এক এবং একাধিক ভেরিয়েবলের ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস ফাংশন

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2023-12-17 05:18

ক্যালকুলাস হল ক্যালকুলাসের একটি শাখা যা একটি ফাংশনের অধ্যয়নে ডেরিভেটিভ, ডিফারেনশিয়াল এবং তাদের ব্যবহার অধ্যয়ন করে।

আবির্ভাবের ইতিহাস

ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস 17 শতকের দ্বিতীয়ার্ধে একটি স্বাধীন শৃঙ্খলা হিসাবে আবির্ভূত হয়েছিল, নিউটন এবং লাইবনিজের কাজের জন্য ধন্যবাদ, যারা পার্থক্যের ক্যালকুলাসে মৌলিক বিধানগুলি প্রণয়ন করেছিলেন এবং একীকরণ এবং পার্থক্যের মধ্যে সংযোগ লক্ষ্য করেছিলেন। সেই মুহূর্ত থেকে, শৃঙ্খলা অখণ্ডের ক্যালকুলাসের সাথে বিকশিত হয়েছে, এইভাবে গাণিতিক বিশ্লেষণের ভিত্তি তৈরি করেছে। এই ক্যালকুলাসের উপস্থিতি গাণিতিক জগতে একটি নতুন আধুনিক যুগের সূচনা করে এবং বিজ্ঞানে নতুন শাখার উত্থান ঘটায়। এটি প্রাকৃতিক বিজ্ঞান এবং প্রযুক্তিতে গাণিতিক বিজ্ঞান প্রয়োগ করার সম্ভাবনাকেও প্রসারিত করেছে৷

মৌলিক ধারণা

ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস গণিতের মৌলিক ধারণার উপর ভিত্তি করে। সেগুলো হল: বাস্তব সংখ্যা, ধারাবাহিকতা, ফাংশন এবং সীমা। সময়ের সাথে সাথে, তারা একটি আধুনিক চেহারা নিয়েছে, অবিচ্ছেদ্য এবং ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসকে ধন্যবাদ।

সৃষ্টি প্রক্রিয়া

একটি প্রয়োগের আকারে ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের গঠন, এবং তারপরে একটি বৈজ্ঞানিক পদ্ধতি একটি দার্শনিক তত্ত্বের আবির্ভাবের আগে ঘটেছিল, যা কুসার নিকোলাস দ্বারা তৈরি হয়েছিল। তাঁর কাজগুলিকে প্রাচীন বিজ্ঞানের বিচার থেকে একটি বিবর্তনীয় বিকাশ হিসাবে বিবেচনা করা হয়। দার্শনিক নিজে একজন গণিতবিদ না হওয়া সত্ত্বেও, গাণিতিক বিজ্ঞানের বিকাশে তার অবদান অনস্বীকার্য। কুজানস্কিই প্রথম যারা পাটিগণিতকে বিজ্ঞানের সবচেয়ে নির্ভুল ক্ষেত্র হিসেবে বিবেচনা করা থেকে দূরে সরে গিয়েছিলেন, সেই সময়ের গণিতকে সন্দেহের মধ্যে ফেলেছিলেন।

প্রাচীন গণিতবিদরা এককটিকে সর্বজনীন মানদণ্ড হিসাবে ব্যবহার করেছিলেন, যখন দার্শনিক সঠিক সংখ্যার পরিবর্তে অসীমকে একটি নতুন পরিমাপ হিসাবে প্রস্তাব করেছিলেন। এই বিষয়ে, গাণিতিক বিজ্ঞানে নির্ভুলতার উপস্থাপনা উল্টানো। বৈজ্ঞানিক জ্ঞান, তার মতে, যুক্তিবাদী এবং বুদ্ধিবৃত্তিক মধ্যে বিভক্ত। দ্বিতীয়টি আরও সঠিক, বিজ্ঞানীর মতে, যেহেতু প্রথমটি শুধুমাত্র একটি আনুমানিক ফলাফল দেয়৷

আইডিয়া

ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের মূল ধারণা এবং ধারণাটি নির্দিষ্ট পয়েন্টের ছোট আশেপাশের একটি ফাংশনের সাথে সম্পর্কিত। এটি করার জন্য, একটি ফাংশন অধ্যয়ন করার জন্য একটি গাণিতিক যন্ত্রপাতি তৈরি করা প্রয়োজন যার আচরণ প্রতিষ্ঠিত বিন্দুগুলির একটি ছোট আশেপাশে একটি বহুপদ বা একটি রৈখিক ফাংশনের আচরণের কাছাকাছি। এটি একটি ডেরিভেটিভ এবং একটি ডিফারেনশিয়ালের সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে৷

একটি ডেরিভেটিভের ধারণার উপস্থিতি প্রাকৃতিক বিজ্ঞান এবং গণিতের প্রচুর সংখ্যক সমস্যার কারণে হয়েছিল,যা একই ধরনের সীমার মান খুঁজে বের করে।

একটি প্রধান সমস্যা যা উচ্চ বিদ্যালয় থেকে শুরু করে উদাহরণ হিসাবে দেওয়া হয় তা হল একটি সরলরেখা বরাবর চলমান একটি বিন্দুর গতি নির্ধারণ করা এবং এই বক্ররেখায় একটি স্পর্শক রেখা তৈরি করা। ডিফারেনশিয়াল এর সাথে সম্পর্কিত, যেহেতু রৈখিক ফাংশনের বিবেচিত বিন্দুর একটি ছোট আশেপাশে ফাংশনটি আনুমানিক করা সম্ভব।

একটি বাস্তব ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভের ধারণার সাথে তুলনা করে, ডিফারেনশিয়ালের সংজ্ঞাটি সাধারণ প্রকৃতির একটি ফাংশনে, বিশেষ করে, একটি ইউক্লিডীয় স্থান অন্যটির প্রতিমূর্তির কাছে চলে যায়।

ডেরিভেটিভ

বিন্দুটিকে Oy অক্ষের দিকে যেতে দিন, যে সময়ের জন্য আমরা x নিই, যা মুহূর্তের একটি নির্দিষ্ট শুরু থেকে গণনা করা হয়। এই ধরনের আন্দোলনকে y=f(x) ফাংশন দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে, যা স্থানান্তরিত বিন্দুর স্থানাঙ্কের প্রতিটি মুহূর্ত x এর জন্য নির্ধারিত হয়। মেকানিক্সে, এই ফাংশনটিকে গতির সূত্র বলা হয়। গতির প্রধান বৈশিষ্ট্য, বিশেষ করে অসম, তাৎক্ষণিক গতি। বলবিদ্যার নিয়ম অনুসারে যখন একটি বিন্দু Oy অক্ষ বরাবর চলে, তখন একটি এলোমেলো সময়ে x, এটি স্থানাঙ্ক f (x) অর্জন করে। সময় মুহুর্তে x + Δx, যেখানে Δx সময়ের বৃদ্ধি বোঝায়, এর স্থানাঙ্ক হবে f(x + Δx)। এভাবেই Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) সূত্র গঠিত হয়, যাকে ফাংশনের বৃদ্ধি বলা হয়। এটি x থেকে x + Δx পর্যন্ত বিন্দুতে ভ্রমণ করা পথকে প্রতিনিধিত্ব করে।

এর উত্থানের কারণেসময় বেগ, ডেরিভেটিভ চালু করা হয়. একটি স্বেচ্ছাচারী ফাংশনে, একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে ডেরিভেটিভকে সীমা বলা হয় (ধরে নিচ্ছে এটি বিদ্যমান)। এটি নির্দিষ্ট চিহ্ন দ্বারা মনোনীত করা যেতে পারে:

f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x)।

ডেরিভেটিভ গণনার প্রক্রিয়াকে ডিফারেন্সিয়েশন বলে।

বিভিন্ন ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস

এই ক্যালকুলাস পদ্ধতিটি বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবল সহ একটি ফাংশন পরীক্ষা করার সময় ব্যবহার করা হয়। x এবং y দুটি ভেরিয়েবলের উপস্থিতিতে, A বিন্দুতে x এর সাপেক্ষে আংশিক ডেরিভেটিভকে স্থির y সহ x এর সাথে এই ফাংশনের ডেরিভেটিভ বলা হয়।

নিম্নলিখিত অক্ষর দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে:

f’(x)(x, y), u’(x), ∂u/∂x বা ∂f(x, y)’/∂x।

প্রয়োজনীয় দক্ষতা

সফলভাবে অধ্যয়ন করতে এবং বিচ্ছুরণগুলি সমাধান করতে সক্ষম হওয়ার জন্য একীকরণ এবং পার্থক্যের দক্ষতা প্রয়োজন। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি বোঝা সহজ করার জন্য, আপনার ডেরিভেটিভ এবং অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য বিষয় সম্পর্কে ভাল ধারণা থাকা উচিত। এটি একটি অন্তর্নিহিত ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে শিখতেও ক্ষতি করে না। এটি এই কারণে যে অধ্যয়ন প্রক্রিয়ার মধ্যে অবিচ্ছেদ্য এবং পার্থক্য প্রায়শই ব্যবহার করতে হবে৷

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের প্রকার

প্রথম ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাথে সম্পর্কিত প্রায় সমস্ত পরীক্ষার প্রশ্নপত্রে, 3 প্রকারের সমীকরণ রয়েছে: সমজাতীয়, বিভাজ্য চলক সহ, রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ।

এছাড়াও বিরল বৈচিত্র্যের সমীকরণ রয়েছে: মোট পার্থক্য সহ, বার্নোলির সমীকরণ এবং অন্যান্য।

সিদ্ধান্তের মূল বিষয়

প্রথম, আপনার স্কুল কোর্সের বীজগণিতীয় সমীকরণগুলি মনে রাখা উচিত। তারা ভেরিয়েবল এবং সংখ্যা ধারণ করে. একটি সাধারণ সমীকরণ সমাধান করতে, আপনাকে একটি নির্দিষ্ট শর্ত পূরণ করে এমন সংখ্যার সেট খুঁজে বের করতে হবে। একটি নিয়ম হিসাবে, এই জাতীয় সমীকরণগুলির একটি মূল ছিল এবং সঠিকতা পরীক্ষা করার জন্য, একটিকে শুধুমাত্র এই মানটিকে অজানার জন্য প্রতিস্থাপন করতে হবে৷

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ এর অনুরূপ। সাধারণভাবে, এই ধরনের প্রথম-ক্রম সমীকরণের মধ্যে রয়েছে:

• স্বাধীন পরিবর্তনশীল।
• প্রথম ফাংশনের ডেরিভেটিভ।
• একটি ফাংশন বা নির্ভরশীল পরিবর্তনশীল।

কিছু ক্ষেত্রে, অজানাগুলির মধ্যে একটি, x বা y, অনুপস্থিত হতে পারে, তবে এটি এতটা গুরুত্বপূর্ণ নয়, যেহেতু প্রথম ডেরিভেটিভের উপস্থিতি, উচ্চ ক্রম ডেরিভেটিভ ছাড়াই, সমাধান এবং পার্থক্যের জন্য প্রয়োজনীয়। ক্যালকুলাস সঠিক হতে হবে।

একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করার অর্থ হল প্রদত্ত অভিব্যক্তির সাথে মিলে যাওয়া সমস্ত ফাংশনের সেট খুঁজে বের করা। এই ধরনের ফাংশনের সেটকে প্রায়ই DE এর সাধারণ সমাধান বলা হয়।

অখণ্ড ক্যালকুলাস

অখণ্ড ক্যালকুলাস গাণিতিক বিশ্লেষণের একটি বিভাগ যা অখণ্ড, বৈশিষ্ট্য এবং এর গণনার পদ্ধতির ধারণা অধ্যয়ন করে।

প্রায়শই, বক্ররেখার ক্ষেত্রফল গণনা করার সময় অখণ্ডের গণনা ঘটে। এই ক্ষেত্রটির অর্থ হল একটি প্রদত্ত চিত্রে খোদাই করা বহুভুজের ক্ষেত্রফল তার পাশে ধীরে ধীরে বৃদ্ধির সাথে প্রবণতা দেখায়, যখন এই দিকগুলিকে পূর্বে নির্দিষ্ট করা যেকোনো নির্বিচারের চেয়ে কম করা যেতে পারেছোট মান।

একটি নির্বিচারে জ্যামিতিক চিত্রের ক্ষেত্রফল গণনার মূল ধারণাটি হল একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল গণনা করা, অর্থাৎ প্রমাণ করা যে এর ক্ষেত্রফল দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থের গুণফলের সমান। যখন জ্যামিতির কথা আসে, সমস্ত নির্মাণ একটি শাসক এবং একটি কম্পাস ব্যবহার করে তৈরি করা হয়, এবং তারপর দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থের অনুপাত একটি যুক্তিসঙ্গত মান। একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল গণনা করার সময়, আপনি নির্ধারণ করতে পারেন যে আপনি যদি একই ত্রিভুজের পাশে রাখেন তবে একটি আয়তক্ষেত্র তৈরি হয়। একটি সমান্তরালগ্রামে, একটি আয়তক্ষেত্র এবং একটি ত্রিভুজের মাধ্যমে ক্ষেত্রফল একটি অনুরূপ, কিন্তু কিছুটা জটিল পদ্ধতিতে গণনা করা হয়। বহুভুজগুলিতে, এতে অন্তর্ভুক্ত ত্রিভুজগুলির মাধ্যমে ক্ষেত্রফল গণনা করা হয়৷

যখন একটি নির্বিচারে বক্ররেখার স্পেয়ারিং নির্ধারণ করা হয়, এই পদ্ধতিটি কাজ করবে না। যদি আপনি এটিকে একক স্কোয়ারে ভেঙে দেন, তাহলে সেখানে অপূর্ণ জায়গা থাকবে। এই ক্ষেত্রে, কেউ উপরে এবং নীচে আয়তক্ষেত্র সহ দুটি কভার ব্যবহার করার চেষ্টা করে, ফলস্বরূপ, সেগুলি ফাংশনের গ্রাফ অন্তর্ভুক্ত করে এবং না। এই আয়তক্ষেত্রে বিভাজনের পদ্ধতি এখানে গুরুত্বপূর্ণ। এছাড়াও, যদি আমরা ক্রমবর্ধমান ছোট পার্টিশন নিই, তাহলে উপরের এবং নীচের এলাকা একটি নির্দিষ্ট মানতে একত্রিত হওয়া উচিত।

এটি আয়তক্ষেত্রে বিভাজনের পদ্ধতিতে ফিরে যাওয়া উচিত। দুটি জনপ্রিয় পদ্ধতি আছে।

রিম্যান একটি সাবগ্রাফের ক্ষেত্র হিসাবে লাইবনিজ এবং নিউটন দ্বারা তৈরি অখণ্ডের সংজ্ঞাকে আনুষ্ঠানিক করেছেন। এই ক্ষেত্রে, পরিসংখ্যান বিবেচনা করা হয়েছিল, একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক উল্লম্ব আয়তক্ষেত্র সমন্বিত এবং ভাগ করে প্রাপ্তসেগমেন্ট যখন, বিভাজন হ্রাসের সাথে সাথে, একটি সীমা থাকে যেখানে একটি অনুরূপ চিত্রের ক্ষেত্রফল হ্রাস পায়, এই সীমাটিকে একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে একটি ফাংশনের রিম্যান ইন্টিগ্রাল বলা হয়।

দ্বিতীয় পদ্ধতিটি হল লেবেসগুয়ে ইন্টিগ্রালের নির্মাণ, যা এই বিষয়গুলি নিয়ে গঠিত যে সংজ্ঞায়িত এলাকাটিকে ইন্টিগ্র্যান্ডের অংশগুলিতে ভাগ করার জন্য এবং তারপর এই অংশগুলিতে প্রাপ্ত মানগুলি থেকে অখণ্ড যোগফল সংকলন করা।, এর মানগুলির পরিসরকে ব্যবধানে বিভক্ত করা হয়, এবং তারপরে এই পূর্ণাঙ্গগুলির প্রিমেজগুলির সংশ্লিষ্ট পরিমাপের সাথে সংক্ষিপ্ত করা হয়৷

আধুনিক সুবিধা

ডিফারেনশিয়াল এবং ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস অধ্যয়নের জন্য একটি প্রধান ম্যানুয়াল ফিকটেনগোল্টস লিখেছিলেন - "ডিফারেন্সিয়াল এবং ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাসের কোর্স"। তাঁর পাঠ্যপুস্তকটি গাণিতিক বিশ্লেষণের অধ্যয়নের জন্য একটি মৌলিক নির্দেশিকা, যা অন্যান্য ভাষায় অনেক সংস্করণ এবং অনুবাদের মধ্য দিয়ে গেছে। বিশ্ববিদ্যালয়ের ছাত্রদের জন্য তৈরি করা হয়েছে এবং অনেক শিক্ষা প্রতিষ্ঠানে প্রধান অধ্যয়নের সহায়ক হিসাবে দীর্ঘদিন ব্যবহার করা হয়েছে। তাত্ত্বিক তথ্য এবং ব্যবহারিক দক্ষতা দেয়। 1948 সালে প্রথম প্রকাশিত হয়।

ফাংশন গবেষণা অ্যালগরিদম

ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি ফাংশন তদন্ত করতে, আপনাকে ইতিমধ্যে দেওয়া অ্যালগরিদম অনুসরণ করতে হবে:

1. একটি ফাংশনের সুযোগ খুঁজুন।
2. প্রদত্ত সমীকরণের মূল খুঁজুন।
3. চরম গণনা করুন। এটি করার জন্য, ডেরিভেটিভ এবং পয়েন্টগুলি গণনা করুন যেখানে এটি শূন্যের সমান।
4. সমীকরণে ফলের মান প্রতিস্থাপন করুন।

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের বিভিন্নতা

প্রথম-ক্রম নিয়ন্ত্রণ (অন্যথায়, ডিফারেনশিয়ালএকক পরিবর্তনশীল ক্যালকুলাস) এবং তাদের প্রকার:

• পৃথকযোগ্য সমীকরণ: f(y)dy=g(x)dx.
• সরলতম সমীকরণ, বা একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস, যার সূত্র রয়েছে: y'=f(x)।
• লিনিয়ার একজাতীয় প্রথম-ক্রম DE: y'+P(x)y=Q(x)।
• বার্নোলি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ: y'+P(x)y=Q(x)ya.
• মোট পার্থক্য সহ সমীকরণ: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.

সেকেন্ড অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ এবং তাদের প্রকার:

• ধ্রুবক সহগ মান সহ রৈখিক দ্বিতীয় ক্রম সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ: y +py'+qy=0 p, q R. এর অন্তর্গত
• ধ্রুবক সহগ সহ রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ দ্বিতীয়-ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ: y +py'+qy=f(x)।
• রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ: y +p(x)y'+q(x)y=0, এবং অসঙ্গতিপূর্ণ দ্বিতীয় ক্রম সমীকরণ: y+p(x)y'+q(x)y=f(x)।

হায়ার অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ এবং তাদের প্রকার:

• ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যা ক্রমানুসারে কমানো যেতে পারে: F(x, y^(k), y^(k+1),.., y^(n)=0.
• রৈখিক উচ্চ ক্রম সমজাতীয় সমীকরণ: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^{(n- 1)}+…+f₁y'+f₀y=0, এবং একজাতীয়: y⁽ⁿ⁾+f(n-1)_y(n-1)^+…+f1 y'+f₀y=f(x).

একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাথে একটি সমস্যা সমাধানের পদক্ষেপ

রিমোট কন্ট্রোলের সাহায্যে, শুধুমাত্র গাণিতিক বা শারীরিক প্রশ্নই সমাধান করা হয় না, এছাড়াও বিভিন্ন সমস্যার সমাধান করা হয়।জীববিজ্ঞান, অর্থনীতি, সমাজবিজ্ঞান, ইত্যাদি বিষয়ের বিস্তৃত বৈচিত্র্য থাকা সত্ত্বেও, এই ধরনের সমস্যাগুলি সমাধান করার সময় একটি একক যৌক্তিক ক্রম মেনে চলা উচিত:

1. রিমোট কন্ট্রোলের সংকলন। সবচেয়ে কঠিন পদক্ষেপগুলির মধ্যে একটি যার জন্য সর্বাধিক নির্ভুলতা প্রয়োজন, যেহেতু কোনও ভুল সম্পূর্ণ ভুল ফলাফলের দিকে নিয়ে যাবে। প্রক্রিয়াটিকে প্রভাবিত করে এমন সমস্ত কারণ বিবেচনায় নেওয়া উচিত এবং প্রাথমিক শর্তগুলি নির্ধারণ করা উচিত। এটি সত্য এবং যৌক্তিক সিদ্ধান্তের উপর ভিত্তি করে হওয়া উচিত।
2. প্রণয়নকৃত সমীকরণের সমাধান। এই প্রক্রিয়াটি প্রথম ধাপের চেয়ে সহজ, কারণ এটির জন্য শুধুমাত্র কঠোর গাণিতিক গণনার প্রয়োজন।
3. ফলাফলের বিশ্লেষণ এবং মূল্যায়ন। ফলাফলের ব্যবহারিক এবং তাত্ত্বিক মান প্রতিষ্ঠার জন্য প্রাপ্ত সমাধানটি মূল্যায়ন করা উচিত।

মেডিসিনে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ব্যবহারের একটি উদাহরণ

একটি মহামারী সংক্রান্ত গাণিতিক মডেল তৈরি করার সময় ওষুধের ক্ষেত্রে রিমোট কন্ট্রোলের ব্যবহার ঘটে। একই সময়ে, একজনকে ভুলে যাওয়া উচিত নয় যে এই সমীকরণগুলি জীববিজ্ঞান এবং রসায়নেও পাওয়া যায়, যা ওষুধের কাছাকাছি, কারণ মানবদেহে বিভিন্ন জৈবিক জনসংখ্যা এবং রাসায়নিক প্রক্রিয়াগুলির অধ্যয়ন এতে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।

একটি মহামারীর উপরের উদাহরণে, আমরা একটি বিচ্ছিন্ন সমাজে সংক্রমণের বিস্তার বিবেচনা করতে পারি। অধিবাসীরা তিন প্রকারে বিভক্ত:

• সংক্রমিত, সংখ্যা x(t), ব্যক্তিদের সমন্বয়ে গঠিত, সংক্রমণের বাহক, যার প্রত্যেকটি সংক্রামক (ইনকিউবেশন পিরিয়ড ছোট)।
• দ্বিতীয় প্রকার অন্তর্ভুক্তসংবেদনশীল ব্যক্তিরা y(t) সংক্রামিত ব্যক্তির সংস্পর্শের মাধ্যমে সংক্রমিত হতে সক্ষম।
• তৃতীয় প্রজাতির মধ্যে রয়েছে অনাক্রম্য ব্যক্তি z(t) যারা অনাক্রম্য বা রোগের কারণে মারা গেছে।

ব্যক্তির সংখ্যা ধ্রুবক, জন্ম, স্বাভাবিক মৃত্যু এবং অভিবাসনের হিসাব বিবেচনা করা হয় না। মূল অংশে দুটি অনুমান থাকবে৷

একটি নির্দিষ্ট সময় বিন্দুতে ঘটনার শতাংশ হল x(t)y(t) (এই তত্ত্বের উপর ভিত্তি করে যে মামলার সংখ্যা অসুস্থ এবং সংবেদনশীল প্রতিনিধিদের মধ্যে ছেদগুলির সংখ্যার সমানুপাতিক, যা প্রথমে আনুমানিকতা হবে x(t)y(t) এর সাথে সমানুপাতিক, এর সাথে সম্পর্কিত, মামলার সংখ্যা বৃদ্ধি পায়, এবং সংবেদনশীল সংখ্যা একটি হারে হ্রাস পায় যা সূত্র ax(t)y(t) দ্বারা গণনা করা হয় (একটি > 0)।

অনাক্রম্য ব্যক্তিদের সংখ্যা যারা অনাক্রম্য হয়ে গেছে বা মারা গেছে এমন হারে বাড়ছে যা মামলার সংখ্যার সমানুপাতিক, bx(t) (b > 0)।

ফলস্বরূপ, আপনি তিনটি সূচককে বিবেচনায় নিয়ে সমীকরণের একটি সিস্টেম তৈরি করতে পারেন এবং এর উপর ভিত্তি করে সিদ্ধান্ত নিতে পারেন।

অর্থনীতির উদাহরণ

অর্থনৈতিক বিশ্লেষণে প্রায়ই ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস ব্যবহার করা হয়। অর্থনৈতিক বিশ্লেষণের প্রধান কাজ হল অর্থনীতি থেকে পরিমাণের অধ্যয়ন, যা একটি ফাংশন আকারে লেখা হয়। ট্যাক্স বৃদ্ধির পরপরই আয়ের পরিবর্তন, শুল্ক প্রবর্তন, উৎপাদন খরচ পরিবর্তিত হলে কোম্পানির রাজস্বের পরিবর্তন, অবসরপ্রাপ্ত কর্মীদের কোন অনুপাতে নতুন সরঞ্জাম দিয়ে প্রতিস্থাপিত করা যেতে পারে ইত্যাদি সমস্যার সমাধান করার সময় এটি ব্যবহার করা হয়। এই ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য, এটি প্রয়োজনীয়ইনপুট ভেরিয়েবল থেকে একটি সংযোগ ফাংশন তৈরি করুন, যা ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস ব্যবহার করে অধ্যয়ন করা হয়।

অর্থনৈতিক ক্ষেত্রে, প্রায়শই সবচেয়ে অনুকূল সূচকগুলি খুঁজে বের করা প্রয়োজন: সর্বাধিক শ্রম উত্পাদনশীলতা, সর্বোচ্চ আয়, সর্বনিম্ন খরচ ইত্যাদি। এই ধরনের প্রতিটি নির্দেশক এক বা একাধিক আর্গুমেন্টের একটি ফাংশন। উদাহরণস্বরূপ, উত্পাদনকে শ্রম এবং মূলধন ইনপুটের একটি ফাংশন হিসাবে দেখা যেতে পারে। এই বিষয়ে, একটি উপযুক্ত মান খোঁজা এক বা একাধিক ভেরিয়েবল থেকে একটি ফাংশনের সর্বাধিক বা সর্বনিম্ন খোঁজার জন্য হ্রাস করা যেতে পারে।

এই ধরনের সমস্যা অর্থনৈতিক ক্ষেত্রে এক শ্রেণীর চরম সমস্যার সৃষ্টি করে, যার সমাধানের জন্য প্রয়োজন ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস। যখন একটি অর্থনৈতিক সূচককে অন্য সূচকের ফাংশন হিসাবে ন্যূনতম বা সর্বাধিক করার প্রয়োজন হয়, তখন সর্বোচ্চের বিন্দুতে, আর্গুমেন্টের বৃদ্ধির অনুপাত শূন্য হয়ে যাবে যদি আর্গুমেন্টের বৃদ্ধি শূন্য হয়। অন্যথায়, যখন এই ধরনের অনুপাত কিছু ধনাত্মক বা ঋণাত্মক মানের দিকে থাকে, তখন নির্দিষ্ট বিন্দুটি উপযুক্ত নয়, কারণ যুক্তি বাড়িয়ে বা হ্রাস করে, আপনি নির্ভরশীল মানটিকে প্রয়োজনীয় দিকে পরিবর্তন করতে পারেন। ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের পরিভাষায়, এর অর্থ হবে একটি ফাংশনের সর্বোচ্চ জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত হল এর ডেরিভেটিভের শূন্য মান।

অর্থনীতিতে, অনেকগুলি ভেরিয়েবল সহ একটি ফাংশনের প্রান্ত খুঁজে পেতে প্রায়ই সমস্যা হয়, কারণ অর্থনৈতিক সূচকগুলি অনেকগুলি কারণের সমন্বয়ে গঠিত। এই ধরনের প্রশ্ন ভাল.ডিফারেনশিয়াল গণনার পদ্ধতি প্রয়োগ করে বিভিন্ন ভেরিয়েবলের ফাংশনের তত্ত্বে অধ্যয়ন করা হয়েছে। এই ধরনের সমস্যাগুলির মধ্যে শুধুমাত্র সর্বাধিক এবং ন্যূনতম ফাংশনই নয়, সীমাবদ্ধতাও অন্তর্ভুক্ত। এই জাতীয় প্রশ্নগুলি গাণিতিক প্রোগ্রামিংয়ের সাথে সম্পর্কিত, এবং সেগুলি বিশেষভাবে উন্নত পদ্ধতির সাহায্যে সমাধান করা হয়, এছাড়াও বিজ্ঞানের এই শাখার উপর ভিত্তি করে।

অর্থনীতিতে ব্যবহৃত ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের পদ্ধতিগুলির মধ্যে একটি গুরুত্বপূর্ণ বিভাগ হল প্রান্তিক বিশ্লেষণ। অর্থনৈতিক ক্ষেত্রে, এই শব্দটি পরিবর্তনশীল সূচক এবং ফলাফলগুলি অধ্যয়নের জন্য পদ্ধতির একটি সেট বোঝায় যখন তাদের প্রান্তিক সূচকগুলির বিশ্লেষণের উপর ভিত্তি করে সৃষ্টি, ভোগের পরিমাণ পরিবর্তন করা হয়। সীমিত সূচক হল ডেরিভেটিভ বা আংশিক ডেরিভেটিভস যার বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবল রয়েছে।

গাণিতিক বিশ্লেষণের ক্ষেত্রে বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলের ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়। একটি বিশদ অধ্যয়নের জন্য, আপনি উচ্চ শিক্ষার জন্য বিভিন্ন পাঠ্যপুস্তক ব্যবহার করতে পারেন। সবচেয়ে বিখ্যাত একটি Fikhtengolts দ্বারা তৈরি করা হয়েছিল - "ডিফারেন্সিয়াল এবং ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস কোর্স"। নাম থেকে বোঝা যায়, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধানের জন্য অখণ্ডের সাথে কাজ করার দক্ষতা যথেষ্ট গুরুত্বপূর্ণ। যখন একটি চলকের একটি ফাংশনের ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস ঘটে, তখন সমাধানটি সহজ হয়ে যায়। যদিও, এটি লক্ষ করা উচিত, এটি একই মৌলিক নিয়মের সাপেক্ষে। ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস দ্বারা অনুশীলনে একটি ফাংশন অধ্যয়ন করার জন্য, ইতিমধ্যে বিদ্যমান অ্যালগরিদম অনুসরণ করা যথেষ্ট, যা হাইস্কুলে দেওয়া হয় এবং নতুনগুলি চালু করা হলে এটি কিছুটা জটিল।ভেরিয়েবল।