2য় ক্রম পৃষ্ঠ: উদাহরণ

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2024-01-02 17:42

শিক্ষার্থী প্রায়শই প্রথম বছরে ২য় ক্রমে পৃষ্ঠের মুখোমুখি হয়। প্রথমে, এই বিষয়ে কাজগুলিকে সহজ মনে হতে পারে, কিন্তু আপনি উচ্চতর গণিত অধ্যয়ন করার সাথে সাথে বৈজ্ঞানিক দিকটি গভীরভাবে অধ্যয়ন করার সাথে সাথে আপনি যা ঘটছে তাতে নিজেকে অভিমুখী করা বন্ধ করতে পারেন। এটি যাতে ঘটতে না পারে তার জন্য, এটি কেবল মুখস্ত করাই নয়, তবে এই বা সেই পৃষ্ঠটি কীভাবে প্রাপ্ত হয়, সহগ পরিবর্তন কীভাবে এটিকে প্রভাবিত করে এবং মূল স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার সাথে এর অবস্থান এবং কীভাবে একটি নতুন সিস্টেম খুঁজে বের করা যায় তা বোঝার প্রয়োজন। (একটি যেখানে এর কেন্দ্রটি মূল স্থানাঙ্কের সাথে মিলে যায় এবং প্রতিসাম্য অক্ষটি স্থানাঙ্ক অক্ষগুলির একটির সমান্তরাল)। শুরু থেকে শুরু করা যাক।

সংজ্ঞা

GMT কে 2য় ক্রম পৃষ্ঠ বলা হয়, যার স্থানাঙ্কগুলি নিম্নলিখিত ফর্মের সাধারণ সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে:

F(x, y, z)=0.

এটা স্পষ্ট যে পৃষ্ঠের প্রতিটি বিন্দুতে কিছু নির্দিষ্ট ভিত্তিতে তিনটি স্থানাঙ্ক থাকতে হবে। যদিও কিছু ক্ষেত্রে বিন্দুগুলির অবস্থান অবক্ষয় হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, একটি সমতলে। এর অর্থ হল স্থানাঙ্কগুলির মধ্যে একটি ধ্রুবক এবং গ্রহণযোগ্য মানের সমগ্র পরিসরে শূন্যের সমান৷

উপরে উল্লিখিত সমতার সম্পূর্ণ আঁকা ফর্মটি এইরকম দেখাচ্ছে:

A₁₁x²+A₂₂y² +A₃₃z²+2A₁₂xy+2A_{23 yz+2A}13_xz+2A14_x+2A24_{y+2A 34}z+A₄₄=0.

A_{nm – কিছু ধ্রুবক, x, y, z – কিছু বিন্দুর affine স্থানাঙ্কের সাথে সম্পর্কিত চলক। এই ক্ষেত্রে, ধ্রুবক ফ্যাক্টরগুলির মধ্যে অন্তত একটি অবশ্যই শূন্যের সমান হবে না, অর্থাৎ, কোনো বিন্দু সমীকরণের সাথে মিলবে না।}

অধিকাংশ উদাহরণে, অনেক সংখ্যাগত কারণ এখনও শূন্যের সমান, এবং সমীকরণটি ব্যাপকভাবে সরলীকৃত। অনুশীলনে, একটি বিন্দু একটি পৃষ্ঠের অন্তর্গত কিনা তা নির্ধারণ করা কঠিন নয় (এটি সমীকরণে এর স্থানাঙ্কগুলি প্রতিস্থাপন করা এবং পরিচয়টি পর্যবেক্ষণ করা হয়েছে কিনা তা পরীক্ষা করা যথেষ্ট)। এই ধরনের কাজের মূল বিষয় হল পরবর্তীটিকে একটি প্রামাণিক আকারে নিয়ে আসা।

উপরে লেখা সমীকরণটি 2য় ক্রমটির যেকোনও (নিচে তালিকাভুক্ত সমস্ত) পৃষ্ঠকে সংজ্ঞায়িত করে। আমরা নীচের উদাহরণগুলি বিবেচনা করব৷

২য় অর্ডারের পৃষ্ঠের প্রকার

2য় ক্রমে পৃষ্ঠতলের সমীকরণগুলি শুধুমাত্র সহগ A_{nm এর মানের মধ্যে পার্থক্য করে। সাধারণ দৃষ্টিকোণ থেকে, ধ্রুবকের নির্দিষ্ট মানের জন্য, বিভিন্ন পৃষ্ঠতল প্রাপ্ত করা যেতে পারে, নিম্নরূপ শ্রেণীবদ্ধ:}

1. সিলিন্ডার।
2. উপবৃত্তাকার প্রকার।
3. হাইপারবোলিক টাইপ।
4. কোনিকাল টাইপ।
5. প্যারাবলিক টাইপ।
6. প্লেন।

তালিকাভুক্ত প্রতিটি প্রকারের একটি প্রাকৃতিক এবং কাল্পনিক রূপ রয়েছে: কাল্পনিক আকারে, বাস্তব বিন্দুগুলির অবস্থান হয় একটি সরল চিত্রে পরিণত হয়, অথবা সম্পূর্ণরূপে অনুপস্থিত থাকে৷

সিলিন্ডার

এটি সবচেয়ে সহজ প্রকার, যেহেতু একটি অপেক্ষাকৃত জটিল বক্ররেখা শুধুমাত্র গোড়ায় থাকে, একটি নির্দেশিকা হিসেবে কাজ করে। জেনারেটর হল সরল রেখা যে সমতলের উপর ভিত্তি করে থাকে।

গ্রাফটি একটি বৃত্তাকার সিলিন্ডার দেখায়, একটি উপবৃত্তাকার সিলিন্ডারের একটি বিশেষ কেস৷ XY সমতলে, এর অভিক্ষেপ একটি উপবৃত্ত (আমাদের ক্ষেত্রে, একটি বৃত্ত) হবে - একটি নির্দেশিকা, এবং XZ - একটি আয়তক্ষেত্র - যেহেতু জেনারেটরগুলি Z অক্ষের সমান্তরাল। সাধারণ সমীকরণ থেকে এটি পেতে, আপনার প্রয়োজন সহগগুলিকে নিম্নলিখিত মানগুলি দিতে:

আসলে, 1/a2এবং এখানে নির্দেশিত অন্যান্য ধ্রুবকগুলি সাধারণ সমীকরণে নির্দেশিত একই সহগ, তবে সেগুলিকে এই ফর্মটিতে লেখার প্রথাগত - এটি হল ক্যানোনিকাল উপস্থাপনা উপরন্তু, শুধুমাত্র এই ধরনের একটি স্বরলিপি ব্যবহার করা হবে৷

এইভাবে একটি হাইপারবোলিক সিলিন্ডারকে সংজ্ঞায়িত করা হয়। স্কিমটি একই - হাইপারবোলটি গাইড হবে৷

বছর2=2px

একটি প্যারাবোলিক সিলিন্ডারকে কিছুটা ভিন্নভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে: এর ক্যানোনিকাল ফর্মটিতে একটি সহগ p রয়েছে, যাকে প্যারামিটার বলা হয়। প্রকৃতপক্ষে, সহগটি q=2p এর সমান, তবে এটি উপস্থাপিত দুটি কারণের মধ্যে ভাগ করার প্রথাগত।

আরেক ধরনের সিলিন্ডার আছে: কাল্পনিক। কোন বাস্তব বিন্দু যেমন একটি সিলিন্ডার অন্তর্গত. এটি সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা হয়উপবৃত্তাকার সিলিন্ডার, কিন্তু ইউনিটের পরিবর্তে -1।

উপবৃত্তাকার প্রকার

একটি উপবৃত্তাকার একটি অক্ষ বরাবর প্রসারিত করা যেতে পারে (যা বরাবর এটি উপরে নির্দেশিত ধ্রুবক a, b, c এর মানের উপর নির্ভর করে; এটা স্পষ্ট যে একটি বৃহত্তর সহগ বৃহত্তর অক্ষের সাথে মিলে যাবে).

একটি কাল্পনিক উপবৃত্তাকারও রয়েছে - তবে শর্ত থাকে যে সহগ দ্বারা গুণিত স্থানাঙ্কের যোগফল -1:

হাইপারবোলয়েডস

যখন একটি ধ্রুবকগুলির একটিতে একটি বিয়োগ উপস্থিত হয়, তখন উপবৃত্তাকার সমীকরণটি একটি একক-শীটযুক্ত হাইপারবোলয়েডের সমীকরণে পরিণত হয়। এটা অবশ্যই বুঝতে হবে যে এই বিয়োগটিকে x₃ স্থানাঙ্কের আগে অবস্থিত করতে হবে না! এটি শুধুমাত্র নির্ধারণ করে যে কোন অক্ষটি হাইপারবোলয়েডের ঘূর্ণনের অক্ষ হবে (বা এটির সমান্তরাল, যেহেতু অতিরিক্ত পদগুলি বর্গক্ষেত্রে উপস্থিত হয় (উদাহরণস্বরূপ, (x-2)^{2) চিত্রের কেন্দ্র স্থানান্তরিত হয়, ফলস্বরূপ, পৃষ্ঠটি স্থানাঙ্ক অক্ষের সমান্তরালে চলে যায়)। এটি সমস্ত 2য় অর্ডার পৃষ্ঠের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য৷}

এছাড়া, আপনাকে বুঝতে হবে যে সমীকরণগুলি ক্যানোনিকাল আকারে উপস্থাপিত হয়েছে এবং সেগুলি ধ্রুবক পরিবর্তন করে পরিবর্তন করা যেতে পারে (চিহ্নটি সংরক্ষিত!); যখন তাদের ফর্ম (হাইপারবোলয়েড, শঙ্কু এবং আরও) একই থাকবে৷

এই সমীকরণটি ইতিমধ্যেই একটি দুই-শীট বিশিষ্ট হাইপারবোলয়েড দ্বারা দেওয়া হয়েছে৷

শঙ্কুযুক্ত পৃষ্ঠ

শঙ্কু সমীকরণে কোনো একক নেই - শূন্যের সমতা।

শুধুমাত্র একটি আবদ্ধ শঙ্কুযুক্ত পৃষ্ঠকে শঙ্কু বলা হয়। নীচের ছবিটি দেখায় যে, আসলে, চার্টে দুটি তথাকথিত শঙ্কু থাকবে৷

গুরুত্বপূর্ণ দ্রষ্টব্য: সমস্ত বিবেচিত ক্যানোনিকাল সমীকরণে, ধ্রুবকগুলিকে ডিফল্টরূপে ধনাত্মক হিসাবে নেওয়া হয়। অন্যথায়, চিহ্নটি চূড়ান্ত চার্টকে প্রভাবিত করতে পারে।

অর্ডিনেট প্লেনগুলো শঙ্কুর প্রতিসাম্যের সমতলে পরিণত হয়, প্রতিসাম্যের কেন্দ্র উৎপত্তিস্থলে অবস্থিত।

কাল্পনিক শঙ্কু সমীকরণে শুধুমাত্র প্লাস আছে; এটি একটি একক বাস্তব পয়েন্টের মালিক৷

প্যারাবোলয়েডস

মহাকাশে ২য় ক্রমে সারফেসগুলি একই রকম সমীকরণ সহ বিভিন্ন আকার নিতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, দুটি ধরণের প্যারাবোলয়েড রয়েছে।

x²/a²+y²/b^2=2z

একটি উপবৃত্তাকার প্যারাবোলয়েড, যখন জেড অক্ষ অঙ্কনের সাথে লম্ব হয়, তখন একটি উপবৃত্তে অভিক্ষিপ্ত হবে৷

x²/a²-y²/b^2=2z

হাইপারবোলিক প্যারাবোলয়েড: জেডওয়াই-এর সমান্তরাল সমতলগুলির অংশগুলি প্যারাবোলাস তৈরি করবে এবং XY-এর সমান্তরাল সমতলগুলির অংশগুলি হাইপারবোলাস তৈরি করবে৷

ছেদকারী প্লেন

এমন কিছু ঘটনা আছে যখন 2য় ক্রমটির পৃষ্ঠতল একটি সমতলে ক্ষয়প্রাপ্ত হয়। এই প্লেনগুলি বিভিন্ন উপায়ে সাজানো যেতে পারে৷

প্রথমে ছেদকারী প্লেনগুলি বিবেচনা করুন:

x²/a²-y²/b²⁼⁰

প্রামানিক সমীকরণের এই পরিবর্তনের ফলে মাত্র দুটি ছেদকারী সমতল (কাল্পনিক!); সমস্ত বাস্তব বিন্দু স্থানাঙ্কের অক্ষে রয়েছে যা সমীকরণে অনুপস্থিত (প্রামানিক - Z অক্ষে)।

সমান্তরাল সমতল

y²=a²

যখন শুধুমাত্র একটি স্থানাঙ্ক থাকে, তখন 2য় ক্রমটির পৃষ্ঠগুলি একজোড়া সমান্তরাল সমতলে পরিণত হয়। মনে রাখবেন, অন্য যে কোন চলক Y এর জায়গায় নিতে পারে; তাহলে অন্যান্য অক্ষের সমান্তরাল সমতল প্রাপ্ত হবে।

y²=-a²

এই ক্ষেত্রে, তারা কাল্পনিক হয়ে যায়।

কাকতালীয় বিমান

y2=0

এমন একটি সহজ সমীকরণের সাথে, একজোড়া প্লেন একটিতে পরিণত হয় - তারা মিলে যায়।

ভুলে যাবেন না যে ত্রিমাত্রিক ভিত্তির ক্ষেত্রে, উপরের সমীকরণটি y=0 সরলরেখাকে সংজ্ঞায়িত করে না! এটিতে অন্য দুটি ভেরিয়েবলের অভাব রয়েছে, তবে এর মানে হল যে তাদের মান ধ্রুবক এবং শূন্যের সমান।

ভবন

একজন শিক্ষার্থীর জন্য সবচেয়ে কঠিন কাজগুলির মধ্যে একটি হল ২য় ক্রমে সারফেস তৈরি করা। অক্ষ এবং কেন্দ্রের অফসেটের সাপেক্ষে বক্ররেখার কোণ দেওয়া হলে এক স্থানাঙ্ক সিস্টেম থেকে অন্য স্থানাঙ্কে যাওয়া আরও কঠিন। এর পুনরাবৃত্তি করা যাক কিভাবে ধারাবাহিকভাবে একটি বিশ্লেষণাত্মক সঙ্গে অঙ্কন ভবিষ্যত দৃশ্য নির্ধারণ করতেপথ।

একটি 2য় অর্ডার পৃষ্ঠ তৈরি করতে, আপনার প্রয়োজন:

• সমীকরণটিকে ক্যানোনিকাল ফর্মে আনুন;
• অধ্যয়নের অধীনে পৃষ্ঠের ধরন নির্ধারণ করুন;
• সহগ মানের উপর ভিত্তি করে গঠন।

নীচে সমস্ত প্রকার বিবেচনা করা হয়েছে:

সংহত করার জন্য, আসুন এই ধরণের কাজের একটি উদাহরণ বিশদভাবে বর্ণনা করি।

উদাহরণ

ধরুন একটি সমীকরণ আছে:

3(x²-2x+1)+6y²+2z^{2+ 60y+144=0}

আসুন এটাকে ক্যানোনিকাল ফর্মে নিয়ে আসা যাক। আসুন আমরা পূর্ণ বর্গগুলিকে একক আউট করি, অর্থাৎ, আমরা উপলব্ধ পদগুলিকে এমনভাবে সাজাই যে তারা যোগফল বা পার্থক্যের বর্গক্ষেত্রের প্রসারণ। উদাহরণস্বরূপ: যদি (a+1)²=a²+2a+1 তারপর a²+2a +1=(a+1)^{2. আমরা দ্বিতীয় অপারেশন চালাব। এই ক্ষেত্রে, বন্ধনীগুলি খোলার প্রয়োজন নেই, কারণ এটি শুধুমাত্র গণনাকে জটিল করবে, তবে সাধারণ ফ্যাক্টর 6 (Y এর পূর্ণ বর্গ সহ বন্ধনীতে) বের করা প্রয়োজন:}

3(x-1)²+6(y+5)²+2z²⁼⁶

এই ক্ষেত্রে z ভেরিয়েবলটি শুধুমাত্র একবার ঘটে - আপনি আপাতত এটিকে একা ছেড়ে দিতে পারেন।

আমরা এই পর্যায়ে সমীকরণটি বিশ্লেষণ করি: সমস্ত অজানা একটি প্লাস চিহ্নের আগে থাকে; ছয় দ্বারা ভাগ করলে একটি অবশিষ্ট থাকে। অতএব, আমাদের একটি সমীকরণ আছে যা একটি উপবৃত্তাকার সংজ্ঞায়িত করে৷

মনে রাখবেন যে 144 কে 150-6 তে ফ্যাক্টর করা হয়েছিল, তারপরে -6 ডানদিকে সরানো হয়েছিল। কেন এভাবে করতে হলো? স্পষ্টতই, এই উদাহরণের বৃহত্তম ভাজক হল -6, যাতে এটি দ্বারা ভাগ করার পরেএকজনকে ডানদিকে রেখে দেওয়া হয়েছে, 144 থেকে ঠিক 6টি "স্থগিত" করা প্রয়োজন (একটি ডানদিকে থাকা উচিত তা একটি বিনামূল্যের পদের উপস্থিতি দ্বারা নির্দেশিত হয় - একটি ধ্রুবক যা একটি অজানা দ্বারা গুণিত হয় না)।

সবকিছুকে ছয় দিয়ে ভাগ করুন এবং উপবৃত্তের ক্যানোনিকাল সমীকরণটি পান:

(x-1)²/2+(y+5)²/1+z^{2 /3=1}

2য় ক্রমে পৃষ্ঠতলের পূর্বে ব্যবহৃত শ্রেণীবিভাগে, চিত্রের কেন্দ্র স্থানাঙ্কের উৎপত্তিস্থলে থাকলে একটি বিশেষ ক্ষেত্রে বিবেচনা করা হয়। এই উদাহরণে, এটি অফসেট।

আমরা অনুমান করি যে অজানা সহ প্রতিটি বন্ধনী একটি নতুন পরিবর্তনশীল। অর্থাৎ: a=x-1, b=y+5, c=z। নতুন স্থানাঙ্কে, উপবৃত্তাকার কেন্দ্র বিন্দু (0, 0, 0) এর সাথে মিলে যায়, তাই, a=b=c=0, যেখান থেকে: x=1, y=-5, z=0। প্রাথমিক স্থানাঙ্কে, চিত্রটির কেন্দ্র বিন্দুতে অবস্থিত (1, -5, 0)।

Ellipsoid দুটি উপবৃত্ত থেকে পাওয়া যাবে: প্রথমটি XY সমতলে এবং দ্বিতীয়টি XZ সমতলে (বা YZ - এটা কোন ব্যাপার না)৷ যে সহগগুলি দ্বারা ভেরিয়েবলগুলিকে ভাগ করা হয় সেগুলি ক্যানোনিকাল সমীকরণে বর্গ করা হয়। অতএব, উপরের উদাহরণে, দুই, এক এবং তিনের মূল দ্বারা ভাগ করা আরও সঠিক হবে।

Y অক্ষের সমান্তরাল প্রথম উপবৃত্তের ক্ষুদ্র অক্ষ দুটি। x-অক্ষের সমান্তরাল প্রধান অক্ষ দুটির দুটি মূল। দ্বিতীয় উপবৃত্তের ক্ষুদ্র অক্ষ, Y অক্ষের সমান্তরাল, একই থাকে - এটি দুইটির সমান। এবং প্রধান অক্ষ, Z অক্ষের সমান্তরাল, তিনটির দুটি মূলের সমান।

মূল সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত ডেটার সাহায্যে ক্যানোনিকাল ফর্মে রূপান্তরিত করে, আমরা একটি উপবৃত্ত আঁকতে পারি।

সারসংক্ষেপ

এই নিবন্ধে কভার করা হয়েছেবিষয়টি বেশ বিস্তৃত, কিন্তু, আসলে, আপনি এখন দেখতে পাচ্ছেন, খুব জটিল নয়। এর বিকাশ, আসলে, সেই মুহুর্তে শেষ হয় যখন আপনি পৃষ্ঠের নাম এবং সমীকরণগুলি মুখস্ত করেন (এবং অবশ্যই, তারা কেমন দেখায়)। উপরের উদাহরণে, আমরা প্রতিটি ধাপের বিস্তারিত আলোচনা করেছি, কিন্তু সমীকরণটিকে ক্যানোনিকাল ফর্মে আনার জন্য উচ্চতর গণিতের ন্যূনতম জ্ঞান প্রয়োজন এবং শিক্ষার্থীর জন্য কোনো অসুবিধা সৃষ্টি করা উচিত নয়।

বর্তমান সমতার ভবিষ্যৎ সময়সূচী বিশ্লেষণ করা ইতিমধ্যেই আরও কঠিন কাজ। কিন্তু এর সফল সমাধানের জন্য, অনুরূপ দ্বিতীয়-ক্রম বক্ররেখাগুলি কীভাবে তৈরি করা হয় তা বোঝার জন্য যথেষ্ট - উপবৃত্ত, প্যারাবোলাস এবং অন্যান্য৷

অবক্ষয় মামলা - একটি আরও সহজ বিভাগ। কিছু ভেরিয়েবলের অনুপস্থিতির কারণে, শুধুমাত্র গণনাগুলিই সরলীকৃত হয় না, যেমনটি আগে উল্লেখ করা হয়েছে, তবে নির্মাণ নিজেই।

যত তাড়াতাড়ি আপনি আত্মবিশ্বাসের সাথে সমস্ত ধরণের পৃষ্ঠের নাম দিতে পারেন, ধ্রুবকগুলিকে আলাদা করে, গ্রাফটিকে এক বা অন্য আকারে পরিণত করে - বিষয়টি আয়ত্ত করা হবে৷

আপনার পড়াশোনায় সাফল্য!