এটা দাবি করা অসম্ভব যে আপনি গণিত জানেন যদি আপনি কীভাবে গ্রাফ প্লট করতে না জানেন, একটি স্থানাঙ্ক রেখায় অসমতা আঁকতে এবং স্থানাঙ্ক অক্ষের সাথে কাজ করতে না জানেন। বিজ্ঞানের ভিজ্যুয়াল উপাদান অত্যাবশ্যক, কারণ সূত্র এবং গণনার ভিজ্যুয়াল উদাহরণ ছাড়া, কখনও কখনও আপনি খুব বিভ্রান্ত হতে পারেন। এই নিবন্ধে, আমরা দেখব কিভাবে স্থানাঙ্ক অক্ষের সাথে কাজ করতে হয় এবং কীভাবে সাধারণ ফাংশন গ্রাফ তৈরি করতে হয় তা শিখব।
আবেদন
একজন শিক্ষার্থী তার শিক্ষাগত পথে যে সব সহজ ধরনের গ্রাফের মুখোমুখি হয় তার ভিত্তি হল স্থানাঙ্ক রেখা। এটি প্রায় প্রতিটি গাণিতিক বিষয়ে ব্যবহৃত হয়: সাইন এবং কোসাইনগুলির সাথে কাজ করার সময় ত্রিকোণমিতিতে, গতি এবং সময় গণনা করার সময়, বস্তুর আকার প্রজেক্ট করা এবং তাদের ক্ষেত্রফল গণনা করা হয়।
এই ধরনের একটি সরাসরি লাইনের প্রধান মান হল দৃশ্যমানতা। যেহেতু গণিত একটি বিজ্ঞান যার জন্য উচ্চ স্তরের বিমূর্ত চিন্তাভাবনা প্রয়োজন, গ্রাফগুলি বাস্তব জগতে একটি বস্তুর প্রতিনিধিত্ব করতে সাহায্য করে। সে কেমন আচরণ করে? মহাকাশ কোন বিন্দুতে হবেকয়েক সেকেন্ড, মিনিট, ঘন্টা? অন্যান্য বস্তুর সাথে তুলনা করে এটি সম্পর্কে কী বলা যেতে পারে? এলোমেলোভাবে নির্বাচিত সময়ে এর গতি কত? কিভাবে তার আন্দোলনের বৈশিষ্ট্য?
এবং আমরা একটি কারণে গতি সম্পর্কে কথা বলছি - এটি প্রায়শই ফাংশন গ্রাফ দ্বারা প্রদর্শিত হয়। এবং তারা বস্তুর অভ্যন্তরে তাপমাত্রা বা চাপের পরিবর্তন, এর আকার, দিগন্তের সাথে সম্পর্কিত অভিযোজন প্রদর্শন করতে পারে। এইভাবে, একটি স্থানাঙ্ক লাইন তৈরি করা প্রায়শই পদার্থবিদ্যাতেও প্রয়োজন হয়৷
একমাত্রিক গ্রাফ
বহুমাত্রিকতার একটি ধারণা রয়েছে। এক-মাত্রিক স্থানে, একটি বিন্দুর অবস্থান নির্ণয় করার জন্য শুধুমাত্র একটি সংখ্যাই যথেষ্ট। স্থানাঙ্ক রেখা ব্যবহারের ক্ষেত্রে ঠিক এটিই হয়। যদি স্থানটি দ্বিমাত্রিক হয় তবে দুটি সংখ্যা প্রয়োজন। এই ধরণের চার্টগুলি প্রায়শই ব্যবহৃত হয় এবং আমরা অবশ্যই সেগুলিকে একটু পরে নিবন্ধে বিবেচনা করব৷
একমাত্র অক্ষ থাকলে অক্ষের বিন্দুর সাহায্যে কী দেখা যাবে? আপনি বস্তুর আকার দেখতে পারেন, কিছু "শূন্য" এর সাপেক্ষে মহাকাশে এর অবস্থান, অর্থাৎ রেফারেন্স পয়েন্ট হিসাবে নির্বাচিত বিন্দু।
সময়ের সাথে প্যারামিটারের পরিবর্তন দৃশ্যমান হবে না, কারণ সমস্ত রিডিং একটি নির্দিষ্ট মুহূর্তের জন্য প্রদর্শিত হবে। যাইহোক, আপনাকে কোথাও শুরু করতে হবে! তো চলুন শুরু করা যাক।
কীভাবে একটি স্থানাঙ্ক অক্ষ তৈরি করবেন
প্রথম, আপনাকে একটি অনুভূমিক রেখা আঁকতে হবে - এটি হবে আমাদের অক্ষ। ডানদিকে, এটিকে "তীক্ষ্ণ" করুন যাতে এটি একটি তীরের মতো দেখায়। এইভাবে, আমরা সংখ্যাগুলি যে দিকে থাকবে তা নির্দেশ করববৃদ্ধি. নীচের দিকে, তীর সাধারণত স্থাপন করা হয় না। ঐতিহ্যগতভাবে, অক্ষটি ডানদিকে নির্দেশ করে, তাই আমরা এই নিয়মটি অনুসরণ করব।
আসুন একটি শূন্য চিহ্ন সেট করি, যা স্থানাঙ্কের উৎপত্তি প্রদর্শন করবে। এটি সেই জায়গা যা থেকে কাউন্টডাউন নেওয়া হয়, তা আকার, ওজন, গতি বা অন্য কিছু হোক না কেন। শূন্যের পাশাপাশি, আমাদের অবশ্যই তথাকথিত বিভাগের মূল্য নির্ধারণ করতে হবে, অর্থাৎ, একটি ইউনিট মান প্রবর্তন করতে হবে, যার সাথে আমরা অক্ষের উপর নির্দিষ্ট পরিমাণ প্লট করব। স্থানাঙ্ক লাইনে অংশের দৈর্ঘ্য খুঁজে পেতে সক্ষম হওয়ার জন্য এটি অবশ্যই করা উচিত।
পরস্পর থেকে সমান দূরত্বের মাধ্যমে, লাইনে বিন্দু বা "খাঁজ" রাখুন এবং তাদের নীচে যথাক্রমে 1, 2, 3 এবং আরও অনেক কিছু লিখুন। এবং এখন, সবকিছু প্রস্তুত। কিন্তু ফলাফলের সময়সূচীর সাথে, আপনাকে এখনও কীভাবে কাজ করতে হবে তা শিখতে হবে৷
অর্ডিনেট লাইনে বিন্দুর প্রকার
পাঠ্যপুস্তকে প্রস্তাবিত অঙ্কনগুলিতে প্রথম নজর থেকে, এটি পরিষ্কার হয়ে যায়: অক্ষের বিন্দুগুলি পূরণ করা যেতে পারে বা পূরণ করা যাবে না। আপনি এটা একটি কাকতালীয় মনে করেন? একেবারেই না! একটি "কঠিন" বিন্দু একটি অ-কঠোর অসমতার জন্য ব্যবহার করা হয় - যেটি "এর চেয়ে বড় বা সমান" হিসাবে পড়ে। যদি আমাদের ব্যবধানকে কঠোরভাবে সীমাবদ্ধ করতে হয় (উদাহরণস্বরূপ, "x" শূন্য থেকে এক মান নিতে পারে তবে এটি অন্তর্ভুক্ত করে না), আমরা একটি "ফাঁপা" বিন্দু ব্যবহার করব, যা আসলে একটি ছোট বৃত্ত। অক্ষের উপর এটা উল্লেখ করা উচিত যে ছাত্ররা সত্যিই কঠোর বৈষম্য পছন্দ করে না, কারণ তাদের সাথে কাজ করা আরও কঠিন।
আপনি কোন পয়েন্টের উপর নির্ভর করেচার্টে ব্যবহার করুন, অন্তর্নির্মিত বিরতিগুলিও বলা হবে। যদি উভয় পক্ষের অসমতা কঠোর না হয়, তাহলে আমরা একটি সেগমেন্ট পাই। যদি একদিকে এটি "খোলা" হয়ে যায়, তবে এটিকে অর্ধ-ব্যবধান বলা হবে। অবশেষে, যদি একটি রেখার একটি অংশ ফাঁপা বিন্দু দ্বারা উভয় পাশে আবদ্ধ থাকে, তাহলে তাকে একটি ব্যবধান বলা হবে।
প্লেন
স্থানাঙ্ক সমতলে দুটি সরল রেখা তৈরি করার সময়, আমরা ইতিমধ্যে ফাংশনের গ্রাফগুলি বিবেচনা করতে পারি। ধরা যাক অনুভূমিক রেখা হল সময় অক্ষ, এবং উল্লম্ব রেখা হল দূরত্ব। এবং এখন আমরা এক মিনিট বা এক ঘন্টার ভ্রমণে বস্তুটি কী দূরত্ব অতিক্রম করবে তা নির্ধারণ করতে সক্ষম। সুতরাং, একটি সমতলের সাথে কাজ করা একটি বস্তুর অবস্থার পরিবর্তন নিরীক্ষণ করা সম্ভব করে তোলে। এটি একটি স্থির অবস্থা অন্বেষণের চেয়ে অনেক বেশি আকর্ষণীয়৷
এই ধরনের সমতলে সবচেয়ে সরল গ্রাফ হল একটি সরল রেখা, এটি Y(X)=aX + b ফাংশনটি প্রতিফলিত করে। লাইন বাঁক? এর মানে হল অধ্যয়নের সময় বস্তুটি তার বৈশিষ্ট্য পরিবর্তন করে।
কল্পনা করুন আপনি একটি বিল্ডিংয়ের ছাদে দাঁড়িয়ে আছেন, আপনার প্রসারিত হাতে একটি পাথর। আপনি যখন এটি ছেড়ে দেবেন, তখন এটি শূন্য গতি থেকে চলাচল শুরু করে নীচে উড়ে যাবে। কিন্তু এক সেকেন্ডে সে ঘণ্টায় ৩৬ কিলোমিটার বেগ অতিক্রম করবে। পাথরটি আরও ত্বরান্বিত হতে থাকবে, এবং চার্টে এর গতিবিধি আঁকতে, আপনাকে যথাযথ স্থানে অক্ষের উপর বিন্দু স্থাপন করে সময়ের মধ্যে বেশ কয়েকটি পয়েন্টে এর গতি পরিমাপ করতে হবে।
ডিফল্টরূপে অনুভূমিক স্থানাঙ্ক রেখার চিহ্নগুলিকে যথাক্রমে X1, X2, X3 এবং উল্লম্ব - Y1, Y2, Y3 নাম দেওয়া হয়েছে৷ প্রজেক্টিংতাদের সমতলে এবং ছেদ খুঁজে, আমরা ফলাফল প্যাটার্ন টুকরা খুঁজে. তাদের এক লাইনের সাথে সংযুক্ত করে, আমরা ফাংশনের একটি গ্রাফ পাই। একটি পড়ন্ত পাথরের ক্ষেত্রে, চতুর্ভুজ ফাংশনটি এরকম দেখাবে: Y(X)=aXX + bX + c.
স্কেল
অবশ্যই, একটি সরলরেখা দ্বারা বিভাজনের পাশে পূর্ণসংখ্যার মান বসানোর প্রয়োজন নেই। আপনি যদি একটি শামুকের গতিবিধি বিবেচনা করছেন যা প্রতি মিনিটে 0.03 মিটার গতিতে ক্রল করে, স্থানাঙ্ক ভগ্নাংশে মান হিসাবে সেট করুন। এই ক্ষেত্রে, স্কেলের ব্যবধানটি 0.01 মিটারে সেট করুন।
খাঁচায় একটি নোটবুকে এই জাতীয় অঙ্কন করা বিশেষত সুবিধাজনক - আপনি যদি মার্জিনের বাইরে যান তবে আপনার চার্টের জন্য শীটে পর্যাপ্ত জায়গা আছে কিনা তা আপনি অবিলম্বে দেখতে পাবেন। আপনার শক্তি গণনা করা কঠিন নয়, কারণ এই জাতীয় নোটবুকের ঘরের প্রস্থ 0.5 সেন্টিমিটার। লেগেছে- ছবি কমিয়েছে। চার্টের স্কেল পরিবর্তনের ফলে এটির বৈশিষ্ট্য হারাতে বা পরিবর্তন হবে না।
পয়েন্ট এবং সেগমেন্ট স্থানাঙ্ক
যখন একটি পাঠে একটি গণিত সমস্যা দেওয়া হয়, এতে বিভিন্ন জ্যামিতিক আকারের প্যারামিটার থাকতে পারে, উভয় পাশের দৈর্ঘ্য, পরিধি, ক্ষেত্রফল এবং স্থানাঙ্ক আকারে। এই ক্ষেত্রে, আপনাকে একটি আকৃতি তৈরি করতে এবং এর সাথে সম্পর্কিত কিছু ডেটা পেতে হবে। প্রশ্ন উঠছে: স্থানাঙ্ক লাইনে প্রয়োজনীয় তথ্য কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায়? এবং কিভাবে একটি আকৃতি নির্মাণ?
উদাহরণস্বরূপ, আমরা একটি বিন্দুর কথা বলছি। তারপরে সমস্যাটির অবস্থায় একটি বড় অক্ষর উপস্থিত হবে এবং বেশ কয়েকটি সংখ্যা বন্ধনীতে উপস্থিত হবে, প্রায়শই দুটি (এর মানে আমরা দ্বি-মাত্রিক স্থান গণনা করব)।যদি বন্ধনীতে তিনটি সংখ্যা থাকে, একটি সেমিকোলন বা একটি কমা দ্বারা পৃথক করা হয়, তাহলে এটি একটি ত্রিমাত্রিক স্থান। প্রতিটি মানই সংশ্লিষ্ট অক্ষের একটি স্থানাঙ্ক: প্রথমে অনুভূমিক (X) বরাবর, তারপর উল্লম্ব (Y) বরাবর।
মনে রাখবেন কিভাবে একটি অংশ আঁকতে হয়? আপনি জ্যামিতিতে পাস করেছেন। যদি দুটি বিন্দু থাকে, তবে তাদের মধ্যে একটি রেখা আঁকা যেতে পারে। তাদের স্থানাঙ্কগুলি বন্ধনীতে নির্দেশিত হয় যদি সমস্যাটিতে একটি সেগমেন্ট উপস্থিত হয়। যেমন: A(15, 13)- B(1, 4)। এই ধরনের একটি লাইন তৈরি করতে, আপনাকে স্থানাঙ্ক সমতলে পয়েন্টগুলি খুঁজে বের করতে এবং চিহ্নিত করতে হবে এবং তারপরে সেগুলিকে সংযুক্ত করতে হবে। এটাই!
এবং যেকোন বহুভুজ, যেমন আপনি জানেন, সেগমেন্ট ব্যবহার করে আঁকা যেতে পারে। সমস্যার সমাধান হয়েছে।
গণনা
ধরা যাক এমন কিছু বস্তু আছে যার X অক্ষ বরাবর অবস্থান দুটি সংখ্যা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে: এটি স্থানাঙ্ক (-3) দিয়ে শুরু হয় এবং (+2) এ শেষ হয়। আমরা যদি এই বস্তুর দৈর্ঘ্য জানতে চাই, তাহলে আমাদের অবশ্যই বড় সংখ্যা থেকে ছোট সংখ্যাটি বিয়োগ করতে হবে। মনে রাখবেন যে একটি ঋণাত্মক সংখ্যা বিয়োগের চিহ্নকে শোষণ করে, কারণ "একটি বিয়োগ গুণ একটি বিয়োগ একটি যোগের সমান।" তাই আমরা (2+3) যোগ করি এবং 5 পাই। এটি প্রয়োজনীয় ফলাফল।
আরেকটি উদাহরণ: আমাদের অবজেক্টের শেষ বিন্দু এবং দৈর্ঘ্য দেওয়া হয়েছে, কিন্তু শুরু বিন্দু নয় (এবং আমাদের এটি খুঁজে বের করতে হবে)। পরিচিত বিন্দুর অবস্থান (6), এবং অধ্যয়নের অধীনে বস্তুর আকার (4) হতে দিন। চূড়ান্ত স্থানাঙ্ক থেকে দৈর্ঘ্য বিয়োগ করে, আমরা উত্তর পাই। মোট: (6 - 4)=2.
নেতিবাচক সংখ্যা
নেতিবাচক মান নিয়ে কাজ করার জন্য প্রায়শই অনুশীলনে এটির প্রয়োজন হয়। এই ক্ষেত্রে আমরা করবস্থানাঙ্ক অক্ষ বরাবর বাম দিকে সরান। উদাহরণস্বরূপ, 3 সেন্টিমিটার উঁচু একটি বস্তু জলে ভাসে। এর এক-তৃতীয়াংশ তরলে নিমজ্জিত, দুই-তৃতীয়াংশ বাতাসে। তারপরে, অক্ষ হিসাবে জলের পৃষ্ঠকে বেছে নিয়ে, আমরা সবচেয়ে সহজ গাণিতিক গণনা ব্যবহার করে দুটি সংখ্যা পাই: বস্তুর উপরের বিন্দুতে স্থানাঙ্ক (+2) এবং নীচের একটি - (-1) সেন্টিমিটার।
এটা দেখা সহজ যে একটি সমতলের ক্ষেত্রে, আমাদের স্থানাঙ্ক রেখার চার চতুর্থাংশ রয়েছে। তাদের প্রত্যেকের নিজস্ব নম্বর আছে। প্রথম (উপরের ডানদিকে) অংশে দুটি ইতিবাচক স্থানাঙ্ক সহ বিন্দু থাকবে, দ্বিতীয়টিতে - উপরের বাম দিকে - X অক্ষের মানগুলি হবে ঋণাত্মক, এবং Y অক্ষ বরাবর - ধনাত্মক। তৃতীয় এবং চতুর্থটি আরও ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে গণনা করা হয়৷
গুরুত্বপূর্ণ সম্পত্তি
আপনি জানেন যে একটি লাইনকে অসীম সংখ্যক বিন্দু হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। আমরা অক্ষের প্রতিটি দিকের যে কোনও সংখ্যক মান পছন্দ করার মতো যত্ন সহকারে দেখতে পারি, তবে আমরা পুনরাবৃত্তির সাথে দেখা করব না। এটি নিষ্পাপ এবং বোধগম্য বলে মনে হয়, কিন্তু সেই বিবৃতিটি একটি গুরুত্বপূর্ণ সত্য থেকে উদ্ভূত: প্রতিটি সংখ্যা স্থানাঙ্ক রেখার এক এবং শুধুমাত্র একটি বিন্দুর সাথে মিলে যায়৷
উপসংহার
মনে রাখবেন যে কোনও অক্ষ, পরিসংখ্যান এবং, যদি সম্ভব হয়, গ্রাফিক্স অবশ্যই একটি শাসকের উপর তৈরি করা উচিত। পরিমাপের এককগুলি মানুষের দ্বারা আকস্মিকভাবে উদ্ভাবিত হয়নি - আপনি যদি অঙ্কন করার সময় একটি ত্রুটি করেন তবে আপনি এটির চেয়ে ভিন্ন চিত্র দেখার ঝুঁকি নিয়ে থাকেন৷
প্লটিং এবং গণনার ক্ষেত্রে সতর্ক এবং নির্ভুল থাকুন। স্কুলে অধ্যয়ন করা যেকোনো বিজ্ঞানের মতো, গণিতও নির্ভুলতা পছন্দ করে। একটু চেষ্টা করুন এবং ভালমূল্যায়ন আসতে দীর্ঘ হবে না।
