1900 সালে, গত শতাব্দীর অন্যতম সেরা বিজ্ঞানী ডেভিড হিলবার্ট গণিতের 23টি অমীমাংসিত সমস্যার একটি তালিকা তৈরি করেছিলেন। তাদের উপর কাজ মানব জ্ঞানের এই ক্ষেত্রের বিকাশের উপর একটি অসাধারণ প্রভাব ফেলেছিল। 100 বছর পরে, ক্লে ম্যাথমেটিকাল ইনস্টিটিউট সহস্রাব্দ সমস্যা হিসাবে পরিচিত 7 টি সমস্যার একটি তালিকা উপস্থাপন করে। তাদের প্রত্যেককে 1 মিলিয়ন ডলারের পুরস্কার দেওয়া হয়েছিল।
এক শতাব্দীরও বেশি সময় ধরে বিজ্ঞানীদের ধাঁধাঁর দুটি তালিকার মধ্যে যে সমস্যাটি দেখা দিয়েছে তা হল রিম্যান হাইপোথিসিস। সে এখনও তার সিদ্ধান্তের জন্য অপেক্ষা করছে।
সংক্ষিপ্ত জীবনীমূলক নোট
জর্জ ফ্রেডরিখ বার্নহার্ড রিম্যান 1826 সালে হ্যানোভারে এক দরিদ্র যাজকের একটি বড় পরিবারে জন্মগ্রহণ করেছিলেন এবং মাত্র 39 বছর বেঁচে ছিলেন। তিনি 10টি কাজ প্রকাশ করতে পেরেছিলেন। যাইহোক, ইতিমধ্যে তার জীবদ্দশায়, রিম্যানকে তার শিক্ষক জোহান গাউসের উত্তরসূরি হিসাবে বিবেচনা করা হয়েছিল। 25 বছর বয়সে, তরুণ বিজ্ঞানী তার গবেষণামূলক "একটি জটিল পরিবর্তনশীলের ফাংশনের তত্ত্বের মৌলিক বিষয়গুলি" রক্ষা করেছিলেন। পরে তিনি প্রণয়ন করেনতার বিখ্যাত অনুমান।
প্রধান সংখ্যা
গণিতের আবির্ভাব ঘটে যখন মানুষ গণনা করতে শিখেছিল। একই সময়ে, সংখ্যা সম্পর্কে প্রথম ধারণাগুলি উদ্ভূত হয়েছিল, যা তারা পরে শ্রেণীবদ্ধ করার চেষ্টা করেছিল। তাদের মধ্যে কিছু সাধারণ বৈশিষ্ট্য লক্ষ্য করা গেছে। বিশেষ করে, প্রাকৃতিক সংখ্যার মধ্যে, অর্থাৎ, যেগুলি গণনা (সংখ্যাকরণ) বা বস্তুর সংখ্যা নির্ধারণে ব্যবহৃত হয়েছিল, একটি গোষ্ঠীকে আলাদা করা হয়েছিল যেগুলি শুধুমাত্র একটি দ্বারা এবং নিজেদের দ্বারা বিভাজ্য ছিল। তাদের সরল বলা হয়। এই ধরনের সংখ্যার সেটের অসীমতার উপপাদ্যের একটি মার্জিত প্রমাণ ইউক্লিড তার এলিমেন্টে দিয়েছিলেন। আপাতত তাদের তল্লাশি অব্যাহত রয়েছে। বিশেষ করে, ইতিমধ্যে পরিচিত বৃহত্তম সংখ্যা হল 274 207 281 – 1.
অয়লার সূত্র
মূলের সেটের অসীমতার ধারণার সাথে, ইউক্লিড মৌলিক উপাদানগুলির একমাত্র সম্ভাব্য পচনের উপর দ্বিতীয় উপপাদ্যও নির্ধারণ করেছিলেন। এটি অনুসারে, যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হল মৌলিক সংখ্যার একটি মাত্র সেটের গুণফল। 1737 সালে, মহান জার্মান গণিতবিদ লিওনহার্ড অয়লার নীচের সূত্র হিসাবে ইউক্লিডের প্রথম অসীম উপপাদ্য প্রকাশ করেছিলেন।
এটিকে জেটা ফাংশন বলা হয়, যেখানে s একটি ধ্রুবক এবং p সমস্ত মৌলিক মান নেয়। সম্প্রসারণের স্বতন্ত্রতা সম্পর্কে ইউক্লিডের বক্তব্য সরাসরি এটি থেকে অনুসরণ করা হয়েছে।
রিম্যান জেটা ফাংশন
অয়লারের সূত্র, ঘনিষ্ঠ পরিদর্শনে, সম্পূর্ণরূপেআশ্চর্যজনক কারণ এটি মৌলিক এবং পূর্ণসংখ্যার মধ্যে সম্পর্ককে সংজ্ঞায়িত করে। সর্বোপরি, অসীমভাবে অনেক রাশি যা শুধুমাত্র মৌলিক সংখ্যার উপর নির্ভর করে তার বাম দিকে গুণিত হয়, এবং সমস্ত ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সাথে যুক্ত যোগফল ডানদিকে অবস্থিত।
রিম্যান অয়লারের চেয়ে আরও এগিয়ে গেছেন। সংখ্যার বণ্টনের সমস্যার চাবিকাঠি খুঁজে বের করার জন্য, তিনি বাস্তব এবং জটিল উভয় ভেরিয়েবলের জন্য একটি সূত্র সংজ্ঞায়িত করার প্রস্তাব করেছিলেন। তিনিই পরবর্তীকালে রিম্যান জেটা ফাংশনের নাম পেয়েছিলেন। 1859 সালে, বিজ্ঞানী "প্রদত্ত মানের বেশি নয় এমন মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা" শিরোনামে একটি নিবন্ধ প্রকাশ করেন, যেখানে তিনি তার সমস্ত ধারণার সংক্ষিপ্ত বিবরণ দেন।
রিম্যান অয়লার সিরিজ ব্যবহার করার পরামর্শ দিয়েছেন, যা যেকোনো বাস্তব s>1-এর জন্য একত্রিত হয়। যদি একই সূত্রটি জটিল s-এর জন্য ব্যবহার করা হয়, তাহলে সিরিজটি এই ভেরিয়েবলের যেকোনো মানের জন্য 1-এর চেয়ে বড় একটি বাস্তব অংশের সাথে একত্রিত হবে। রিম্যান বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা পদ্ধতি প্রয়োগ করেছেন, সমস্ত জটিল সংখ্যায় zeta(গুলি) এর সংজ্ঞা প্রসারিত করেছেন, কিন্তু ইউনিট "নিক্ষেপ করা"। এটি বাদ দেওয়া হয়েছিল কারণ s=1 এ জেটা ফাংশন অসীম পর্যন্ত বৃদ্ধি পায়৷
ব্যবহারিক জ্ঞান
একটি যৌক্তিক প্রশ্ন উঠেছে: কেন জিটা ফাংশন, যা শূন্য অনুমানের উপর রিম্যানের কাজের মূল, আকর্ষণীয় এবং গুরুত্বপূর্ণ? আপনি জানেন যে, এই মুহুর্তে এমন কোন সাধারণ প্যাটার্ন সনাক্ত করা যায়নি যা প্রাকৃতিক সংখ্যার মধ্যে মৌলিক সংখ্যার বন্টন বর্ণনা করবে। রিম্যান আবিষ্কার করতে সক্ষম হন যে মৌলিক সংখ্যার pi(x) সংখ্যা যা x এর বেশি নয় তা জেটা ফাংশনের অ-তুচ্ছ শূন্যের বণ্টনের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা হয়। তাছাড়া রিম্যান হাইপোথিসিসকিছু ক্রিপ্টোগ্রাফিক অ্যালগরিদমের অপারেশনের জন্য সময় অনুমান প্রমাণ করার জন্য একটি প্রয়োজনীয় শর্ত৷
রিম্যান হাইপোথিসিস
এই গাণিতিক সমস্যার প্রথম সূত্রগুলির মধ্যে একটি, যা আজ পর্যন্ত প্রমাণিত হয়নি, এইরকম শোনাচ্ছে: অ-তুচ্ছ 0 জিটা ফাংশন হল জটিল সংখ্যা যার বাস্তব অংশ ½ এর সমান। অন্য কথায়, তারা Re s=½। লাইনে অবস্থিত
এছাড়াও একটি সাধারণীকৃত রিম্যান হাইপোথিসিস রয়েছে, যা একই বিবৃতি, কিন্তু জেটা ফাংশনগুলির সাধারণীকরণের জন্য, যাকে সাধারণত ডিরিচলেট এল-ফাংশন বলা হয় (নীচের ছবি দেখুন)।
সূত্রে χ(n)- কিছু সংখ্যাসূচক অক্ষর (মডুলো কে)।
রিম্যানিয়ান বিবৃতিটিকে তথাকথিত নাল হাইপোথিসিস হিসাবে বিবেচনা করা হয়, কারণ এটি বিদ্যমান নমুনা ডেটার সাথে সামঞ্জস্যের জন্য পরীক্ষা করা হয়েছে৷
যেমন রিম্যান যুক্তি দিয়েছিলেন
জার্মান গণিতজ্ঞের মন্তব্যটি মূলত সাধারণভাবে বলা হয়েছিল। আসল কথা হল সেই সময়ে বিজ্ঞানী মৌলিক সংখ্যার বণ্টনের উপর উপপাদ্য প্রমাণ করতে যাচ্ছিলেন এবং এই প্রেক্ষাপটে এই অনুমানের কোন বিশেষ গুরুত্ব ছিল না। তবে, অন্যান্য অনেক সমস্যা সমাধানে এর ভূমিকা বিশাল। এই কারণেই রিম্যানের অনুমান এখন অনেক বিজ্ঞানী অপ্রমাণিত গাণিতিক সমস্যার মধ্যে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ হিসাবে স্বীকৃত।
ইতিমধ্যে উল্লেখ করা হয়েছে, ডিস্ট্রিবিউশন থিওরেম প্রমাণ করার জন্য সম্পূর্ণ রিম্যান হাইপোথিসিসের প্রয়োজন নেই, এবং এটি যৌক্তিকভাবে ন্যায্যতা প্রমাণ করার জন্য যথেষ্ট যে জেটা ফাংশনের যেকোনো অ-তুচ্ছ শূন্যের আসল অংশ0 এবং 1 এর মধ্যে। এটি এই বৈশিষ্ট্য থেকে অনুসরণ করে যে উপরের সঠিক সূত্রে প্রদর্শিত জেটা ফাংশনের সমস্ত 0 এর সমষ্টি একটি সসীম ধ্রুবক। x এর বড় মানের জন্য, এটি সম্পূর্ণরূপে হারিয়ে যেতে পারে। সূত্রের একমাত্র সদস্য যা খুব বড় x এর জন্যও একই থাকে তা হল x নিজেই। বাকি জটিল পদগুলি এর সাথে তুলনা করে অদৃশ্যভাবে অদৃশ্য হয়ে যায়। তাই ওজনযুক্ত যোগফল x এ থাকে। এই পরিস্থিতিতে মৌলিক সংখ্যার বন্টনের উপর উপপাদ্যের সত্যতার একটি নিশ্চিতকরণ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। সুতরাং, রিম্যান জেটা ফাংশনের শূন্যগুলির একটি বিশেষ ভূমিকা রয়েছে। এটি প্রমাণ করে যে এই জাতীয় মানগুলি পচন সূত্রে উল্লেখযোগ্য অবদান রাখতে পারে না।
রিম্যানের অনুগামীরা
যক্ষ্মা রোগ থেকে মর্মান্তিক মৃত্যু এই বিজ্ঞানীকে তার কর্মসূচিকে যৌক্তিক পরিণতিতে নিয়ে আসতে দেয়নি। যাইহোক, Sh-Zh তার কাছ থেকে দায়িত্ব নেন। দে লা ভ্যালি পাউসিন এবং জ্যাক হাদামার্ড। একে অপরের থেকে স্বাধীনভাবে, তারা মৌলিক সংখ্যার বণ্টনের উপর একটি উপপাদ্য বের করেছিল। Hadamard এবং Poussin প্রমাণ করতে সক্ষম হয়েছে যে সমস্ত অ-তুচ্ছ 0 zeta ফাংশন সমালোচনামূলক ব্যান্ডের মধ্যে রয়েছে৷
এই বিজ্ঞানীদের কাজের জন্য ধন্যবাদ, গণিতে একটি নতুন দিক আবির্ভূত হয়েছে - সংখ্যার বিশ্লেষণাত্মক তত্ত্ব। পরে, রিম্যান যে উপপাদ্য নিয়ে কাজ করছিলেন তার আরও বেশ কিছু আদিম প্রমাণ অন্যান্য গবেষকরা পেয়েছিলেন। বিশেষ করে, পাল এরডস এবং অ্যাটলে সেলবার্গ এমনকি এটি নিশ্চিত করার জন্য একটি খুব জটিল লজিক্যাল চেইন আবিষ্কার করেছিলেন, যার জন্য জটিল বিশ্লেষণের প্রয়োজন ছিল না। যাইহোক, এই বিন্দু দ্বারা, বেশ কিছু গুরুত্বপূর্ণউপপাদ্য, অনেক সংখ্যা তত্ত্ব ফাংশনের অনুমান সহ। এই বিষয়ে, Erdős এবং Atle Selberg-এর নতুন কাজ কার্যত কোনো প্রভাব ফেলেনি।
সমস্যাটির সবচেয়ে সহজ এবং সবচেয়ে সুন্দর প্রমাণগুলির মধ্যে একটি 1980 সালে ডোনাল্ড নিউম্যান খুঁজে পেয়েছিলেন। এটি বিখ্যাত কচি উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে তৈরি হয়েছিল।
রিম্যানিয়ান হাইপোথিসিস কি আধুনিক ক্রিপ্টোগ্রাফির ভিত্তিকে হুমকি দেয়
হায়ারোগ্লিফের উপস্থিতির সাথে ডেটা এনক্রিপশনের উদ্ভব হয়েছিল, আরও সঠিকভাবে, তারা নিজেরাই প্রথম কোড হিসাবে বিবেচিত হতে পারে। এই মুহুর্তে, ডিজিটাল ক্রিপ্টোগ্রাফির একটি সম্পূর্ণ ক্ষেত্র রয়েছে, যা এনক্রিপশন অ্যালগরিদম তৈরি করছে।
প্রাইম এবং "সেমি-প্রাইম" সংখ্যা, অর্থাৎ যেগুলি একই শ্রেণীর অন্যান্য সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য, সেগুলি RSA নামে পরিচিত পাবলিক কী সিস্টেমের ভিত্তি তৈরি করে৷ এটির সর্বাধিক প্রয়োগ রয়েছে। বিশেষ করে, এটি একটি ইলেকট্রনিক স্বাক্ষর তৈরি করার সময় ব্যবহৃত হয়। ডামিদের কাছে অ্যাক্সেসযোগ্য শর্তে কথা বললে, রিম্যান হাইপোথিসিস মৌলিক সংখ্যার বণ্টনে একটি সিস্টেমের অস্তিত্ব নিশ্চিত করে। এইভাবে, ক্রিপ্টোগ্রাফিক কীগুলির শক্তি, যার উপর ই-কমার্সের ক্ষেত্রে অনলাইন লেনদেনের নিরাপত্তা নির্ভর করে, উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস পেয়েছে৷
অন্যান্য অমীমাংসিত গণিত সমস্যা
অন্যান্য সহস্রাব্দের লক্ষ্যে কয়েকটি শব্দ নিবেদন করে নিবন্ধটি শেষ করা মূল্যবান। এর মধ্যে রয়েছে:
- P এবং NP শ্রেণীর সমতা। সমস্যাটি নিম্নরূপ প্রণয়ন করা হয়েছে: যদি একটি নির্দিষ্ট প্রশ্নের একটি ইতিবাচক উত্তর বহুপদী সময়ে পরীক্ষা করা হয়, তবে এটি কি সত্য যে এই প্রশ্নের উত্তর নিজেইদ্রুত পাওয়া যাবে?
- হজের অনুমান। সহজ কথায়, এটি নিম্নরূপ প্রণয়ন করা যেতে পারে: কিছু ধরণের প্রজেক্টিভ বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের (স্পেস) জন্য, হজ চক্র হল বস্তুর সংমিশ্রণ যার একটি জ্যামিতিক ব্যাখ্যা রয়েছে, যেমন, বীজগণিত চক্র।
- পয়নকারের অনুমান। এটিই একমাত্র মিলেনিয়াম চ্যালেঞ্জ যা এখন পর্যন্ত প্রমাণিত হয়েছে। এটি অনুসারে, 3-মাত্রিক গোলকের নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যযুক্ত যে কোনও 3-মাত্রিক বস্তু অবশ্যই একটি গোলক হতে হবে, বিকৃতি পর্যন্ত।
- ইয়াং - মিলসের কোয়ান্টাম তত্ত্বের নিশ্চিতকরণ। এটা প্রমাণ করতে হবে যে এই বিজ্ঞানীরা R 4 মহাকাশের জন্য যে কোয়ান্টাম তত্ত্ব উপস্থাপন করেছেন তা বিদ্যমান এবং যেকোন সাধারণ কমপ্যাক্ট গেজ গ্রুপ G. এর জন্য 0তম ভর ত্রুটি রয়েছে।
- বার্চ-সুইনারটন-ডায়ার হাইপোথিসিস। এটি ক্রিপ্টোগ্রাফি সম্পর্কিত আরেকটি সমস্যা। এটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখা স্পর্শ করে৷
- নাভিয়ার-স্টোকস সমীকরণের অস্তিত্ব এবং সমাধানের মসৃণতার সমস্যা।
এখন আপনি রিম্যান হাইপোথিসিস জানেন। সহজ কথায়, আমরা অন্যান্য সহস্রাব্দ চ্যালেঞ্জের কিছু প্রণয়ন করেছি। সেগুলোর সমাধান হবে নাকি প্রমাণিত হবে যে তাদের কোনো সমাধান নেই সেটা সময়ের ব্যাপার। অধিকন্তু, এটি অসম্ভাব্য যে এটির জন্য খুব বেশি সময় অপেক্ষা করতে হবে, যেহেতু গণিত ক্রমবর্ধমানভাবে কম্পিউটারের কম্পিউটিং ক্ষমতা ব্যবহার করছে। যাইহোক, সবকিছুই প্রযুক্তির অধীন নয়, এবং সর্বপ্রথম, বৈজ্ঞানিক সমস্যা সমাধানের জন্য অন্তর্দৃষ্টি এবং সৃজনশীলতা প্রয়োজন।
