদানকে "-1" দ্বারা গুণ করে দ্বিতীয় লাইন থেকে সমস্ত "মাইনাস" মুছে ফেলতে পারেন।

এটাও লক্ষণীয় যে তৃতীয় লাইনে সমস্ত উপাদান তিনটির গুণিতক। তারপর তুমি পারোএই সংখ্যা দ্বারা স্ট্রিং কাটুন, প্রতিটি উপাদানকে "-1/3" দ্বারা গুণ করুন (মাইনাস - একই সময়ে নেতিবাচক মানগুলি সরাতে)।

অনেক সুন্দর দেখায়। এখন আমাদের প্রথম লাইনটি একা ছেড়ে দ্বিতীয় এবং তৃতীয়টির সাথে কাজ করতে হবে। কাজটি হল তৃতীয় সারিতে দ্বিতীয় সারি যোগ করা, এমন একটি ফ্যাক্টর দ্বারা গুণ করা যাতে উপাদানটি a₃₂ শূন্য হয়ে যায়।

k=(-a₃₂/a₂₂)=(-3/7)=-3/7 (যদি কিছু পরিবর্তনের সময় উত্তরটি একটি পূর্ণসংখ্যা নয় বলে প্রমাণিত হয়েছে, এটিকে একটি সাধারণ ভগ্নাংশের আকারে "যেমন আছে" রেখে দেওয়ার পরামর্শ দেওয়া হয় এবং শুধুমাত্র তখনই, যখন উত্তরগুলি প্রাপ্ত হয়, তখন সিদ্ধান্ত নিন বৃত্তাকার এবং অন্য ফর্মে রূপান্তর করবেন কিনা। স্বরলিপি)

a'₃₂=a₃₂ + k×a₂₂=3 + (-3 /7)×7=3 + (-3)=0

a'₃₃=a₃₃ + k×a₂₃=6 + (-3 /7)×11=-9/7

b'₃ =b₃ + k×b₂=19 + (-3 /7)×24=-61/7

ম্যাট্রিক্স আবার নতুন মান দিয়ে লেখা হয়েছে।

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

যেমন আপনি দেখতে পাচ্ছেন, ফলস্বরূপ ম্যাট্রিক্সের ইতিমধ্যে একটি ধাপযুক্ত ফর্ম রয়েছে। অতএব, গাউস পদ্ধতিতে সিস্টেমের আরও রূপান্তরের প্রয়োজন নেই। এখানে যা করা যেতে পারে তা হল তৃতীয় লাইন থেকে সামগ্রিক সহগ "-1/7" অপসারণ করা।

এখন সবাইচমৎকার বিন্দুটি ছোট - একটি সমীকরণ পদ্ধতির আকারে ম্যাট্রিক্সটি আবার লিখুন এবং মূলগুলি গণনা করুন

x + 2y + 4z=12 (1)

7y + 11z=24 (2)

9z=61 (3)

যে অ্যালগরিদম দ্বারা শিকড়গুলি এখন পাওয়া যাবে তাকে গাউস পদ্ধতিতে বিপরীত চাল বলা হয়। সমীকরণ (3) এ z মান রয়েছে:

z=61/9

পরবর্তী, দ্বিতীয় সমীকরণে ফিরে যান:

y=(24 - 11×(61/9))/7=-65/9

এবং প্রথম সমীকরণটি আপনাকে x:

খুঁজে পেতে দেয়

x=(12 - 4z - 2y)/1=12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9)=-6/9=-2/3

আমাদের এই ধরনের সিস্টেমকে জয়েন্ট বলার অধিকার আছে, এবং এমনকি নির্দিষ্ট, অর্থাৎ একটি অনন্য সমাধান আছে। উত্তরটি নিম্নলিখিত আকারে লেখা হয়েছে:

x₁=-2/3, y=-65/9, z=61/9।

একটি অনির্দিষ্ট ব্যবস্থার উদাহরণ

গাউস পদ্ধতিতে একটি নির্দিষ্ট পদ্ধতির সমাধানের রূপ বিশ্লেষণ করা হয়েছে, এখন এটি বিবেচনা করা প্রয়োজন যদি সিস্টেমটি অনির্দিষ্ট হয়, অর্থাৎ এর জন্য অসীমভাবে অনেকগুলি সমাধান পাওয়া যেতে পারে।

x₁ + x₂ + x₃ + x _{4+ x}5_{=7 (1)}

৩x₁ + 2x2 _{+ x}3 _{+ x} 4 _{- 3x}5_{=-2 (2)}

x₂ + 2x₃ + 2x₄ + 6x ₅ =23 (3)

৫x₁ + 4x₂ + 3x₃ + 3x ₄ - x₅=12 (4)

সিস্টেমের ফর্মটি ইতিমধ্যেই উদ্বেগজনক, কারণ অজানা সংখ্যা n=5, এবং সিস্টেম ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক ইতিমধ্যেই এই সংখ্যার থেকে একেবারে কম, কারণ সারির সংখ্যা হল m=4, অর্থাৎ, বর্গ নির্ধারকের বৃহত্তম ক্রম হল 4। সুতরাং,একটি অসীম সংখ্যক সমাধান আছে, এবং আমাদের অবশ্যই এর সাধারণ ফর্মটি সন্ধান করতে হবে। রৈখিক সমীকরণের জন্য গাউস পদ্ধতি আপনাকে এটি করতে দেয়৷

প্রথম, যথারীতি, বর্ধিত ম্যাট্রিক্স সংকলিত হয়।

দ্বিতীয় লাইন: সহগ k=(-a₂₁/a₁₁)=-3। তৃতীয় লাইনে, প্রথম উপাদানটি রূপান্তরের আগে, তাই আপনাকে কিছু স্পর্শ করার দরকার নেই, আপনাকে এটিকে যেমন আছে তেমনই ছেড়ে দিতে হবে। চতুর্থ লাইন: k=(-a₄₁/a₁₁)=-5

প্রথম সারির উপাদানগুলিকে তাদের প্রতিটি সহগ দ্বারা গুণ করে এবং প্রয়োজনীয় সারিতে যোগ করলে আমরা নিম্নলিখিত ফর্মের একটি ম্যাট্রিক্স পাই:

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, দ্বিতীয়, তৃতীয় এবং চতুর্থ সারি একে অপরের সমানুপাতিক উপাদান নিয়ে গঠিত। দ্বিতীয় এবং চতুর্থটি সাধারণত একই, তাই তাদের মধ্যে একটি অবিলম্বে সরানো যেতে পারে, এবং বাকিগুলি সহগ "-1" দ্বারা গুণ করে 3 নম্বর লাইন পান। এবং আবার, দুটি অভিন্ন লাইনের একটি ছেড়ে যান।

ফলাফলটি এমন একটি ম্যাট্রিক্স। সিস্টেমটি এখনও লেখা হয়নি, এখানে মৌলিক ভেরিয়েবল নির্ধারণ করা প্রয়োজন - সহগ a₁₁=1 এবং a₂₂=1, এবং বিনামূল্যে - বাকি সব।

দ্বিতীয় সমীকরণে শুধুমাত্র একটি মৌলিক ভেরিয়েবল আছে - x₂। সুতরাং, এটিকে সেখান থেকে প্রকাশ করা যেতে পারে, x₃, x₄, x₅, যা বিনামূল্যে।

প্রথম সমীকরণে ফলের অভিব্যক্তিটিকে প্রতিস্থাপন করুন।

এটি একটি সমীকরণ পরিণত হয়েছে যার মধ্যেএকমাত্র মৌলিক পরিবর্তনশীল হল x₁. আসুন এটির সাথে x₂.

এর মতোই করি।

সমস্ত মৌলিক ভেরিয়েবল, যার মধ্যে দুটি আছে, তিনটি ফ্রি দিয়ে প্রকাশ করা হয়, এখন আপনি উত্তরটি সাধারণ আকারে লিখতে পারেন।

আপনি সিস্টেমের একটি নির্দিষ্ট সমাধানও উল্লেখ করতে পারেন। এই ধরনের ক্ষেত্রে, একটি নিয়ম হিসাবে, শূন্যগুলিকে মুক্ত ভেরিয়েবলের মান হিসাবে বেছে নেওয়া হয়। তাহলে উত্তর হবেঃ

-16, 23, 0, 0, 0.

একটি অসামঞ্জস্যপূর্ণ সিস্টেমের একটি উদাহরণ

গউস পদ্ধতির দ্বারা সমীকরণের অসামঞ্জস্যপূর্ণ সিস্টেমের সমাধান সবচেয়ে দ্রুত। এটি শেষ হয় যত তাড়াতাড়ি একটি পর্যায়ে একটি সমীকরণ প্রাপ্ত হয় যার কোন সমাধান নেই। অর্থাৎ, শিকড়ের হিসাব সহ পর্যায়টি, যা বেশ দীর্ঘ এবং ভীষন, অদৃশ্য হয়ে যায়। নিম্নলিখিত সিস্টেম বিবেচনা করা হচ্ছে:

x + y - z=0 (1)

2x - y - z=-2 (2)

4x + y - 3z=5 (3)

যথারীতি, ম্যাট্রিক্স সংকলিত হয়েছে:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

এবং ধাপে ধাপে ছোট করা হয়েছে:

k₁ =-2k₂ =-4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

প্রথম রূপান্তরের পরে, তৃতীয় লাইনে ফর্মের একটি সমীকরণ রয়েছে

0=7, কোন সমাধান নেই। অতএব, সিস্টেমঅসামঞ্জস্যপূর্ণ, এবং উত্তরটি খালি সেট।

পদ্ধতিটির সুবিধা এবং অসুবিধা

আপনি যদি একটি কলম দিয়ে কাগজে SLAE সমাধান করতে কোন পদ্ধতি বেছে নেন, তাহলে এই নিবন্ধে যে পদ্ধতিটি বিবেচনা করা হয়েছে সেটি সবচেয়ে আকর্ষণীয় দেখায়। প্রাথমিক রূপান্তরে, বিভ্রান্ত হওয়া অনেক বেশি কঠিন যদি আপনাকে নির্ধারক বা কিছু জটিল ইনভার্স ম্যাট্রিক্স ম্যানুয়ালি খুঁজতে হয়। যাইহোক, যদি আপনি এই ধরণের ডেটার সাথে কাজ করার জন্য প্রোগ্রামগুলি ব্যবহার করেন, উদাহরণস্বরূপ, স্প্রেডশীট, তাহলে দেখা যাচ্ছে যে এই জাতীয় প্রোগ্রামগুলিতে ইতিমধ্যে ম্যাট্রিক্সের প্রধান পরামিতিগুলি গণনা করার জন্য অ্যালগরিদম রয়েছে - নির্ধারক, অপ্রাপ্তবয়স্ক, বিপরীত এবং ট্রান্সপোজড ম্যাট্রিক্স এবং আরও অনেক কিছু।. এবং যদি আপনি নিশ্চিত হন যে মেশিনটি নিজেই এই মানগুলি গণনা করবে এবং ভুল করবে না, তবে ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি বা ক্র্যামারের সূত্রগুলি ব্যবহার করা আরও সমীচীন, কারণ তাদের প্রয়োগ নির্ধারক এবং বিপরীত ম্যাট্রিক্সের গণনা দিয়ে শুরু এবং শেষ হয়।

আবেদন

যেহেতু গাউসিয়ান সমাধান একটি অ্যালগরিদম, এবং ম্যাট্রিক্স আসলে একটি দ্বি-মাত্রিক অ্যারে, এটি প্রোগ্রামিংয়ে ব্যবহার করা যেতে পারে। কিন্তু যেহেতু নিবন্ধটি "ডামিদের জন্য" একটি নির্দেশিকা হিসাবে অবস্থান করে, এটি বলা উচিত যে পদ্ধতিটি রাখার সবচেয়ে সহজ জায়গা হল স্প্রেডশীট, উদাহরণস্বরূপ, এক্সেল। আবার, মেট্রিক্স আকারে টেবিলে প্রবেশ করা যেকোন SLAE কে এক্সেল দ্বি-মাত্রিক অ্যারে হিসাবে বিবেচনা করবে। এবং তাদের সাথে ক্রিয়াকলাপের জন্য, অনেকগুলি সুন্দর কমান্ড রয়েছে: যোগ (আপনি একই আকারের শুধুমাত্র ম্যাট্রিক্স যোগ করতে পারেন!), একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ, ম্যাট্রিক্স গুণ (এর সাথেওনির্দিষ্ট সীমাবদ্ধতা), বিপরীত এবং স্থানান্তরিত ম্যাট্রিক্সগুলি খুঁজে বের করা এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণভাবে, নির্ধারক গণনা করা। যদি এই সময়সাপেক্ষ কাজটি একটি একক কমান্ড দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়, তাহলে এটি একটি ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক নির্ধারণ করা অনেক দ্রুত এবং তাই এর সামঞ্জস্য বা অসঙ্গতি স্থাপন করা হয়৷