প্রতিটি শিক্ষার্থী একটি গোলাকার শঙ্কুর কথা শুনেছে এবং এই ত্রিমাত্রিক চিত্রটি দেখতে কেমন তা কল্পনা করেছে৷ এই নিবন্ধটি একটি শঙ্কুর বিকাশকে সংজ্ঞায়িত করে, সূত্রগুলি প্রদান করে যা এর বৈশিষ্ট্যগুলি বর্ণনা করে এবং কম্পাস, প্রটেক্টর এবং স্ট্রেটেডেজ ব্যবহার করে কীভাবে এটি তৈরি করা যায় তা বর্ণনা করে৷
জ্যামিতিতে বৃত্তাকার শঙ্কু
আসুন এই চিত্রটির একটি জ্যামিতিক সংজ্ঞা দেওয়া যাক। একটি বৃত্তাকার শঙ্কু একটি পৃষ্ঠ যা একটি নির্দিষ্ট বৃত্তের সমস্ত বিন্দুকে স্থানের একটি একক বিন্দুর সাথে সংযুক্ত করে সরলরেখার অংশ দ্বারা গঠিত হয়। এই একক বিন্দুটি বৃত্তের মধ্যে থাকা সমতলের অন্তর্গত হওয়া উচিত নয়। যদি আমরা একটি বৃত্তের পরিবর্তে একটি বৃত্ত নিই, তাহলে এই পদ্ধতিটি একটি শঙ্কুর দিকেও নিয়ে যায়।
বৃত্তটিকে চিত্রের ভিত্তি বলা হয়, এর পরিধি নির্দেশিকা। বিন্দুকে ডাইরেক্ট্রিক্সের সাথে সংযোগকারী অংশগুলিকে জেনারাট্রিক্স বা জেনারেটর বলা হয় এবং তারা যে বিন্দুকে ছেদ করে সেটি হল শঙ্কুর শীর্ষবিন্দু।
গোলাকার শঙ্কু সোজা এবং তির্যক হতে পারে। উভয় পরিসংখ্যান নীচের চিত্রে দেখানো হয়েছে৷
এগুলির মধ্যে পার্থক্য হল: যদি শঙ্কুর শীর্ষ থেকে লম্বটি বৃত্তের কেন্দ্রে ঠিক পড়ে, তবে শঙ্কুটি সোজা হবে। তার জন্য, লম্ব, যাকে চিত্রের উচ্চতা বলা হয়, তার অক্ষের অংশ। একটি তির্যক শঙ্কুর ক্ষেত্রে, উচ্চতা এবং অক্ষ একটি তীব্র কোণ গঠন করে।
চিত্রের সরলতা এবং প্রতিসাম্যের কারণে, আমরা আরও বিবেচনা করব শুধুমাত্র একটি বৃত্তাকার ভিত্তি সহ একটি ডান শঙ্কুর বৈশিষ্ট্য।
ঘূর্ণন ব্যবহার করে একটি আকৃতি পাওয়া
একটি শঙ্কুর পৃষ্ঠের বিকাশ বিবেচনা করার আগে, ঘূর্ণন ব্যবহার করে এই স্থানিক চিত্রটি কীভাবে পাওয়া যেতে পারে তা জানা দরকারী।
ধরুন আমাদের একটি সমকোণী ত্রিভুজ রয়েছে যার বাহু a, b, c। তাদের মধ্যে প্রথম দুটি পা, c হল কর্ণ। আসুন পায়ে একটি ত্রিভুজ রাখি এবং লেগ b এর চারপাশে এটি ঘোরানো শুরু করি। কর্ণ c তারপর একটি শঙ্কুযুক্ত পৃষ্ঠ বর্ণনা করবে। এই সহজ শঙ্কু কৌশলটি নীচের চিত্রে দেখানো হয়েছে৷
অবশ্যই, লেগ a হবে চিত্রের গোড়ার ব্যাসার্ধ, লেগ b হবে এর উচ্চতা, এবং কর্ণ সি একটি গোলাকার ডান শঙ্কুর জেনারাট্রিক্সের সাথে মিলে যায়।
শঙ্কুর উন্নয়নের দৃশ্য
আপনি অনুমান করতে পারেন, শঙ্কুটি দুটি ধরণের পৃষ্ঠ দ্বারা গঠিত হয়। তাদের মধ্যে একটি সমতল ভিত্তি বৃত্ত। ধরুন এর ব্যাসার্ধ r আছে। দ্বিতীয় পৃষ্ঠটি পার্শ্বীয় এবং একে শঙ্কু বলা হয়। এর জেনারেটর জি এর সমান হতে দিন।
আমাদের যদি একটি কাগজের শঙ্কু থাকে তবে আমরা কাঁচি নিতে পারি এবং এটি থেকে ভিত্তিটি কেটে ফেলতে পারি। তারপর, শঙ্কুযুক্ত পৃষ্ঠ কাটা উচিতযেকোন generatrix বরাবর এবং প্লেনে এটি স্থাপন করুন। এইভাবে, আমরা শঙ্কুর পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের একটি বিকাশ পেয়েছি। দুটি পৃষ্ঠতল, মূল শঙ্কু সহ, নীচের চিত্রে দেখানো হয়েছে৷
বেস বৃত্তটি নীচে ডানদিকে চিত্রিত হয়েছে৷ খোলা শঙ্কুযুক্ত পৃষ্ঠটি কেন্দ্রে দেখানো হয়েছে। দেখা যাচ্ছে যে এটি বৃত্তের কিছু বৃত্তাকার সেক্টরের সাথে মিলে যায়, যার ব্যাসার্ধ জেনাট্রিক্স g এর দৈর্ঘ্যের সমান।
কোণ এবং এলাকা ঝাড়ু
এখন আমরা সূত্র পাচ্ছি, যা জানা পরামিতি g এবং r ব্যবহার করে আমাদের শঙ্কুর ক্ষেত্রফল এবং কোণ গণনা করতে দেয়।
অবশ্যই, উপরের চিত্রে দেখানো বৃত্তাকার সেক্টরের চাপটির দৈর্ঘ্য বেসের পরিধির সমান, অর্থাৎ:
l=2pir.
যদি ব্যাসার্ধ g সহ পুরো বৃত্তটি তৈরি করা হয়, তবে এর দৈর্ঘ্য হবে:
L=2pig.
যেহেতু দৈর্ঘ্য L 2pi রেডিয়ানের সাথে মিলে যায়, তাহলে l যে কোণটিতে চাপ l বিশ্রাম নেয় তা সংশ্লিষ্ট অনুপাত থেকে নির্ণয় করা যেতে পারে:
L==>2pi;
l==> φ.
তারপর অজানা কোণ φ এর সমান হবে:
φ=2pil/L.
l এবং L দৈর্ঘ্যের অভিব্যক্তিগুলিকে প্রতিস্থাপন করে, আমরা শঙ্কুর পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের বিকাশের কোণের সূত্রে পৌঁছেছি:
φ=2pir/g.
এখানে কোণ φ রেডিয়ানে প্রকাশ করা হয়েছে।
একটি বৃত্তাকার সেক্টরের Sb এলাকা নির্ধারণ করতে, আমরা φ এর পাওয়া মান ব্যবহার করব। আমরা আরও একটি অনুপাত তৈরি করি, শুধুমাত্র এলাকার জন্য। আমাদের আছে:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
যেখান থেকে Sb প্রকাশ করতে হবে এবং তারপর কোণের মান φ প্রতিস্থাপন করুন। আমরা পাই:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
কোনিক্যাল পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের জন্য, আমরা মোটামুটি কমপ্যাক্ট সূত্র পেয়েছি। Sb এর মান তিনটি কারণের গুণফলের সমান: পাই, চিত্রের ব্যাসার্ধ এবং এর জেনাট্রিক্স।
তারপর চিত্রটির সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল Sb এবং So (বৃত্তাকার) এর সমষ্টির সমান হবে ভিত্তি এলাকা)। আমরা সূত্র পাই:
S=Sb+ So=pir(g + r).
কাগজে একটি শঙ্কু তৈরি করা
এই কাজটি সম্পূর্ণ করতে আপনার প্রয়োজন হবে এক টুকরো কাগজ, একটি পেন্সিল, একটি প্রটেক্টর, একটি শাসক এবং একটি কম্পাস৷
প্রথমত, 3 সেমি, 4 সেমি এবং 5 সেমি বাহু সহ একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকুন। এর 3 সেমি পায়ের চারপাশে ঘূর্ণন কাঙ্খিত শঙ্কু দেবে। চিত্রটিতে r=3 সেমি, h=4 সেমি, g=5 সেমি।
একটি ঝাড়ু তৈরি করা শুরু হবে একটি কম্পাস দিয়ে r ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত আঁকার মাধ্যমে। এর দৈর্ঘ্য হবে 6pi cm এর সমান। এখন এর পাশে আমরা আরেকটি বৃত্ত আঁকব, কিন্তু ব্যাসার্ধ g দিয়ে। এর দৈর্ঘ্য 10pi cm এর অনুরূপ হবে এখন আমাদের একটি বড় বৃত্ত থেকে একটি বৃত্তাকার সেক্টর কেটে ফেলতে হবে। এর কোণ φ হল:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
এখন আমরা ব্যাসার্ধ g সহ একটি বৃত্তের উপর একটি প্রটেক্টরের সাহায্যে এই কোণটিকে আলাদা করে রাখি এবং দুটি ব্যাসার্ধ আঁকি যা বৃত্তাকার সেক্টরকে সীমাবদ্ধ করবে।
তাইএইভাবে, আমরা ব্যাসার্ধ, উচ্চতা এবং জেনাট্রিক্সের নির্দিষ্ট পরামিতিগুলির সাথে শঙ্কুর একটি বিকাশ তৈরি করেছি৷
একটি জ্যামিতিক সমস্যা সমাধানের একটি উদাহরণ
একটি গোলাকার সোজা শঙ্কু দেওয়া হয়েছে। এটি জানা যায় যে এর পার্শ্বীয় ঝাড়ুর কোণ হল 120o। এই চিত্রটির ব্যাসার্ধ এবং জেনারাট্রিক্স খুঁজে বের করা প্রয়োজন, যদি এটি জানা যায় যে শঙ্কুর উচ্চতা h 10 সেমি।
কাজটি কঠিন নয় যদি আমরা মনে রাখি যে একটি বৃত্তাকার শঙ্কু একটি সমকোণী ত্রিভুজের ঘূর্ণনের একটি চিত্র। এই ত্রিভুজ থেকে উচ্চতা, ব্যাসার্ধ এবং জেনারাট্রিক্সের মধ্যে একটি দ্ব্যর্থহীন সম্পর্ক অনুসরণ করা হয়। আসুন সংশ্লিষ্ট সূত্রটি লিখি:
g2=h2+ r2.
সমাধান করার সময় দ্বিতীয় রাশিটি হল কোণের সূত্রটি φ:
φ=2pir/g.
এইভাবে, আমাদের কাছে দুটি অজানা পরিমাণ (r এবং g) সম্পর্কিত দুটি সমীকরণ রয়েছে।
দ্বিতীয় সূত্র থেকে g প্রকাশ করুন এবং ফলাফলটিকে প্রথমটিতে প্রতিস্থাপন করুন, আমরা পাই:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1)।
রেডিয়ানে
কোণ φ=120o হল 2pi/3। আমরা এই মানটি প্রতিস্থাপন করি, আমরা r এবং g এর জন্য চূড়ান্ত সূত্র পাই:
r=h /√8;
g=3h /√8.
এটি উচ্চতার মান প্রতিস্থাপন করতে এবং সমস্যার প্রশ্নের উত্তর পেতে বাকি থাকে: r ≈ 3.54 সেমি, g ≈ 10.61 সেমি।
