ম্যাট্রিস: গাউস পদ্ধতি। গাউস ম্যাট্রিক্স গণনা: উদাহরণ

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2023-12-17 05:18

রৈখিক বীজগণিত, যা বিভিন্ন বিশেষত্বে বিশ্ববিদ্যালয়ে পড়ানো হয়, অনেক জটিল বিষয়কে একত্রিত করে। তাদের মধ্যে কিছু ম্যাট্রিসিসের সাথে সম্পর্কিত, পাশাপাশি গাউস এবং গাউস-জর্ডান পদ্ধতি দ্বারা রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলির সমাধানের সাথে সম্পর্কিত। সমস্ত শিক্ষার্থী এই বিষয়গুলি বুঝতে পারে না, বিভিন্ন সমস্যা সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম। আসুন একসাথে গাউস এবং গাউস-জর্ডানের ম্যাট্রিক্স এবং পদ্ধতিগুলি বুঝতে পারি।

মৌলিক ধারণা

রৈখিক বীজগণিত একটি ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলির একটি আয়তক্ষেত্রাকার বিন্যাস (সারণী)। নীচে বন্ধনীতে আবদ্ধ উপাদানগুলির সেট রয়েছে৷ এগুলো ম্যাট্রিক্স। উপরের উদাহরণ থেকে, এটি দেখা যায় যে আয়তক্ষেত্রাকার অ্যারেগুলির উপাদানগুলি কেবল সংখ্যা নয়। ম্যাট্রিক্সে গাণিতিক ফাংশন, বীজগাণিতিক চিহ্ন থাকতে পারে।

কিছু ধারণা বোঝার জন্য, আসুন a_ij উপাদানগুলি থেকে একটি ম্যাট্রিক্স A তৈরি করি। সূচীগুলি কেবল অক্ষর নয়: i হল সারণির সারির সংখ্যা, এবং j হল কলামের সংখ্যা, ছেদটির এলাকায় যে উপাদানটি অবস্থিতa_ij. সুতরাং, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে আমাদের কাছে উপাদানগুলির একটি ম্যাট্রিক্স রয়েছে যেমন a₁₁, a₂₁, a₁₂, a ₂₂ এবং আরও অনেক কিছু। n অক্ষরটি কলামের সংখ্যা নির্দেশ করে এবং m অক্ষরটি সারির সংখ্যা নির্দেশ করে। m × n চিহ্নটি ম্যাট্রিক্সের মাত্রা নির্দেশ করে। এটি এমন ধারণা যা উপাদানগুলির একটি আয়তক্ষেত্রাকার অ্যারেতে সারি এবং কলামের সংখ্যা নির্ধারণ করে৷

ঐচ্ছিকভাবে, ম্যাট্রিক্সে অবশ্যই কয়েকটি কলাম এবং সারি থাকতে হবে। 1 × n এর মাত্রা সহ, উপাদানগুলির বিন্যাসটি একক-সারি, এবং m × 1 এর মাত্রা সহ, এটি একটি একক-কলাম বিন্যাস। সারির সংখ্যা এবং কলামের সংখ্যা সমান হলে, ম্যাট্রিক্সকে বর্গ বলা হয়। প্রতিটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের একটি নির্ধারক থাকে (det A)। এই শব্দটি ম্যাট্রিক্স A-তে নির্ধারিত সংখ্যাকে বোঝায়।

মেট্রিক্স সফলভাবে সমাধান করার জন্য আরও কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা মনে রাখতে হবে প্রধান এবং গৌণ কর্ণ। ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণ হল সেই কর্ণ যা উপরের বাম কোণ থেকে টেবিলের ডান কোণায় নেমে যায়। পাশের তির্যকটি নিচ থেকে বাম কোণ থেকে উপরে ডান কোণায় যায়।

পদক্ষেপ ম্যাট্রিক্স ভিউ

নীচের ছবিটি দেখুন। এটিতে আপনি একটি ম্যাট্রিক্স এবং একটি ডায়াগ্রাম দেখতে পাবেন। প্রথমে ম্যাট্রিক্স নিয়ে কাজ করা যাক। রৈখিক বীজগণিতে, এই ধরনের একটি ম্যাট্রিক্সকে একটি ধাপ ম্যাট্রিক্স বলা হয়। এটির একটি বৈশিষ্ট্য রয়েছে: যদি a_ij i-ম সারিতে প্রথম অ-শূন্য উপাদান হয়, তাহলে নীচের ম্যাট্রিক্স থেকে এবং a_{ij এর বাম দিকের অন্যান্য সমস্ত উপাদান} , শূন্য (অর্থাৎ, সেই সমস্ত উপাদান যাকে অক্ষর উপাধি দেওয়া যেতে পারে একটি_kl, যেখানে k>i এবংl<j)।

এখন চিত্রটি বিবেচনা করুন। এটি ম্যাট্রিক্সের স্টেপড ফর্ম প্রতিফলিত করে। স্কিমটি 3 ধরণের কোষ দেখায়। প্রতিটি প্রকার নির্দিষ্ট উপাদানকে নির্দেশ করে:

• খালি ঘর - ম্যাট্রিক্সের শূন্য উপাদান;
• ছায়াযুক্ত কক্ষগুলি হল নির্বিচারে উপাদান যা শূন্য এবং অ-শূন্য উভয়ই হতে পারে;
• কালো বর্গক্ষেত্র হল অ-শূন্য উপাদান, যেগুলিকে কোণার উপাদান বলা হয়, "পদক্ষেপ" (তাদের পাশে দেখানো ম্যাট্রিক্সে, এই জাতীয় উপাদানগুলি হল -1, 5, 3, 8)।

ম্যাট্রিক্স সমাধান করার সময়, কখনও কখনও ফলাফল হয় যে ধাপের "দৈর্ঘ্য" 1 এর চেয়ে বেশি। এটি অনুমোদিত। শুধুমাত্র পদক্ষেপগুলির "উচ্চতা" গুরুত্বপূর্ণ। একটি ধাপ ম্যাট্রিক্সে, এই প্যারামিটারটি অবশ্যই একটির সমান হতে হবে।

ম্যাট্রিক্স রিডাকশন টু স্টেপ ফর্ম

যেকোন আয়তক্ষেত্রাকার ম্যাট্রিক্সকে স্টেপড ফর্মে রূপান্তর করা যেতে পারে। এটি প্রাথমিক রূপান্তরের মাধ্যমে করা হয়। তারা অন্তর্ভুক্ত:

• পুনরায় সাজানো স্ট্রিং;
• এক লাইনে অন্য লাইন যোগ করা, প্রয়োজনে কিছু সংখ্যা দিয়ে গুণ করে (আপনি একটি বিয়োগ অপারেশনও করতে পারেন)।

আসুন একটি নির্দিষ্ট সমস্যা সমাধানে প্রাথমিক রূপান্তর বিবেচনা করা যাক। নীচের চিত্রটি ম্যাট্রিক্স A দেখায়, যাকে ধাপে ধাপে কমাতে হবে।

সমস্যা সমাধানের জন্য, আমরা অ্যালগরিদম অনুসরণ করব:

• এটি একটি ম্যাট্রিক্সে রূপান্তর সম্পাদন করা সুবিধাজনকউপরের বাম কোণে প্রথম উপাদানটি (অর্থাৎ, "প্রধান" উপাদান) হল 1 বা -1৷ আমাদের ক্ষেত্রে, উপরের সারির প্রথম উপাদানটি হল 2, তাই আসুন প্রথম এবং দ্বিতীয় সারি অদলবদল করি।
• আসুন বিয়োগ ক্রিয়া সম্পাদন করি, সারি 2, 3 এবং 4 কে প্রভাবিত করে। আমাদের "লিডিং" এলিমেন্টের অধীনে প্রথম কলামে শূন্য পাওয়া উচিত। এই ফলাফলটি অর্জন করতে: লাইন নং 2 এর উপাদানগুলি থেকে, আমরা ক্রমিকভাবে লাইন নং 1 এর উপাদানগুলিকে 2 দ্বারা গুণিত করে বিয়োগ করি; লাইন নং 3 এর উপাদানগুলি থেকে আমরা ক্রমিকভাবে লাইন নং 1 এর উপাদানগুলি বিয়োগ করি, 4 দ্বারা গুণ করে; লাইন নং 4 এর উপাদানগুলি থেকে আমরা ক্রমিকভাবে লাইন নং 1 এর উপাদানগুলি বিয়োগ করি।
• পরবর্তী, আমরা একটি ছোট ম্যাট্রিক্সের সাথে কাজ করব (কলাম 1 ছাড়া এবং সারি 1 ছাড়া)। দ্বিতীয় কলাম এবং দ্বিতীয় সারির সংযোগস্থলে দাঁড়িয়ে থাকা নতুন "প্রধান" উপাদানটি -1 এর সমান। লাইনগুলিকে পুনর্বিন্যাস করার দরকার নেই, তাই আমরা প্রথম কলাম এবং প্রথম এবং দ্বিতীয় সারিগুলি পরিবর্তন ছাড়াই পুনরায় লিখি। আসুন "প্রধান" উপাদানের অধীনে দ্বিতীয় কলামে শূন্য পেতে বিয়োগ করার ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করি: তৃতীয় লাইনের উপাদানগুলি থেকে আমরা ক্রমানুসারে দ্বিতীয় লাইনের উপাদানগুলিকে 3 দ্বারা গুণ করে বিয়োগ করি; চতুর্থ লাইনের উপাদান থেকে 2 দ্বারা গুণিত দ্বিতীয় লাইনের উপাদানগুলি বিয়োগ করুন।
• এটি শেষ লাইন পরিবর্তন করা বাকি আছে। এর উপাদানগুলি থেকে আমরা ধারাবাহিকভাবে তৃতীয় সারির উপাদানগুলি বিয়োগ করি। এইভাবে, আমরা একটি ধাপযুক্ত ম্যাট্রিক্স পেয়েছি৷

গৌস পদ্ধতির মাধ্যমে লিনিয়ার ইকুয়েশন (SLE) সমাধানের পদ্ধতিতে ম্যাট্রিক্সের একটি ধাপে হ্রাস করা ব্যবহার করা হয়। এই পদ্ধতিটি দেখার আগে, আসুন এসএলএন সম্পর্কিত কিছু শর্তাদি জেনে নেই।

ম্যাট্রিস এবং রৈখিক সমীকরণের সিস্টেম

ম্যাট্রিস বিভিন্ন বিজ্ঞানে ব্যবহৃত হয়। সংখ্যার সারণী ব্যবহার করে, আপনি, উদাহরণস্বরূপ, গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি সিস্টেমে একত্রিত রৈখিক সমীকরণগুলি সমাধান করতে পারেন। প্রথমে, আসুন কয়েকটি পদ এবং তাদের সংজ্ঞার সাথে পরিচিত হই, এবং আরও দেখি যে কীভাবে একটি ম্যাট্রিক্স একটি সিস্টেম থেকে তৈরি হয় যা বিভিন্ন রৈখিক সমীকরণকে একত্রিত করে।

SLU – প্রথম পাওয়ার অজানা এবং কোন পণ্য পদের সাথে কয়েকটি সম্মিলিত বীজগণিতীয় সমীকরণ।

SLE সমাধান - অজানা মান পাওয়া যায়, যা প্রতিস্থাপন করে সিস্টেমের সমীকরণগুলি পরিচয়ে পরিণত হয়৷

একটি যৌথ SLE হল সমীকরণের একটি সিস্টেম যার অন্তত একটি সমাধান রয়েছে।

অসংলগ্ন SLE সমীকরণের একটি সিস্টেম যার কোনো সমাধান নেই।

রৈখিক সমীকরণগুলিকে একত্রিত করে এমন একটি সিস্টেমের উপর ভিত্তি করে একটি ম্যাট্রিক্স কীভাবে গঠিত হয়? সিস্টেমের প্রধান এবং বর্ধিত ম্যাট্রিক্স হিসাবে এই ধরনের ধারণা আছে। সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্স পাওয়ার জন্য, অজানাগুলির জন্য সমস্ত সহগ টেবিলে রাখা প্রয়োজন। প্রসারিত ম্যাট্রিক্সটি মূল ম্যাট্রিক্সে বিনামূল্যের পদগুলির একটি কলাম যোগ করে প্রাপ্ত করা হয় (এতে পরিচিত উপাদানগুলি রয়েছে যার সাথে সিস্টেমের প্রতিটি সমীকরণ সমান করা হয়)। আপনি নীচের ছবিটি অধ্যয়ন করে এই পুরো প্রক্রিয়াটি বুঝতে পারেন৷

ছবিতে আমরা প্রথম যে জিনিসটি দেখতে পাই তা হল একটি সিস্টেম যা রৈখিক সমীকরণ অন্তর্ভুক্ত করে। এর উপাদান: a_ij – সংখ্যাগত সহগ, x_j – অজানা মান, b_i – ধ্রুবক পদ (যেখানে i=1, 2, …, m, এবং j=1, 2, …, n)। ছবির দ্বিতীয় উপাদানটি সহগগুলির প্রধান ম্যাট্রিক্স। প্রতিটি সমীকরণ থেকে, সহগগুলি একটি সারিতে লেখা হয়। ফলস্বরূপ, ম্যাট্রিক্সে যতগুলি সারি রয়েছে ততগুলি সিস্টেমে সমীকরণ রয়েছে। কলামের সংখ্যা যে কোনো সমীকরণে সহগ সংখ্যার বৃহত্তম সংখ্যার সমান। ছবির তৃতীয় উপাদানটি একটি বর্ধিত ম্যাট্রিক্স যার একটি কলাম বিনামূল্যের পদ।

গাউস পদ্ধতি সম্পর্কে সাধারণ তথ্য

রৈখিক বীজগণিতে, গাউস পদ্ধতি হল SLE সমাধানের শাস্ত্রীয় উপায়। এটি কার্ল ফ্রেডরিখ গাউসের নাম বহন করে, যিনি 18-19 শতকে বসবাস করতেন। এই সর্বকালের সর্বশ্রেষ্ঠ গণিতবিদদের একজন। গাউস পদ্ধতির সারমর্ম হল রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের একটি সিস্টেমে প্রাথমিক রূপান্তরগুলি সম্পাদন করা। রূপান্তরের সাহায্যে, SLE একটি ত্রিভুজাকার (ধাপযুক্ত) ফর্মের একটি সমতুল্য সিস্টেমে হ্রাস করা হয়, যেখান থেকে সমস্ত ভেরিয়েবল পাওয়া যায়৷

এটা লক্ষণীয় যে কার্ল ফ্রেডরিখ গাউস রৈখিক সমীকরণের একটি পদ্ধতির সমাধান করার ক্লাসিক্যাল পদ্ধতির আবিষ্কারক নন। পদ্ধতিটি অনেক আগে উদ্ভাবিত হয়েছিল। এর প্রথম বর্ণনা পাওয়া যায় প্রাচীন চীনা গণিতবিদদের জ্ঞানের এনসাইক্লোপিডিয়াতে, যাকে বলা হয় "9টি বইয়ে গণিত"।

গাউস পদ্ধতি দ্বারা SLE সমাধানের একটি উদাহরণ

আসুন একটি নির্দিষ্ট উদাহরণে গাউস পদ্ধতিতে সিস্টেমের সমাধান বিবেচনা করা যাক। আমরা ছবিতে দেখানো SLU এর সাথে কাজ করব৷

সমাধান অ্যালগরিদম:

1. আমরা গাউস পদ্ধতির সরাসরি পদক্ষেপের মাধ্যমে সিস্টেমটিকে একটি ধাপে কমিয়ে দেব, তবে প্রথমেআমরা সংখ্যাসূচক সহগ এবং বিনামূল্যে সদস্যদের একটি প্রসারিত ম্যাট্রিক্স রচনা করব।
2. গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করে ম্যাট্রিক্স সমাধান করতে (অর্থাৎ এটিকে একটি ধাপে আনুন), দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সারির উপাদানগুলি থেকে, আমরা ক্রমানুসারে প্রথম সারির উপাদানগুলিকে বিয়োগ করি। আমরা "লিডিং" এলিমেন্টের অধীনে প্রথম কলামে শূন্য পাই। এর পরে, আমরা সুবিধার জন্য জায়গায় দ্বিতীয় এবং তৃতীয় লাইন পরিবর্তন করব। শেষ সারির উপাদানগুলিতে, ক্রমানুসারে দ্বিতীয় সারির উপাদানগুলি যোগ করুন, 3 দ্বারা গুণ করুন।
3. গউস পদ্ধতিতে ম্যাট্রিক্সের গণনার ফলস্বরূপ, আমরা উপাদানগুলির একটি ধাপযুক্ত অ্যারে পেয়েছি। এর উপর ভিত্তি করে, আমরা রৈখিক সমীকরণের একটি নতুন সিস্টেম রচনা করব। গাউস পদ্ধতির বিপরীত পথে, আমরা অজানা পদগুলির মান খুঁজে পাই। এটি শেষ রৈখিক সমীকরণ থেকে দেখা যায় যে x₃ 1 এর সমান। আমরা এই মানটিকে সিস্টেমের দ্বিতীয় লাইনে প্রতিস্থাপন করি। আপনি সমীকরণটি পাবেন x₂ – 4=–4। এটি অনুসরণ করে যে x₂ 0 এর সমান। সিস্টেমের প্রথম সমীকরণে x₂ এবং x₃ প্রতিস্থাপন করুন: x1 _{+ 0 +3=2। অজানা শব্দটি হল -1।}

উত্তর: ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে, গাউসিয়ান পদ্ধতি, আমরা অজানা মান খুঁজে পেয়েছি; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

গাউস-জর্ডান পদ্ধতি

রৈখিক বীজগণিতেও গাউস-জর্ডান পদ্ধতির মতো একটি জিনিস রয়েছে। এটি গাউসিয়ান পদ্ধতির একটি পরিবর্তন হিসাবে বিবেচিত হয় এবং এটি বিপরীত ম্যাট্রিক্স খুঁজে বের করতে, বীজগণিতীয় রৈখিক সমীকরণের বর্গ ব্যবস্থার অজানা পদ গণনা করতে ব্যবহৃত হয়। গাউস-জর্ডান পদ্ধতিটি সুবিধাজনক যে এটি এক ধাপে SLE সমাধান করতে দেয় (সরাসরি এবং বিপরীত ব্যবহার ছাড়াইচলে)।

আসুন "ইনভার্স ম্যাট্রিক্স" শব্দটি দিয়ে শুরু করা যাক। ধরুন আমাদের একটি ম্যাট্রিক্স A আছে। এর বিপরীত হবে ম্যাট্রিক্স A^-1, যখন শর্তটি অবশ্যই সন্তুষ্ট: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, অর্থাৎ এই ম্যাট্রিক্সের গুণফল আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সের সমান (পরিচয় ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের উপাদানগুলি হল এক, এবং অবশিষ্ট উপাদানগুলি শূন্য).}

একটি গুরুত্বপূর্ণ সূক্ষ্মতা: রৈখিক বীজগণিতে একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্সের অস্তিত্বের উপর একটি উপপাদ্য রয়েছে। ম্যাট্রিক্স A^-1 এর অস্তিত্বের জন্য একটি পর্যাপ্ত এবং প্রয়োজনীয় শর্ত হল যে ম্যাট্রিক্স A অসঙ্গীয়।

গৌস-জর্ডান পদ্ধতির উপর ভিত্তি করে প্রাথমিক ধাপগুলি:

1. একটি নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্সের প্রথম সারিটি দেখুন। প্রথম মান শূন্যের সমান না হলে গাউস-জর্ডান পদ্ধতি শুরু করা যেতে পারে। যদি প্রথম স্থানটি 0 হয়, তাহলে সারিগুলিকে অদলবদল করুন যাতে প্রথম উপাদানটির একটি শূন্য নয় (এটি পছন্দসই যে সংখ্যাটি একটির কাছাকাছি হয়)।
2. প্রথম সারির সমস্ত উপাদানকে প্রথম সংখ্যা দিয়ে ভাগ করুন। আপনি একটি স্ট্রিং দিয়ে শেষ করবেন যা একটি দিয়ে শুরু হয়৷
3. দ্বিতীয় লাইন থেকে, দ্বিতীয় লাইনের প্রথম উপাদান দ্বারা গুণিত প্রথম লাইনটি বিয়োগ করুন, অর্থাৎ শেষে আপনি একটি লাইন পাবেন যা শূন্য থেকে শুরু হয়। বাকি লাইনগুলির জন্য একই কাজ করুন। 1 এর তির্যকভাবে পেতে প্রতিটি লাইনকে তার প্রথম অ-শূন্য উপাদান দিয়ে ভাগ করুন।
4. ফলস্বরূপ, আপনি গাউস - জর্ডান পদ্ধতি ব্যবহার করে উপরের ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স পাবেন। এটিতে, প্রধান তির্যকটি ইউনিট দ্বারা উপস্থাপিত হয়। নীচের কোণে শূন্য দিয়ে ভরা হয়, এবংউপরের কোণে - বিভিন্ন মান।
5. শেষ রেখা থেকে, প্রয়োজনীয় সহগ দ্বারা গুণিত শেষ লাইনটি বিয়োগ করুন। আপনি শূন্য এবং এক সঙ্গে একটি স্ট্রিং পেতে হবে. বাকি লাইনের জন্য, একই ক্রিয়া পুনরাবৃত্তি করুন। সমস্ত রূপান্তরের পরে, পরিচয় ম্যাট্রিক্স প্রাপ্ত হবে৷

গাউস-জর্ডান পদ্ধতি ব্যবহার করে ইনভার্স ম্যাট্রিক্স খোঁজার একটি উদাহরণ

বিপরীত ম্যাট্রিক্স গণনা করতে, আপনাকে অগমেন্টেড ম্যাট্রিক্স A|E লিখতে হবে এবং প্রয়োজনীয় রূপান্তরগুলি সম্পাদন করতে হবে। আসুন একটি সহজ উদাহরণ বিবেচনা করা যাক। নীচের চিত্রটি ম্যাট্রিক্স A.

দেখায়

সমাধান:

1. প্রথম, আসুন গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করে ম্যাট্রিক্স নির্ণায়ক খুঁজে বের করি (det A)। যদি এই প্যারামিটারটি শূন্যের সমান না হয়, তাহলে ম্যাট্রিক্সটিকে অসাংবাদিক বলে গণ্য করা হবে। এটি আমাদের উপসংহারে পৌঁছাতে দেবে যে A এর অবশ্যই A^-1 আছে। নির্ধারক গণনা করতে, আমরা প্রাথমিক রূপান্তর দ্বারা ম্যাট্রিক্সকে ধাপে ধাপে রূপান্তরিত করি। সারির পারমুটেশনের সংখ্যার সমান K সংখ্যাটি গণনা করা যাক। আমরা শুধুমাত্র 1 বার লাইন পরিবর্তন. এর নির্ধারক গণনা করা যাক. এর মান প্রধান তির্যকের উপাদানগুলির গুণফলের সমান হবে, (–1)^K দিয়ে গুণ করলে। গণনার ফলাফল: det A=2.
2. মূল ম্যাট্রিক্সের সাথে পরিচয় ম্যাট্রিক্স যোগ করে বর্ধিত ম্যাট্রিক্স রচনা করুন। গাউস-জর্ডান পদ্ধতিতে ইনভার্স ম্যাট্রিক্স খুঁজে পেতে উপাদানগুলির ফলস্বরূপ অ্যারে ব্যবহার করা হবে৷
3. প্রথম সারির প্রথম উপাদানটি একের সমান। এটি আমাদের জন্য উপযুক্ত, কারণ রেখাগুলিকে পুনর্বিন্যাস করার এবং প্রদত্ত লাইনটিকে কিছু সংখ্যা দ্বারা ভাগ করার দরকার নেই। কাজ শুরু করা যাকদ্বিতীয় এবং তৃতীয় লাইনের সাথে। দ্বিতীয় সারির প্রথম উপাদানটিকে 0 তে পরিণত করতে, দ্বিতীয় সারি থেকে 3 দ্বারা গুণিত প্রথম সারিটি বিয়োগ করুন। তৃতীয় সারি থেকে প্রথম সারিটি বিয়োগ করুন (কোন গুণের প্রয়োজন নেই)।
4. ফলিত ম্যাট্রিক্সে, দ্বিতীয় সারির দ্বিতীয় উপাদান হল -4, এবং তৃতীয় সারির দ্বিতীয় উপাদান হল -1। এর সুবিধার জন্য লাইন অদলবদল করা যাক. তৃতীয় সারি থেকে বিয়োগ করুন দ্বিতীয় সারিটিকে 4 দ্বারা গুণ করুন। দ্বিতীয় সারিটিকে -1 দ্বারা এবং তৃতীয় সারিটিকে 2 দ্বারা ভাগ করুন। আমরা উপরের ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স পাই।
5. আসুন দ্বিতীয় লাইন থেকে 4 দ্বারা গুণ করা শেষ লাইনটি বিয়োগ করা যাক এবং প্রথম লাইন থেকে 5 দ্বারা গুণ করা শেষ লাইনটি বিয়োগ করা যাক। এরপর, প্রথম লাইন থেকে 2 দ্বারা গুণিত দ্বিতীয় লাইনটি বিয়োগ করুন। বাম দিকে আমরা পেয়েছি পরিচয় ম্যাট্রিক্স ডানদিকে বিপরীত ম্যাট্রিক্স।

গাউস-জর্ডান পদ্ধতিতে SLE সমাধানের একটি উদাহরণ

চিত্রটি রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম দেখায়। একটি ম্যাট্রিক্স, গাউস-জর্ডান পদ্ধতি ব্যবহার করে অজানা ভেরিয়েবলের মান খুঁজে বের করতে হবে।

সমাধান:

1. আসুন একটি অগমেন্টেড ম্যাট্রিক্স তৈরি করি। এটি করার জন্য, আমরা সারণিতে সহগ এবং বিনামূল্যের পদ রাখব।
2. Gauss-Jordan পদ্ধতি ব্যবহার করে ম্যাট্রিক্স সমাধান করুন। লাইন নং 2 থেকে আমরা লাইন নং 1 বিয়োগ করি। লাইন নং 3 থেকে আমরা লাইন নং 1 বিয়োগ করি, পূর্বে 2 দ্বারা গুণ করা হয়েছিল।
3. 2 এবং 3 সারি অদলবদল করুন।
4. লাইন3 থেকে লাইন2 বিয়োগ করুন 2 দ্বারা গুণ করুন। ফলে তৃতীয় লাইনটিকে –1 দ্বারা ভাগ করুন।
5. লাইন ২ থেকে ৩ লাইন বিয়োগ করুন।
6. লাইন 1 থেকে লাইন 1 বিয়োগ করুন2 বার -1. পাশে, আমরা 0, 1 এবং -1 সংখ্যার সমন্বয়ে একটি কলাম পেয়েছি। এর থেকে আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে x₁=0, x₂=1 এবং x₃ =–1.

যদি আপনি চান, আপনি গণনা করা মানগুলিকে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে সমাধানটির সঠিকতা পরীক্ষা করতে পারেন:

• 0 – 1=–1, সিস্টেম থেকে প্রথম পরিচয় সঠিক;
• 0 + 1 + (–1)=0, সিস্টেম থেকে দ্বিতীয় পরিচয়টি সঠিক;
• 0 – 1 + (–1)=–2, সিস্টেম থেকে তৃতীয় পরিচয়টি সঠিক৷

উপসংহার: গাউস-জর্ডান পদ্ধতি ব্যবহার করে, আমরা রৈখিক বীজগণিতীয় সমীকরণগুলিকে একত্রিত করে এমন একটি দ্বিঘাত পদ্ধতির সঠিক সমাধান খুঁজে পেয়েছি।

অনলাইন ক্যালকুলেটর

আজকের তরুণদের বিশ্ববিদ্যালয়ে অধ্যয়নরত এবং রৈখিক বীজগণিত অধ্যয়নরতদের জীবন অনেক সরলীকৃত হয়েছে। কয়েক বছর আগে, আমাদের নিজেরাই গাউস এবং গাউস-জর্ডান পদ্ধতি ব্যবহার করে সিস্টেমগুলির সমাধান খুঁজে বের করতে হয়েছিল। কিছু শিক্ষার্থী সফলভাবে কাজগুলি মোকাবেলা করেছে, অন্যরা সমাধানে বিভ্রান্ত হয়েছে, ভুল করেছে, সহপাঠীদের সাহায্যের জন্য জিজ্ঞাসা করেছে। আজ, আপনি হোমওয়ার্ক করার সময় অনলাইন ক্যালকুলেটর ব্যবহার করতে পারেন। রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করতে, বিপরীত ম্যাট্রিক্স অনুসন্ধান করুন, এমন প্রোগ্রামগুলি লেখা হয়েছে যা কেবল সঠিক উত্তরগুলিই প্রদর্শন করে না, তবে একটি নির্দিষ্ট সমস্যা সমাধানের অগ্রগতিও দেখায়৷

বিল্ট-ইন অনলাইন ক্যালকুলেটর সহ ইন্টারনেটে অনেক সংস্থান রয়েছে৷ গাউসিয়ান ম্যাট্রিক্স, সমীকরণের সিস্টেমগুলি এই প্রোগ্রামগুলি কয়েক সেকেন্ডের মধ্যে সমাধান করে। শিক্ষার্থীদের শুধুমাত্র প্রয়োজনীয় প্যারামিটারগুলি নির্দিষ্ট করতে হবে (উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণের সংখ্যা,ভেরিয়েবলের সংখ্যা)।