দিক ভেক্টর সরাসরি: সংজ্ঞা এবং উদাহরণ

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2024-01-02 17:42

একটি গুরুত্বপূর্ণ জ্যামিতিক বস্তু যা সমতল স্থানে অধ্যয়ন করা হয় তা হল একটি সরলরেখা। ত্রিমাত্রিক স্থানে, সরলরেখা ছাড়াও একটি সমতলও রয়েছে। উভয় বস্তুই দিকনির্দেশ ভেক্টর ব্যবহার করে সুবিধাজনকভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এটা কি, কিভাবে এই ভেক্টরগুলি সরলরেখা এবং সমতলের সমীকরণ নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত হয়? এই এবং অন্যান্য প্রশ্ন নিবন্ধে কভার করা হয়েছে৷

সরাসরি লাইন এবং কীভাবে এটি সংজ্ঞায়িত করবেন

প্রত্যেক শিক্ষার্থীর ভালো ধারণা আছে তারা কোন জ্যামিতিক বস্তুর কথা বলছে। গণিতের দৃষ্টিকোণ থেকে, একটি সরলরেখা হল বিন্দুগুলির একটি সেট, যা তাদের নির্বিচারে জোড়া সংযোগের ক্ষেত্রে, সমান্তরাল ভেক্টরগুলির একটি সেটের দিকে নিয়ে যায়। একটি লাইনের এই সংজ্ঞাটি দুটি এবং তিনটি মাত্রা উভয়ের জন্য একটি সমীকরণ লিখতে ব্যবহৃত হয়।

বিবেচিত এক-মাত্রিক বস্তুকে বর্ণনা করতে, বিভিন্ন ধরণের সমীকরণ ব্যবহার করা হয়, যা নীচের তালিকায় তালিকাভুক্ত করা হয়েছে:

• সাধারণ দৃশ্য;
• প্যারামেট্রিক;
• ভেক্টর;
• মানসম্মত বা প্রতিসম;
• সেগমেন্টে।

এই প্রজাতির প্রতিটিরই অন্যদের তুলনায় কিছু সুবিধা রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, স্থানাঙ্ক অক্ষের সাপেক্ষে একটি সরল রেখার আচরণ অধ্যয়ন করার সময় অংশগুলির মধ্যে একটি সমীকরণ ব্যবহার করা সুবিধাজনক, একটি সাধারণ সমীকরণ সুবিধাজনক যখন একটি প্রদত্ত সরলরেখার লম্ব দিক খুঁজে বের করার পাশাপাশি এর কোণ গণনা করার সময় x-অক্ষের সাথে ছেদ (একটি ফ্ল্যাট কেসের জন্য)।

যেহেতু এই নিবন্ধের বিষয় একটি সরলরেখার নির্দেশক ভেক্টরের সাথে সম্পর্কিত, তাই আমরা কেবলমাত্র সেই সমীকরণটি বিবেচনা করব যেখানে এই ভেক্টরটি মৌলিক এবং স্পষ্টভাবে রয়েছে, অর্থাৎ একটি ভেক্টর অভিব্যক্তি।

একটি ভেক্টরের মাধ্যমে একটি সরল রেখা নির্দিষ্ট করা

ধরুন আমাদের পরিচিত স্থানাঙ্ক সহ কিছু ভেক্টর v¯ আছে (a; b; c)। যেহেতু তিনটি স্থানাঙ্ক রয়েছে, তাই ভেক্টরটি মহাকাশে দেওয়া হয়েছে। কিভাবে একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেম এটি চিত্রিত? এটি খুব সহজভাবে করা হয়: তিনটি অক্ষের প্রতিটিতে একটি সেগমেন্ট প্লট করা হয়েছে, যার দৈর্ঘ্য ভেক্টরের সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কের সমান। xy, yz এবং xz সমতলগুলিতে পুনরুদ্ধার করা তিনটি লম্বের ছেদ বিন্দুটি ভেক্টরের শেষ হবে। এর শুরু বিন্দু (0; 0; 0)।

তবুও, ভেক্টরের প্রদত্ত অবস্থানটি একমাত্র নয়। একইভাবে, কেউ তার উৎপত্তি স্থানকে স্থানের একটি অবাধ বিন্দুতে রেখে v¯ আঁকতে পারে। এই যুক্তিগুলি বলে যে একটি ভেক্টর ব্যবহার করে একটি নির্দিষ্ট লাইন সেট করা অসম্ভব। এটি অসীম সংখ্যক সমান্তরাল রেখার একটি পরিবারকে সংজ্ঞায়িত করে৷

এখনস্থানের কিছু বিন্দু P(x₀; y₀; z_{0) ঠিক করুন। এবং আমরা শর্ত সেট করেছি: একটি সরল রেখা অবশ্যই P এর মধ্য দিয়ে যেতে হবে। এই ক্ষেত্রে, ভেক্টর v¯ তেও এই বিন্দুটি থাকতে হবে। শেষ ঘটনাটির অর্থ হল P এবং v¯ ব্যবহার করে একটি একক লাইন সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। এটি নিম্নলিখিত সমীকরণ হিসাবে লেখা হবে:}

Q=P + λ × v¯

এখানে Q রেখার সাথে সম্পর্কিত যেকোনো বিন্দু। উপযুক্ত পরামিতি λ নির্বাচন করে এই বিন্দুটি পাওয়া যেতে পারে। লিখিত সমীকরণকে ভেক্টর সমীকরণ বলা হয় এবং v¯ কে সরলরেখার দিকনির্দেশনা ভেক্টর বলা হয়। এটিকে সাজিয়ে যাতে এটি P এর মধ্য দিয়ে যায় এবং প্যারামিটারের সাথে এর দৈর্ঘ্য পরিবর্তন করে, আমরা Q-এর প্রতিটি বিন্দুকে একটি সরলরেখা হিসেবে পাই।

সমন্বিত আকারে, সমীকরণটি নিম্নরূপ লেখা হবে:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ × (a; b; c)}

এবং স্পষ্ট (প্যারামেট্রিক) আকারে, আপনি লিখতে পারেন:

x=x_{0+ λ × a;}

y=y_{0+ λ × b;}

z=z_{0+ λ × c}

যদি আমরা উপরের অভিব্যক্তিতে তৃতীয় স্থানাঙ্কটি বাদ দেই, তাহলে আমরা সমতলের সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ পাব।

দিক ভেক্টর জানা কোন কাজের জন্য উপযোগী?

একটি নিয়ম হিসাবে, এইগুলি লাইনগুলির সমান্তরালতা এবং লম্বতা নির্ধারণের কাজ। এছাড়াও, সরলরেখা এবং একটি বিন্দু এবং একটি সরল রেখার মধ্যে দূরত্ব গণনা করার সময় যে সরাসরি ভেক্টরটি দিক নির্ধারণ করে তা ব্যবহার করা হয়, একটি সমতলের সাপেক্ষে একটি সরল রেখার আচরণ বর্ণনা করতে।

দুটিরেখাগুলি সমান্তরাল হবে যদি তাদের দিক ভেক্টর হয়। তদনুসারে, রেখাগুলির লম্বতা তাদের ভেক্টরগুলির লম্বতা ব্যবহার করে প্রমাণিত হয়। এই ধরনের সমস্যায়, উত্তর পেতে বিবেচিত ভেক্টরের স্কেলার গুণফল গণনা করাই যথেষ্ট।

রেখা এবং বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব গণনা করার কাজের ক্ষেত্রে, দিক ভেক্টরটি স্পষ্টভাবে সংশ্লিষ্ট সূত্রে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে। আসুন এটি লিখে রাখি:

d=|[P₁P_{2¯ × v¯] | / |v¯|}

এখানে P₁P₂¯ - P₁ এবং P পয়েন্টে নির্মিত ₂ নির্দেশিত সেগমেন্ট। বিন্দু P₂ নির্বিচারে, ভেক্টর v¯ এর সাথে লাইনে শুয়ে আছে, যখন বিন্দু P_{1 হল একটি যার দূরত্ব হওয়া উচিত নির্ধারিত করা. এটি হয় স্বাধীন বা অন্য লাইন বা সমতলের অন্তর্গত হতে পারে৷}

মনে রাখবেন যে লাইনগুলির মধ্যে দূরত্ব গণনা করা তখনই বোধগম্য হয় যখন তারা সমান্তরাল বা ছেদ করে। যদি তারা ছেদ করে, তাহলে d হবে শূন্য৷

d এর জন্য উপরের সূত্রটি একটি সমতল এবং এর সমান্তরাল একটি সরল রেখার মধ্যে দূরত্ব গণনা করার জন্যও বৈধ, শুধুমাত্র এই ক্ষেত্রে P_{1 সমতলের অন্তর্গত হওয়া উচিত।}

আসুন বিবেচিত ভেক্টরটি কীভাবে ব্যবহার করবেন তা আরও ভালভাবে দেখানোর জন্য বেশ কয়েকটি সমস্যার সমাধান করা যাক।

ভেক্টর সমীকরণ সমস্যা

এটা জানা যায় যে একটি সরল রেখা নিম্নলিখিত সমীকরণ দ্বারা বর্ণিত হয়েছে:

y=3 × x - 4

আপনার উপযুক্ত অভিব্যক্তি লিখতে হবেভেক্টর ফর্ম।

এটি একটি সরলরেখার একটি সাধারণ সমীকরণ, যা প্রতিটি স্কুলছাত্রের কাছে পরিচিত, সাধারণ আকারে লেখা। চলুন দেখাই কিভাবে এটিকে ভেক্টর আকারে আবার লিখতে হয়।

অভিব্যক্তিটিকে এভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:

(x; y)=(x; 3 × x - 4)

এটা দেখা যায় যে আপনি এটি খুললে, আপনি আসল সমতা পাবেন। এখন আমরা এর ডান দিকটিকে দুটি ভেক্টরে ভাগ করি যাতে তাদের মধ্যে শুধুমাত্র একটিতে x থাকে, আমাদের আছে:

(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)

এটি বন্ধনী থেকে x বের করে, এটিকে একটি গ্রীক চিহ্ন দিয়ে মনোনীত করতে এবং ডান দিকের ভেক্টরগুলিকে অদলবদল করতে বাকি থাকে:

(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)

আমরা আসল এক্সপ্রেশনের ভেক্টর ফর্ম পেয়েছি। সরলরেখার দিকনির্দেশ ভেক্টর স্থানাঙ্ক হল (1; 3)।

রেখার আপেক্ষিক অবস্থান নির্ধারণের কাজ

স্থানে দুটি লাইন দেওয়া আছে:

(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);

(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)

এরা কি সমান্তরাল, ক্রসিং বা ছেদ করছে?

অ-শূন্য ভেক্টর (-1; 3; 1) এবং (1; 2; 0) এই লাইনগুলির জন্য গাইড হবে। আসুন আমরা এই সমীকরণগুলিকে প্যারামেট্রিক আকারে প্রকাশ করি এবং প্রথমটির স্থানাঙ্কগুলিকে দ্বিতীয়টিতে প্রতিস্থাপন করি। আমরা পাই:

x=1 - λ;

y=3 × λ;

z=-2 + λ;

x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;

y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ - 1;

z=2=-2 + λ=> λ=4

উপরের দুটি সমীকরণে পাওয়া প্যারামিটার λটিকে প্রতিস্থাপন করুন, আমরা পাই:

γ=-2 - λ=-6;

γ=3 / 2 × λ - 1=5

প্যারামিটার γ একই সময়ে দুটি ভিন্ন মান নিতে পারে না। এর মানে হল যে রেখাগুলির একটি একক সাধারণ বিন্দু নেই, অর্থাৎ তারা ছেদ করছে। তারা সমান্তরাল নয়, যেহেতু অ-শূন্য ভেক্টর একে অপরের সমান্তরাল নয় (তাদের সমান্তরালতার জন্য, এমন একটি সংখ্যা থাকতে হবে যা একটি ভেক্টর দ্বারা গুণ করলে, দ্বিতীয়টির স্থানাঙ্কের দিকে নিয়ে যাবে)।

প্লেনটির গাণিতিক বর্ণনা

মহাকাশে একটি প্লেন সেট করতে, আমরা একটি সাধারণ সমীকরণ দিই:

A × x + B × y + C × z + D=0

এখানে ল্যাটিন বড় অক্ষর নির্দিষ্ট সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করে। তাদের মধ্যে প্রথম তিনটি সমতলের স্বাভাবিক ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলিকে সংজ্ঞায়িত করে। যদি এটি n¯ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, তাহলে:

n¯=(A; B; C)

এই ভেক্টরটি সমতলে লম্ব, তাই একে গাইড বলা হয়। এর জ্ঞান, সেইসাথে সমতলের অন্তর্গত যেকোন বিন্দুর পরিচিত স্থানাঙ্ক, অনন্যভাবে পরবর্তীটি নির্ধারণ করে।

যদি বিন্দু P(x₁; y₁; z_{1) এর অন্তর্গত সমতল, তারপর ইন্টারসেপ্ট ডি নিম্নরূপ গণনা করা হয়:}

D=-1 × (A × x₁+ B × y₁ + C × z₁₎

আসুন প্লেনের সাধারণ সমীকরণ ব্যবহার করে কয়েকটি সমস্যার সমাধান করা যাক।

এর জন্য টাস্কপ্লেনের স্বাভাবিক ভেক্টর খুঁজে বের করা

প্লেনটিকে নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1

তার জন্য একটি দিক ভেক্টর কীভাবে খুঁজে পাবেন?

উপরের তত্ত্ব থেকে এটি অনুসরণ করে যে স্বাভাবিক ভেক্টর n¯ এর স্থানাঙ্কগুলি ভেরিয়েবলের সামনে সহগ। এই বিষয়ে, n¯ বের করতে, সমীকরণটি সাধারণ আকারে লিখতে হবে। আমাদের আছে:

1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0

তারপর প্লেনের স্বাভাবিক ভেক্টর হল:

n¯=(1/3; 1/2; -1/4)

সমতলের সমীকরণ আঁকার সমস্যা

তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক দেওয়া হয়েছে:

M_{1(1; 0; 0);}

M_{2(2; -1; 5);}

M_{3(0; -2; -2)}

এই সমস্ত বিন্দু সম্বলিত সমতলের সমীকরণটি কেমন হবে।

তিনটি বিন্দুর মাধ্যমে যা একই রেখার অন্তর্গত নয়, শুধুমাত্র একটি সমতল আঁকা যাবে। এর সমীকরণ খুঁজে বের করার জন্য, আমরা প্রথমে সমতল n¯ এর দিক ভেক্টর গণনা করি। এটি করার জন্য, আমরা নিম্নরূপ এগিয়ে যাই: আমরা সমতলের অন্তর্গত নির্বিচারে দুটি ভেক্টর খুঁজে পাই এবং তাদের ভেক্টর পণ্য গণনা করি। এটি একটি ভেক্টর দেবে যা এই সমতলে লম্ব হবে, অর্থাৎ n¯। আমাদের আছে:

M_1M2_{¯=(1; -1; 5); M}1_M3_{¯=(-1; -2; -2);}

n¯=[M₁M₂¯ × M₁M 3_{¯]=(12; -3; -3)}

আঁকতে M_{1বিন্দু নিনসমতল অভিব্যক্তি। আমরা পাই:}

D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;

12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>

4 × x - y - z - 4=0

আমরা মহাকাশে একটি বিমানের জন্য প্রথমে একটি দিকনির্দেশ ভেক্টর সংজ্ঞায়িত করে একটি সাধারণ ধরনের অভিব্যক্তি পেয়েছি।

প্লেনগুলির সমস্যা সমাধান করার সময় ক্রস পণ্যের বৈশিষ্ট্যটি মনে রাখা উচিত, কারণ এটি আপনাকে একটি সাধারণ ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলিকে একটি সহজ উপায়ে নির্ধারণ করতে দেয়৷