অমীমাংসিত সমস্যা হল ৭টি সবচেয়ে আকর্ষণীয় গাণিতিক সমস্যা। তাদের প্রতিটি এক সময়ে সুপরিচিত বিজ্ঞানীদের দ্বারা প্রস্তাবিত হয়েছিল, একটি নিয়ম হিসাবে, অনুমানের আকারে। বহু দশক ধরে, সারা বিশ্ব জুড়ে গণিতবিদরা তাদের সমাধান নিয়ে তাদের মস্তিষ্ককে তাক করে চলেছেন। যারা সফল হবে তাদের ক্লে ইনস্টিটিউটের দেওয়া এক মিলিয়ন মার্কিন ডলার দিয়ে পুরস্কৃত করা হবে।
ব্যাকস্টোরি
1900 সালে, মহান জার্মান গণিতবিদ ডেভিড হিলবার্ট 23টি সমস্যার একটি তালিকা উপস্থাপন করেছিলেন।
এগুলি সমাধানের জন্য করা গবেষণা বিংশ শতাব্দীর বিজ্ঞানের উপর ব্যাপক প্রভাব ফেলেছিল। এই মুহুর্তে, তাদের বেশিরভাগই রহস্য হতে থেমে গেছে। অমীমাংসিত বা আংশিকভাবে সমাধানের মধ্যে ছিল:
- পাটিগণিতের স্বতঃসিদ্ধতার সমস্যা;
- যেকোনো নম্বর ক্ষেত্রের স্থানের উপর পারস্পরিকতার সাধারণ আইন;
- শারীরিক স্বতঃসিদ্ধ গাণিতিক অধ্যয়ন;
- অধ্যয়নমতভেদ;
- ফাইডর শুবার্টের গণনামূলক জ্যামিতির কঠোর ন্যায্যতার সমস্যা;
- ইত্যাদি
অনাবিষ্কৃত হল: সুপরিচিত ক্রোনেকার উপপাদ্যকে যৌক্তিকতার যেকোনো বীজগণিত অঞ্চলে প্রসারিত করার সমস্যা এবং রিম্যান হাইপোথিসিস।
দ্য ক্লে ইনস্টিটিউট
এটি একটি বেসরকারি অলাভজনক সংস্থার নাম যার সদর দপ্তর ক্যামব্রিজ, ম্যাসাচুসেটস। এটি 1998 সালে হার্ভার্ড গণিতবিদ এ. জেফি এবং ব্যবসায়ী এল. ক্লে দ্বারা প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল। ইনস্টিটিউটের লক্ষ্য হল গাণিতিক জ্ঞানকে জনপ্রিয় করা এবং বিকাশ করা। এটি অর্জনের জন্য, সংস্থাটি গবেষণার প্রতিশ্রুতিশীল বিজ্ঞানী এবং পৃষ্ঠপোষকদের পুরস্কার দেয়৷
একবিংশ শতাব্দীর প্রথম দিকে, ক্লে ইনস্টিটিউট অফ ম্যাথমেটিক্স যারা সবচেয়ে কঠিন অমীমাংসিত সমস্যা হিসাবে পরিচিত, তাদের সমাধান করার জন্য একটি পুরষ্কার অফার করেছিল, তাদের তালিকাকে সহস্রাব্দ পুরস্কারের সমস্যা বলে। শুধুমাত্র রিম্যান হাইপোথিসিস হিলবার্ট তালিকায় অন্তর্ভুক্ত ছিল।
মিলেনিয়াম চ্যালেঞ্জ
দ্য ক্লে ইনস্টিটিউটের তালিকায় মূলত অন্তর্ভুক্ত ছিল:
- হজ চক্র অনুমান;
- কোয়ান্টাম ইয়াং-মিলস তত্ত্ব সমীকরণ;
- পয়নকেয়ার হাইপোথিসিস;
- P এবং NP শ্রেণীর সমতার সমস্যা;
- রিম্যান হাইপোথিসিস;
- Navier-Stokes সমীকরণ, এর সমাধানের অস্তিত্ব এবং মসৃণতার উপর;
- বার্চ-সুইনারটন-ডায়ার সমস্যা।
এই উন্মুক্ত গাণিতিক সমস্যাগুলি অত্যন্ত আগ্রহের বিষয়, কারণ এগুলোর অনেক ব্যবহারিক প্রয়োগ থাকতে পারে।
গ্রিগরি পেরেলম্যান কী প্রমাণ করেছিলেন
1900 সালে, বিখ্যাত দার্শনিক হেনরি পয়নকেরে পরামর্শ দিয়েছিলেন যে সীমানা ছাড়াই যেকোন সহজভাবে সংযুক্ত কমপ্যাক্ট 3-মেনিফোল্ড একটি 3-মাত্রিক গোলকের সাথে হোমোমরফিক। সাধারণ ক্ষেত্রে এর প্রমাণ এক শতাব্দী ধরে পাওয়া যায়নি। শুধুমাত্র 2002-2003 সালে, সেন্ট পিটার্সবার্গের গণিতবিদ জি. পেরেলম্যান Poincare সমস্যার সমাধান সহ বেশ কয়েকটি নিবন্ধ প্রকাশ করেছিলেন। তারা একটি বিস্ফোরিত বোমার প্রভাব ছিল. 2010 সালে, ক্লে ইনস্টিটিউটের "অমীমাংসিত সমস্যা" তালিকা থেকে Poincare hypothesis বাদ দেওয়া হয়েছিল, এবং পেরেলম্যান নিজেও তার জন্য যথেষ্ট পারিশ্রমিক পাওয়ার প্রস্তাব করেছিলেন, যা পরবর্তীতে তার সিদ্ধান্তের কারণ ব্যাখ্যা না করে প্রত্যাখ্যান করেছিলেন।
রাশিয়ান গণিতবিদ যা প্রমাণ করতে পেরেছিলেন তার সবচেয়ে বোধগম্য ব্যাখ্যাটি কল্পনা করে দেওয়া যেতে পারে যে একটি রাবার ডিস্ক একটি ডোনাট (টরাস) এর উপর টানা হয় এবং তারপর তারা তার বৃত্তের প্রান্তগুলিকে একটি বিন্দুতে টানতে চেষ্টা করে। স্পষ্টতই এটি সম্ভব নয়। আরেকটি বিষয়, আপনি যদি একটি বল দিয়ে এই পরীক্ষাটি করেন। এই ক্ষেত্রে, একটি আপাতদৃষ্টিতে ত্রিমাত্রিক গোলক, একটি ডিস্কের ফলে যার পরিধি একটি অনুমানমূলক কর্ড দ্বারা একটি বিন্দুতে টানা হয়েছিল, একটি সাধারণ ব্যক্তির বোঝার ক্ষেত্রে ত্রিমাত্রিক হবে, তবে গণিতের ক্ষেত্রে দ্বি-মাত্রিক হবে৷
পয়নকেয়ার পরামর্শ দিয়েছেন যে একটি ত্রিমাত্রিক গোলক হল একমাত্র ত্রিমাত্রিক "বস্তু" যার পৃষ্ঠ এক বিন্দুতে সংকুচিত হতে পারে এবং পেরেলম্যান এটি প্রমাণ করতে সক্ষম হন। এইভাবে, আজকের "অমীমাংসিত সমস্যার" তালিকায় 6টি সমস্যা রয়েছে৷
ইয়াং-মিলস তত্ত্ব
এই গাণিতিক সমস্যাটি 1954 সালে এর লেখকরা প্রস্তাব করেছিলেন। তত্ত্বের বৈজ্ঞানিক গঠন নিম্নরূপ:যেকোনো সাধারণ কমপ্যাক্ট গেজ গ্রুপের জন্য, ইয়াং এবং মিলস দ্বারা তৈরি কোয়ান্টাম স্থানিক তত্ত্ব বিদ্যমান, এবং একই সময়ে একটি শূন্য ভর ত্রুটি রয়েছে।
একজন সাধারণ ব্যক্তির বোধগম্য ভাষায় কথা বললে, প্রাকৃতিক বস্তুর (কণা, দেহ, তরঙ্গ ইত্যাদি) মধ্যে মিথস্ক্রিয়াগুলি 4 প্রকারে বিভক্ত: ইলেক্ট্রোম্যাগনেটিক, মহাকর্ষীয়, দুর্বল এবং শক্তিশালী। বহু বছর ধরে, পদার্থবিদরা একটি সাধারণ ক্ষেত্র তত্ত্ব তৈরি করার চেষ্টা করছেন। এই সমস্ত মিথস্ক্রিয়া ব্যাখ্যা করার জন্য এটি একটি হাতিয়ার হওয়া উচিত। ইয়াং-মিলস তত্ত্ব হল একটি গাণিতিক ভাষা যার সাহায্যে প্রকৃতির 4টি প্রধান শক্তির মধ্যে 3টি বর্ণনা করা সম্ভব হয়েছে। এটি মহাকর্ষের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়। অতএব, এটা বিবেচনা করা যায় না যে ইয়াং এবং মিলস একটি ক্ষেত্র তত্ত্ব তৈরি করতে সফল হয়েছিল।
এছাড়া, প্রস্তাবিত সমীকরণগুলির অ-রৈখিকতা তাদের সমাধান করা অত্যন্ত কঠিন করে তোলে। ছোট যুগল ধ্রুবকগুলির জন্য, তারা আনুমানিকভাবে বিক্ষিপ্ততা তত্ত্বের একটি সিরিজ আকারে সমাধান করা যেতে পারে। যাইহোক, এটি এখনও স্পষ্ট নয় যে এই সমীকরণগুলি কীভাবে শক্তিশালী সংযোগের মাধ্যমে সমাধান করা যেতে পারে৷
Navier-Stokes সমীকরণ
এই অভিব্যক্তিগুলি বায়ু প্রবাহ, তরল প্রবাহ এবং অশান্তির মতো প্রক্রিয়াগুলিকে বর্ণনা করে। কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে, নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণের বিশ্লেষণাত্মক সমাধান ইতিমধ্যেই পাওয়া গেছে, কিন্তু এখনও পর্যন্ত কেউ সাধারণের জন্য এটি করতে সফল হয়নি। একই সময়ে, গতি, ঘনত্ব, চাপ, সময় ইত্যাদির নির্দিষ্ট মানগুলির জন্য সংখ্যাসূচক সিমুলেশনগুলি চমৎকার ফলাফল অর্জন করতে পারে। এটা আশা করা যায় যে কেউ নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণ বিপরীতে প্রয়োগ করতে সক্ষম হবেদিকনির্দেশ, অর্থাত্ সেগুলি ব্যবহার করে পরামিতিগুলি গণনা করুন, বা প্রমাণ করুন যে কোনও সমাধান পদ্ধতি নেই৷
বার্চ-সুইনারটন-ডায়ার সমস্যা
"অমীমাংসিত সমস্যা" বিভাগে ক্যামব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়ের ব্রিটিশ বিজ্ঞানীদের দ্বারা প্রস্তাবিত হাইপোথিসিসও অন্তর্ভুক্ত। এমনকি 2300 বছর আগে, প্রাচীন গ্রীক বিজ্ঞানী ইউক্লিড x2 + y2=z2 সমীকরণের সমাধানগুলির সম্পূর্ণ বিবরণ দিয়েছিলেন।
যদি প্রতিটি মৌলিক সংখ্যার জন্য আমরা বক্ররেখার বিন্দুর সংখ্যা গণনা করি, তাহলে আমরা পূর্ণসংখ্যার একটি অসীম সেট পাব। আপনি যদি এটিকে একটি জটিল ভেরিয়েবলের 1 ফাংশনে বিশেষভাবে "আঠা" করেন, তাহলে আপনি একটি তৃতীয় ক্রম বক্ররেখার জন্য Hasse-Weil zeta ফাংশন পাবেন, L অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে। এতে সমস্ত মৌলিক সংখ্যার আচরণ সম্পর্কে তথ্য রয়েছে।
ব্রায়ান বার্চ এবং পিটার সুইনারটন-ডায়ার উপবৃত্তাকার বক্ররেখা সম্পর্কে অনুমান করেছেন। এটি অনুসারে, এর যৌক্তিক সমাধানগুলির সেটের গঠন এবং সংখ্যা পরিচয়ে এল-ফাংশনের আচরণের সাথে সম্পর্কিত। বর্তমানে অপ্রমাণিত বার্চ-সুইনারটন-ডায়ার অনুমান 3য় ডিগ্রী বীজগণিতীয় সমীকরণের বর্ণনার উপর নির্ভর করে এবং উপবৃত্তাকার বক্ররেখার র্যাঙ্ক গণনা করার একমাত্র অপেক্ষাকৃত সহজ সাধারণ উপায়।
এই কাজের ব্যবহারিক গুরুত্ব বোঝার জন্য, এটা বলাই যথেষ্ট যে আধুনিক ক্রিপ্টোগ্রাফিতে অপ্রতিসম সিস্টেমের একটি সম্পূর্ণ শ্রেণি উপবৃত্তাকার বক্ররেখার উপর ভিত্তি করে এবং দেশীয় ডিজিটাল স্বাক্ষরের মানগুলি তাদের প্রয়োগের উপর ভিত্তি করে।
p এবং np শ্রেণীর সমতা
যদি সহস্রাব্দের বাকি চ্যালেঞ্জগুলি সম্পূর্ণরূপে গাণিতিক হয়, তবে এটির মধ্যে রয়েছেঅ্যালগরিদমের প্রকৃত তত্ত্বের সাথে সম্পর্ক। শ্রেণী p এবং np এর সমতা সংক্রান্ত সমস্যা, কুক-লেভিন সমস্যা নামেও পরিচিত, নিম্নোক্তভাবে বোধগম্য ভাষায় প্রণয়ন করা যেতে পারে। ধরুন যে একটি নির্দিষ্ট প্রশ্নের একটি ইতিবাচক উত্তর যথেষ্ট দ্রুত পরীক্ষা করা যেতে পারে, অর্থাৎ, বহুপদী সময়ে (PT)। তাহলে উক্তিটি কি সঠিক যে এর উত্তর মোটামুটি দ্রুত পাওয়া যাবে? এমনকি সহজ এই সমস্যাটি এইরকম শোনাচ্ছে: এটি খুঁজে পাওয়ার চেয়ে সমস্যার সমাধান পরীক্ষা করা কি সত্যিই কঠিন নয়? যদি p এবং np শ্রেণীগুলির সমতা কখনও প্রমাণিত হয়, তাহলে PV-এর জন্য সমস্ত নির্বাচন সমস্যা সমাধান করা যেতে পারে। এই মুহুর্তে, অনেক বিশেষজ্ঞ এই বিবৃতির সত্যতা নিয়ে সন্দেহ করছেন, যদিও তারা বিপরীত প্রমাণ করতে পারেন না।
রিম্যান হাইপোথিসিস
1859 সাল পর্যন্ত, এমন কোনও প্যাটার্ন পাওয়া যায়নি যা বর্ণনা করবে যে কীভাবে মৌলিক সংখ্যাগুলি প্রাকৃতিক সংখ্যার মধ্যে বিতরণ করা হয়। সম্ভবত এটি এই কারণে হয়েছিল যে বিজ্ঞান অন্যান্য সমস্যাগুলির সাথে মোকাবিলা করেছিল। যাইহোক, 19 শতকের মাঝামাঝি সময়ে, পরিস্থিতি পরিবর্তিত হয়েছিল, এবং তারা সবচেয়ে প্রাসঙ্গিক হয়ে ওঠে যে গণিত মোকাবেলা করতে শুরু করে।
রিম্যান হাইপোথিসিস, যা এই সময়ের মধ্যে আবির্ভূত হয়েছিল, তা হল অনুমান যে মৌলিক সংখ্যার বণ্টনে একটি নির্দিষ্ট প্যাটার্ন রয়েছে৷
আজ, অনেক আধুনিক বিজ্ঞানী বিশ্বাস করেন যে যদি এটি প্রমাণিত হয়, তাহলে আধুনিক ক্রিপ্টোগ্রাফির অনেকগুলি মৌলিক নীতির সংশোধন করা প্রয়োজন, যা ইলেকট্রনিক বাণিজ্যের প্রক্রিয়াগুলির একটি উল্লেখযোগ্য অংশের ভিত্তি তৈরি করে৷
রিম্যান হাইপোথিসিস অনুসারে চরিত্রটিপ্রাইমগুলির বন্টন বর্তমানে যা অনুমান করা হয় তার থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে ভিন্ন হতে পারে। আসল কথা হল এখন পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার বণ্টনে কোনো ব্যবস্থা আবিষ্কৃত হয়নি। উদাহরণস্বরূপ, "যমজ" এর সমস্যা রয়েছে, যার মধ্যে পার্থক্য হল 2। এই সংখ্যাগুলি হল 11 এবং 13, 29। অন্যান্য মৌলিক সংখ্যাগুলি ক্লাস্টার গঠন করে। এগুলি হল 101, 103, 107, ইত্যাদি৷ বিজ্ঞানীরা দীর্ঘদিন ধরে সন্দেহ করেছিলেন যে এই ধরনের ক্লাস্টারগুলি খুব বড় মৌলিক সংখ্যাগুলির মধ্যে রয়েছে৷ যদি সেগুলি পাওয়া যায়, তাহলে আধুনিক ক্রিপ্টো কীগুলির শক্তি প্রশ্নবিদ্ধ হবে৷
হজ চক্র হাইপোথিসিস
এই অমীমাংসিত সমস্যাটি 1941 সালে প্রণয়ন করা হয়েছিল। হজের অনুমান উচ্চ মাত্রার সরল দেহগুলিকে একত্রে "আঠা" করে যেকোনো বস্তুর আকৃতি আনুমানিক করার সম্ভাবনার পরামর্শ দেয়। এই পদ্ধতিটি দীর্ঘ সময়ের জন্য পরিচিত এবং সফলভাবে ব্যবহৃত হয়েছে। তবে কতটা সরলীকরণ করা যায় তা জানা যায়নি।
এখন আপনি জানেন কি অমীমাংসিত সমস্যা এই মুহূর্তে বিদ্যমান। তারা বিশ্বের হাজার হাজার বিজ্ঞানীদের গবেষণার বিষয়। এটি আশা করা যায় যে অদূর ভবিষ্যতে সেগুলি সমাধান করা হবে, এবং তাদের ব্যবহারিক প্রয়োগ মানবতাকে প্রযুক্তিগত উন্নয়নের একটি নতুন রাউন্ডে প্রবেশ করতে সহায়তা করবে৷
