একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করার সময়, একটি সীমাবদ্ধতা সেট করা হয়েছিল - শূন্যের চেয়ে কম বৈষম্যকারীর জন্য, কোনও সমাধান নেই। এটি অবিলম্বে নির্ধারিত হয়েছিল যে আমরা বাস্তব সংখ্যার একটি সেট সম্পর্কে কথা বলছি। একজন গণিতজ্ঞের অনুসন্ধিৎসু মন আগ্রহী হবে - বাস্তব মান সম্পর্কে অনুচ্ছেদে রহস্যটি কী রয়েছে?
সময়ের সাথে সাথে, গণিতবিদরা জটিল সংখ্যার ধারণা প্রবর্তন করেন, যেখানে বিয়োগের দ্বিতীয় মূলের শর্তসাপেক্ষ মানকে একক হিসাবে নেওয়া হয়।
ঐতিহাসিক পটভূমি
গাণিতিক তত্ত্ব ক্রমানুসারে বিকশিত হয়, সহজ থেকে জটিল পর্যন্ত। আসুন "জটিল সংখ্যা" নামক ধারণাটি কীভাবে উদ্ভূত হয়েছিল এবং কেন এটি প্রয়োজন তা খুঁজে বের করা যাক৷
অনাদিকাল থেকে, গণিতের ভিত্তি ছিল সাধারণ খাতা। গবেষকরা কেবলমাত্র প্রাকৃতিক মূল্যবোধ জানতেন। যোগ এবং বিয়োগ সহজ ছিল. অর্থনৈতিক সম্পর্ক আরও জটিল হওয়ার সাথে সাথে একই মান যোগ করার পরিবর্তে গুণ ব্যবহার করা শুরু হয়। একটি বিপরীত অপারেশন আছেগুণ - ভাগ।
একটি প্রাকৃতিক সংখ্যার ধারণা পাটিগণিত ক্রিয়াকলাপের ব্যবহার সীমিত করে। পূর্ণসংখ্যা মানের সেটে সমস্ত বিভাগ সমস্যা সমাধান করা অসম্ভব। ভগ্নাংশের সাথে কাজ করার ফলে প্রথমে যৌক্তিক মূল্যবোধের ধারণা এবং তারপর অযৌক্তিক মূল্যবোধের দিকে পরিচালিত হয়। যৌক্তিক জন্য যদি লাইনের বিন্দুর সঠিক অবস্থান নির্দেশ করা সম্ভব হয়, তাহলে অযৌক্তিক জন্য এই ধরনের একটি বিন্দু নির্দেশ করা অসম্ভব। আপনি শুধুমাত্র ব্যবধান আনুমানিক করতে পারেন. মূলদ এবং অমূলদ সংখ্যার মিলন একটি বাস্তব সেট তৈরি করে, যা একটি নির্দিষ্ট স্কেল সহ একটি নির্দিষ্ট রেখা হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। লাইন বরাবর প্রতিটি ধাপ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, এবং তাদের মধ্যে মূলদ এবং অমূলদ মান আছে।
তাত্ত্বিক গণিতের যুগ শুরু হয়েছে। জ্যোতির্বিদ্যা, বলবিদ্যা, পদার্থবিদ্যার বিকাশের জন্য আরও জটিল সমীকরণের সমাধান প্রয়োজন। সাধারণভাবে, দ্বিঘাত সমীকরণের মূল পাওয়া গেছে। একটি আরও জটিল ঘনক বহুপদী সমাধান করার সময়, বিজ্ঞানীরা একটি দ্বন্দ্বের মধ্যে পড়েছিলেন। একটি ঋণাত্মক থেকে একটি ঘনমূল ধারণাটি বোধগম্য, কিন্তু একটি বর্গমূলের জন্য, অনিশ্চয়তা প্রাপ্ত হয়। অধিকন্তু, দ্বিঘাত সমীকরণটি কেবলমাত্র ঘনকের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে।
1545 সালে, ইতালীয় জে. কার্ডানো একটি কাল্পনিক সংখ্যার ধারণা চালু করার প্রস্তাব করেছিলেন।
এই সংখ্যাটি মাইনাস ওয়ানের দ্বিতীয় মূল। জটিল সংখ্যা শব্দটি অবশেষে গঠিত হয়েছিল মাত্র তিনশ বছর পরে, বিখ্যাত গণিতবিদ গাউসের রচনায়। তিনি আনুষ্ঠানিকভাবে বীজগণিতের সমস্ত নিয়ম কাল্পনিক সংখ্যায় প্রসারিত করার প্রস্তাব করেছিলেন। বাস্তব লাইন পর্যন্ত প্রসারিত করা হয়েছেপ্লেন পৃথিবী আরও বড়।
মৌলিক ধারণা
রিয়েল সেটে সীমাবদ্ধতা রয়েছে এমন বেশ কয়েকটি ফাংশন স্মরণ করুন:
- y=arcsin(x), ঋণাত্মক এবং ধনাত্মক 1 এর মধ্যে সংজ্ঞায়িত।
- y=ln(x), দশমিক লগারিদম ইতিবাচক আর্গুমেন্টের সাথে বোঝা যায়।
- square root y=√x, শুধুমাত্র x ≧ 0 এর জন্য গণনা করা হয়েছে।
ডিনোটিং i=√(-1), আমরা একটি কাল্পনিক সংখ্যা হিসাবে এমন একটি ধারণা প্রবর্তন করি, এটি উপরের ফাংশনগুলির সংজ্ঞার ডোমেন থেকে সমস্ত সীমাবদ্ধতা সরিয়ে দেবে। y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5) এর মতো অভিব্যক্তিগুলি জটিল সংখ্যার কিছু স্থানে অর্থপূর্ণ।
বীজগাণিতিক ফর্মটি বাস্তব x এবং y মানের সেটে z=x + i×y রাশি হিসাবে লেখা যেতে পারে এবং i2 =-1.
নতুন ধারণাটি যেকোন বীজগাণিতিক ফাংশনের ব্যবহারের উপর সমস্ত বিধিনিষেধ সরিয়ে দেয় এবং বাস্তব এবং কাল্পনিক মানের স্থানাঙ্কে একটি সরল রেখার গ্রাফের অনুরূপ।
জটিল সমতল
জটিল সংখ্যার জ্যামিতিক ফর্ম দৃশ্যত আমাদের তাদের অনেক বৈশিষ্ট্য উপস্থাপন করতে দেয়। Re(z) অক্ষে আমরা বাস্তব x মানগুলি চিহ্নিত করি, Im(z) - y এর কাল্পনিক মান, তারপর সমতলে z বিন্দু প্রয়োজনীয় জটিল মান প্রদর্শন করবে।
সংজ্ঞা:
- Re(z) - বাস্তব অক্ষ।
- Im(z) - মানে কাল্পনিক অক্ষ৷
- z - একটি জটিল সংখ্যার শর্তসাপেক্ষ বিন্দু।
- শূন্য থেকে z পর্যন্ত ভেক্টরের দৈর্ঘ্যের সংখ্যাসূচক মান বলা হয়মডিউল।
- বাস্তব এবং কাল্পনিক অক্ষ সমতলকে কোয়ার্টারে ভাগ করে। স্থানাঙ্কের একটি ইতিবাচক মান সহ - I চতুর্থাংশ। যখন বাস্তব অক্ষের আর্গুমেন্ট 0-এর কম হয় এবং কাল্পনিক অক্ষ 0 - II ত্রৈমাসিকের চেয়ে বড় হয়। যখন স্থানাঙ্ক ঋণাত্মক হয় - III চতুর্থাংশ। শেষ, চতুর্থ ত্রৈমাসিকে অনেক ইতিবাচক বাস্তব মান এবং নেতিবাচক কাল্পনিক মান রয়েছে।
এইভাবে, x এবং y সমন্বয় মান সহ একটি সমতলে, কেউ সর্বদা একটি জটিল সংখ্যার একটি বিন্দু কল্পনা করতে পারে। আমি চরিত্রটিকে কাল্পনিক থেকে বাস্তব অংশকে আলাদা করার জন্য পরিচয় করিয়ে দেওয়া হয়েছে।
বৈশিষ্ট্য
- যখন কাল্পনিক আর্গুমেন্টের মান শূন্য হয়, তখন আমরা একটি সংখ্যা পাই (z=x), যেটি বাস্তব অক্ষের উপর অবস্থিত এবং বাস্তব সেটের অন্তর্গত।
- বিশেষ ক্ষেত্রে যখন বাস্তব আর্গুমেন্টের মান শূন্য হয়ে যায়, তখন z=i×y রাশিটি কাল্পনিক অক্ষের বিন্দুর অবস্থানের সাথে মিলে যায়।
- z=x + i×y এর সাধারণ রূপটি আর্গুমেন্টের শূন্য নয় এমন মানের জন্য হবে। একটি ত্রৈমাসিকের মধ্যে জটিল সংখ্যা চিহ্নিত করে বিন্দুর অবস্থান নির্দেশ করে৷
ত্রিকোণমিতিক স্বরলিপি
মেরু স্থানাঙ্ক সিস্টেম এবং ত্রিকোণমিতিক ফাংশন sin এবং cos এর সংজ্ঞা স্মরণ করুন। এটা স্পষ্ট যে এই ফাংশনগুলির সাহায্যে সমতলে যে কোনও বিন্দুর অবস্থান বর্ণনা করা সম্ভব। এটি করার জন্য, মেরু রশ্মির দৈর্ঘ্য এবং বাস্তব অক্ষের দিকে ঝোঁকের কোণ জানা যথেষ্ট।
সংজ্ঞা। ত্রিকোণমিতিক ফাংশন cos(ϴ) এবং কল্পিত অংশ i ×sin(ϴ) এর যোগফল দ্বারা গুণিত ∣z ∣ ফর্মের একটি এন্ট্রিকে একটি ত্রিকোণমিতিক জটিল সংখ্যা বলা হয়। এখানে উপাধি হল আসল অক্ষের দিকে ঝোঁকের কোণ
ϴ=arg(z) এবং r=∣z∣, বিমের দৈর্ঘ্য।
ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সংজ্ঞা এবং বৈশিষ্ট্য থেকে, একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ Moivre সূত্র অনুসরণ করে:
zn =r × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ))।
এই সূত্রটি ব্যবহার করে, ত্রিকোণমিতিক ফাংশন সমন্বিত সমীকরণের অনেক সিস্টেম সমাধান করা সুবিধাজনক। বিশেষ করে যখন শক্তি বৃদ্ধির সমস্যা দেখা দেয়।
মডিউল এবং ফেজ
একটি জটিল সেটের বর্ণনা সম্পূর্ণ করতে, আমরা দুটি গুরুত্বপূর্ণ সংজ্ঞা প্রস্তাব করি।
পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি জেনে, মেরু স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় রশ্মির দৈর্ঘ্য গণনা করা সহজ।
r=∣z∣=√(x2 + y2), একটি জটিল স্থানের এই ধরনের স্বরলিপিকে বলা হয় " মডিউল" এবং সমতলের 0 থেকে একটি বিন্দু পর্যন্ত দূরত্ব চিহ্নিত করে৷
বাস্তব রেখার প্রতি জটিল রশ্মির ঝোঁকের কোণ ϴকে সাধারণত ফেজ বলা হয়।
সংজ্ঞাটি দেখায় যে বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশগুলি চক্রীয় ফাংশন ব্যবহার করে বর্ণনা করা হয়েছে। যথা:
- x=r × cos(ϴ);
- y=r × sin(ϴ);
বিপরীতভাবে, পর্যায়টি সূত্রের মাধ্যমে বীজগণিতীয় মানের সাথে সম্পর্কিত:
ϴ=arctan(x / y) + µ, জ্যামিতিক ফাংশনগুলির পর্যায়ক্রমিকতা বিবেচনায় নেওয়ার জন্য সংশোধন µ চালু করা হয়েছে।
অয়লার সূত্র
গণিতবিদরা প্রায়ই সূচকীয় ফর্ম ব্যবহার করেন। জটিল সমতল নম্বরগুলি এক্সপ্রেশন হিসাবে লেখা হয়
z=r × ei×ϴ , যা অয়লার সূত্র থেকে অনুসরণ করে।
এই রেকর্ডটি ভৌত পরিমাণের ব্যবহারিক গণনার জন্য ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। আকারে উপস্থাপনের ধরনসূচকীয় জটিল সংখ্যাগুলি ইঞ্জিনিয়ারিং গণনার জন্য বিশেষত সুবিধাজনক, যেখানে সাইনোসয়েডাল স্রোতগুলির সাথে সার্কিটগুলি গণনা করা প্রয়োজন এবং একটি নির্দিষ্ট সময়ের সাথে ফাংশনের অখণ্ডের মান জানা প্রয়োজন৷ গণনা নিজেই বিভিন্ন মেশিন এবং মেকানিজমের ডিজাইনে একটি হাতিয়ার হিসেবে কাজ করে।
অপারেশন সংজ্ঞায়িত করুন
ইতিমধ্যে উল্লিখিত হিসাবে, মৌলিক গাণিতিক ফাংশনগুলির সাথে কাজ করার সমস্ত বীজগাণিতিক নিয়ম জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।
সাম অপারেশন
জটিল মান যোগ করার সময়, তাদের বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশগুলিও যোগ করা হয়।
z=z1 + z2 যেখানে z1 এবং z 2 - সাধারণ জটিল সংখ্যা। অভিব্যক্তিটি রূপান্তরিত করে, বন্ধনীগুলি খোলার পরে এবং স্বরলিপি সরল করার পরে, আমরা পাই আসল যুক্তি x=(x1 + x2), কাল্পনিক যুক্তি y=(y1 + y2).
গ্রাফে, এটি সুপরিচিত সমান্তরাল বৃত্তের নিয়ম অনুসারে দুটি ভেক্টরের যোগের মতো দেখায়৷
বিয়োগ অপারেশন
যোগের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে বিবেচনা করা হয়, যখন একটি সংখ্যা ধনাত্মক হয়, অন্যটি ঋণাত্মক হয়, অর্থাৎ আয়না কোয়ার্টারে অবস্থিত। বীজগণিতের স্বরলিপি বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশের মধ্যে পার্থক্যের মত দেখায়।
z=z1 - z2, বা, যুক্তির মান বিবেচনায় নিয়ে, একইভাবে যোগ করা অপারেশন, আমরা বাস্তব মানের জন্য পাই x=(x1 - x2) এবং কাল্পনিক y=(y1- y2)।
জটিল সমতলে গুণন
বহুপদগুলির সাথে কাজ করার নিয়মগুলি ব্যবহার করে, আমরা সূত্রটি বের করিজটিল সংখ্যা সমাধান করতে।
সাধারণ বীজগাণিতিক নিয়ম অনুসরণ করে z=z1×z2, প্রতিটি যুক্তি বর্ণনা করুন এবং অনুরূপদের তালিকা করুন। বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশ এভাবে লেখা যেতে পারে:
- x=x1 × x2 - y1 × y 2,
- y=x1 × y2 + x2 × y 1.
যদি আমরা সূচকীয় জটিল সংখ্যা ব্যবহার করি তাহলে এটি আরও সুন্দর দেখায়।
অভিব্যক্তিটি এই রকম দেখাচ্ছে: z=z1 × z2 =r1 × eiϴ1 × r2 × eiϴ2=r1 × আর2 × ei(ϴ1+ϴ2).
আরও সহজভাবে, মডিউলগুলিকে গুণ করা হয় এবং পর্যায়গুলি যোগ করা হয়৷
বিভাগ
ভাগের ক্রিয়াকে গুণের বিপরীত হিসাবে বিবেচনা করার সময়, আমরা সূচকীয় স্বরলিপিতে একটি সাধারণ অভিব্যক্তি পাই। মান z1 z2 দিয়ে ভাগ করা হল তাদের মডিউল এবং ফেজ পার্থক্য ভাগ করার ফলাফল। আনুষ্ঠানিকভাবে, জটিল সংখ্যার সূচকীয় রূপ ব্যবহার করার সময়, এটি এইরকম দেখায়:
z=z1 / z2 =r1 × e iϴ1 / r2 × ei ϴ2=r1 / r2ইয়ার 2).
বীজগণিতীয় স্বরলিপি আকারে, জটিল সমতলের সংখ্যাগুলিকে ভাগ করার কাজটি একটু বেশি জটিল লেখা হয়:
z=z1 / z2.
আর্গুমেন্ট বর্ণনা করা এবং বহুপদী রূপান্তর সম্পাদন করা, মান পাওয়া সহজx=x1 × x2 + y1 × y2, যথাক্রমে y=x2 × y1 - x1 × y2 , তবে, বর্ণিত স্থানের মধ্যে, এই অভিব্যক্তিটি বোঝা যায় যদি z2 ≠ 0.
মূল বের করুন
আরও জটিল বীজগাণিতিক ফাংশন সংজ্ঞায়িত করার সময় উপরের সমস্তগুলি প্রয়োগ করা যেতে পারে - যে কোনও শক্তি বৃদ্ধি করে এবং এর বিপরীতে - মূল বের করে।
এন পাওয়ার এন-এ উত্থাপনের সাধারণ ধারণা ব্যবহার করে, আমরা সংজ্ঞা পাই:
zn =(r × eiϴϴ) ।
সাধারণ বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, এইভাবে পুনরায় লিখুন:
zn =rn × eiϴ.
আমরা একটি জটিল সংখ্যাকে শক্তিতে বাড়ানোর জন্য একটি সহজ সূত্র পেয়েছি।
ডিগ্রীর সংজ্ঞা থেকে আমরা একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ পরিণতি পাই। কাল্পনিক এককের জোড় শক্তি সর্বদা 1 হয়। কাল্পনিক এককের যেকোনো বিজোড় শক্তি সর্বদা -1 হয়।
এবার ইনভার্স ফাংশন অধ্যয়ন করা যাক - রুট বের করা হচ্ছে।
স্বরলিপির স্বাচ্ছন্দ্যের জন্য, আসুন n=2 নেওয়া যাক। জটিল সমতলে C-তে জটিল মানের z-এর বর্গমূল w কে z=± রাশি বলে মনে করা হয়, এর চেয়ে বড় বা সমান যেকোনো বাস্তব যুক্তির জন্য বৈধ শূন্য w ≦ 0 এর জন্য, কোন সমাধান নেই।
আসুন সহজতম দ্বিঘাত সমীকরণটি দেখি z2 =1. জটিল সংখ্যা সূত্র ব্যবহার করে, r2 × ei2ϴ =r2 × ei2ϴ =ei0 । রেকর্ড থেকে দেখা যায় যে r2 =1 এবং ϴ=0, তাই, আমাদের কাছে 1 এর সমান একটি অনন্য সমাধান রয়েছে।কিন্তু এটি এই ধারণার বিরোধিতা করে যে z=-1ও বর্গমূলের সংজ্ঞার সাথে খাপ খায়।
আসুন আমরা কী বিবেচনা করি না তা খুঁজে বের করা যাক। যদি আমরা ত্রিকোণমিতিক স্বরলিপিটি স্মরণ করি, তবে আমরা বিবৃতিটি পুনরুদ্ধার করি - পর্যায়ক্রমিক পরিবর্তনের সাথে ϴ, জটিল সংখ্যাটি পরিবর্তিত হয় না। পি পিরিয়ডের মান নির্দেশ করা যাক, তাহলে আমাদের আছে r2 × ei2ϴ =ei(0+p), যেখান থেকে 2ϴ=0 + p, বা ϴ=p / 2. অতএব, ei0 =1 এবং eip/2 =-1. আমরা দ্বিতীয় সমাধান পেয়েছি, যা বর্গমূলের সাধারণ বোঝার সাথে মিলে যায়।
সুতরাং, একটি জটিল সংখ্যার নির্বিচারে মূল খুঁজে পেতে, আমরা পদ্ধতিটি অনুসরণ করব।
- সূচকীয় ফর্মটি লিখুন (w) + pk), k হল একটি নির্বিচারে পূর্ণসংখ্যা৷
- কাঙ্খিত সংখ্যাটি অয়লার আকারে z=r × eiϴ.
- মূল নিষ্কাশন ফাংশনের সাধারণ সংজ্ঞা ব্যবহার করুন r ei ϴ =∣w∣ × ei(আর্গ( w) + pk) ।
- মডিউল এবং আর্গুমেন্টের সমতার সাধারণ বৈশিষ্ট্য থেকে, আমরা লিখি rn =∣w∣ এবং nϴ=arg(w) + p×k.
- একটি জটিল সংখ্যার মূলের চূড়ান্ত রেকর্ড z=√∣w∣ × ei () দ্বারা বর্ণিত হয় আর্গ (w) + pk ) / ।
- নোট। ∣w∣ এর মান, সংজ্ঞা অনুসারে,একটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা, তাই যেকোনো ডিগ্রীর মূল অর্থ বোঝায়।
ক্ষেত্র এবং সংমিশ্রণ
উপসংহারে, আমরা দুটি গুরুত্বপূর্ণ সংজ্ঞা দিই যেগুলি জটিল সংখ্যার প্রয়োগিত সমস্যা সমাধানের জন্য সামান্যই গুরুত্বপূর্ণ, কিন্তু গাণিতিক তত্ত্বের আরও বিকাশের জন্য প্রয়োজনীয়।
সংযোজন এবং গুণের জন্য অভিব্যক্তিগুলিকে একটি ক্ষেত্র তৈরি করতে বলা হয় যদি তারা জটিল সমতল z-এর যেকোনো উপাদানের স্বতঃসিদ্ধ পূরণ করে:
- জটিল পদের স্থান পরিবর্তন থেকে জটিল যোগফল পরিবর্তিত হয় না।
- বিবৃতিটি সত্য - একটি জটিল অভিব্যক্তিতে, দুটি সংখ্যার যেকোনো যোগফল তাদের মান দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে।
- একটি নিরপেক্ষ মান 0 আছে যার জন্য z + 0=0 + z=z সত্য৷
- যেকোন z-এর বিপরীতে আছে - z, যোগ করলে শূন্য পাওয়া যায়।
- জটিল কারণের স্থান পরিবর্তন করার সময়, জটিল পণ্য পরিবর্তন হয় না।
- যেকোন দুটি সংখ্যার গুণন তাদের মান দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে।
- একটি নিরপেক্ষ মান 1 আছে, গুণ যার দ্বারা জটিল সংখ্যা পরিবর্তন হয় না।
- প্রতি z ≠ 0 এর জন্য, z-1 এর একটি বিপরীত আছে, যা 1 দ্বারা গুণিত হয়।
- দুটি সংখ্যার যোগফলকে তৃতীয় দ্বারা গুণ করা তাদের প্রতিটিকে এই সংখ্যা দ্বারা গুণ করার এবং ফলাফল যোগ করার সমতুল্য।
- 0 ≠ 1.
z1 =x + i×y এবং z2 =x - i×y সংখ্যাগুলোকে বলা হয় কনজুগেট।
উপপাদ্য। সংযোগের জন্য, বিবৃতিটি সত্য:
- সমষ্টির সংমিশ্রণটি সংযোজিত উপাদানগুলির যোগফলের সমান।
- পণ্যের সংযোজন হলসংযোজন পণ্য।
- সংখ্যার সংমিশ্রণটি সংখ্যার সমান।
সাধারণ বীজগণিতে, এই জাতীয় বৈশিষ্ট্যগুলিকে ফিল্ড অটোমরফিজম বলা হয়।
উদাহরণ
প্রদত্ত নিয়ম এবং জটিল সংখ্যার সূত্রগুলি অনুসরণ করে, আপনি সহজেই সেগুলি দিয়ে কাজ করতে পারেন।
আসুন সবচেয়ে সহজ উদাহরণ বিবেচনা করা যাক।
সমস্যা 1. 3y +5 x i=15 - 7i সমীকরণটি ব্যবহার করে x এবং y নির্ধারণ করুন।
সিদ্ধান্ত। জটিল সমতার সংজ্ঞাটি স্মরণ করুন, তারপর 3y=15, 5x=-7। অতএব, x=-7 / 5, y=5.
টাস্ক 2. মান গণনা করুন 2 + i28 এবং 1 + i135।
সিদ্ধান্ত। স্পষ্টতই, 28 হল একটি জোড় সংখ্যা, ঘাতে একটি জটিল সংখ্যার সংজ্ঞার ফলে আমাদের কাছে i28 =1 আছে, যার অর্থ 2 + i 28 =3. দ্বিতীয় মান, i135 =-1, তারপর 1 + i135 =0.
টাস্ক 3. 2 + 5i এবং 4 + 3i মানের গুণফল গণনা করুন।
সিদ্ধান্ত। জটিল সংখ্যার গুণনের সাধারণ বৈশিষ্ট্য থেকে, আমরা (2 + 5i) X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20) পাই। নতুন মান হবে -7 + 26i৷
টাস্ক 4. z3 =-i.
সমীকরণের মূল গণনা করুন
সিদ্ধান্ত। একটি জটিল সংখ্যা খুঁজে বের করার বিভিন্ন উপায় আছে। এর সম্ভাব্য একটি বিবেচনা করা যাক. সংজ্ঞা অনুসারে, ∣ - i∣=1, -i-এর জন্য পর্যায় হল -p / 4৷ মূল সমীকরণটি r3ei হিসাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে3ϴ =e-p/4+pk, যেখান থেকে z=e-p / 12 + pk/3, যেকোনো পূর্ণসংখ্যা k. এর জন্য
সলিউশন সেটটির ফর্ম রয়েছে (e-ip/12,এ p/3)।
আমাদের জটিল সংখ্যার প্রয়োজন কেন
ইতিহাস অনেক উদাহরণ জানে যখন বিজ্ঞানীরা, একটি তত্ত্ব নিয়ে কাজ করে, এমনকি তাদের ফলাফলের ব্যবহারিক প্রয়োগ সম্পর্কেও ভাবেন না। গণিত হল, প্রথমত, মনের খেলা, কারণ এবং প্রভাব সম্পর্কের কঠোর আনুগত্য। প্রায় সমস্ত গাণিতিক নির্মাণগুলি অবিচ্ছেদ্য এবং ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য হ্রাস করা হয় এবং সেগুলি, কিছু অনুমান সহ, বহুপদগুলির শিকড় খুঁজে বের করে সমাধান করা হয়। এখানে আমরা প্রথমে কাল্পনিক সংখ্যার প্যারাডক্সের সম্মুখীন হই।
বিজ্ঞানী প্রকৃতিবিদ, সম্পূর্ণ ব্যবহারিক সমস্যা সমাধান করে, বিভিন্ন সমীকরণের সমাধানের আশ্রয় নিয়ে, গাণিতিক প্যারাডক্স আবিষ্কার করেন। এই প্যারাডক্সের ব্যাখ্যা একেবারে আশ্চর্যজনক আবিষ্কারের দিকে নিয়ে যায়। ইলেক্ট্রোম্যাগনেটিক তরঙ্গের দ্বৈত প্রকৃতি যেমন একটি উদাহরণ। জটিল সংখ্যাগুলি তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি বোঝার ক্ষেত্রে একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে৷
এটি, ঘুরে, অপটিক্স, রেডিও ইলেকট্রনিক্স, শক্তি এবং অন্যান্য অনেক প্রযুক্তিগত ক্ষেত্রে ব্যবহারিক প্রয়োগ খুঁজে পেয়েছে। আরেকটি উদাহরণ, শারীরিক ঘটনা বোঝা অনেক বেশি কঠিন। একটি কলমের ডগায় অ্যান্টিম্যাটারের পূর্বাভাস দেওয়া হয়েছিল। এবং মাত্র বহু বছর পরে, এটিকে শারীরিকভাবে সংশ্লেষিত করার প্রচেষ্টা শুরু হয়৷
মনে করবেন না যে কেবলমাত্র পদার্থবিজ্ঞানেই এমন পরিস্থিতি রয়েছে। কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তার অধ্যয়নের সময়, ম্যাক্রোমোলিকুলের সংশ্লেষণে, বন্যপ্রাণীতে কম আকর্ষণীয় আবিষ্কার হয় না। এবং এটা সব ধন্যবাদআমাদের চেতনার সম্প্রসারণ, প্রাকৃতিক মূল্যবোধের সরল যোগ ও বিয়োগ থেকে দূরে সরে যাওয়া।
