একটি যান্ত্রিক সিস্টেম যা একটি বস্তুগত বিন্দু (দেহ) নিয়ে গঠিত যা একটি অক্ষয় ওজনহীন সুতোর উপর ঝুলে থাকে (দেহের ওজনের তুলনায় এর ভর নগণ্য) একটি অভিকর্ষের ক্ষেত্রে তাকে গাণিতিক পেন্ডুলাম বলা হয় (অন্য নাম একটি অসিলেটর)। এই ডিভাইসের অন্যান্য ধরনের আছে. একটি সুতার পরিবর্তে, একটি ওজনহীন রড ব্যবহার করা যেতে পারে। একটি গাণিতিক পেন্ডুলাম স্পষ্টভাবে অনেক আকর্ষণীয় ঘটনার সারমর্ম প্রকাশ করতে পারে। দোলনের একটি ছোট প্রশস্ততা সহ, এর নড়াচড়াকে বলা হয় সুরেলা।
যান্ত্রিক সিস্টেম ওভারভিউ
এই পেন্ডুলামের দোলনকালের সূত্রটি ডাচ বিজ্ঞানী হাইজেনস (1629-1695) দ্বারা উদ্ভূত হয়েছিল। আই. নিউটনের এই সমসাময়িক এই যান্ত্রিক ব্যবস্থার খুব পছন্দ করতেন। 1656 সালে তিনি প্রথম পেন্ডুলাম ঘড়ি তৈরি করেন। তারা ব্যতিক্রমী সঙ্গে সময় পরিমাপসেই সময়ের নির্ভুলতার জন্য। এই উদ্ভাবন শারীরিক পরীক্ষা-নিরীক্ষা এবং ব্যবহারিক ক্রিয়াকলাপের উন্নয়নে একটি বড় মাইলফলক হয়ে উঠেছে৷
যদি পেন্ডুলামটি সাম্যাবস্থায় থাকে (উল্লম্বভাবে ঝুলে থাকে), তবে মাধ্যাকর্ষণ বল সুতার টানের বল দ্বারা ভারসাম্যপূর্ণ হবে। একটি অক্ষম থ্রেডের উপর একটি সমতল পেন্ডুলাম হল একটি সংযোগ সহ দুই ডিগ্রি স্বাধীনতা সহ একটি সিস্টেম। আপনি যখন শুধুমাত্র একটি উপাদান পরিবর্তন করেন, তখন এর সমস্ত অংশের বৈশিষ্ট্য পরিবর্তন হয়। সুতরাং, যদি থ্রেডটি একটি রড দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়, তবে এই যান্ত্রিক সিস্টেমের স্বাধীনতার মাত্র 1 ডিগ্রি থাকবে। একটি গাণিতিক পেন্ডুলামের বৈশিষ্ট্যগুলি কী কী? এই সহজ পদ্ধতিতে, পর্যায়ক্রমিক বিশৃঙ্খলার প্রভাবে বিশৃঙ্খলা দেখা দেয়। ক্ষেত্রে যখন সাসপেনশন বিন্দু সরে না, কিন্তু দোলা দেয়, পেন্ডুলামের একটি নতুন ভারসাম্য অবস্থান থাকে। দ্রুত উপরে এবং নিচের দোলনের সাথে, এই যান্ত্রিক সিস্টেমটি একটি স্থিতিশীল উলটো অবস্থান অর্জন করে। তার নিজের নামও আছে। একে বলা হয় কাপিটজার পেন্ডুলাম।
পেন্ডুলাম বৈশিষ্ট্য
গাণিতিক পেন্ডুলামের খুব আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য রয়েছে। তাদের সব পরিচিত শারীরিক আইন দ্বারা নিশ্চিত করা হয়. অন্য কোনো পেন্ডুলামের দোলনের সময়কাল বিভিন্ন পরিস্থিতির উপর নির্ভর করে, যেমন শরীরের আকার এবং আকৃতি, সাসপেনশন বিন্দু এবং মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্রের মধ্যে দূরত্ব, এই বিন্দুর সাপেক্ষে ভরের বন্টন। এই কারণেই একটি ঝুলন্ত লাশের সময়কাল নির্ধারণ করা একটি বরং কঠিন কাজ। একটি গাণিতিক পেন্ডুলামের সময়কাল গণনা করা অনেক সহজ, যার সূত্রটি নীচে দেওয়া হবে। অনুরূপ পর্যবেক্ষণের ফলেযান্ত্রিক সিস্টেম নিম্নলিখিত নিদর্শন স্থাপন করতে পারে:
• যদি, পেন্ডুলামের একই দৈর্ঘ্য বজায় রাখার সময়, আমরা বিভিন্ন ওজন ঝুলিয়ে রাখি, তবে তাদের দোলনের সময়কাল একই হবে, যদিও তাদের ভরগুলি ব্যাপকভাবে পরিবর্তিত হবে। অতএব, এই ধরনের পেন্ডুলামের সময়কাল লোডের ভরের উপর নির্ভর করে না।
• সিস্টেমটি শুরু করার সময়, যদি পেন্ডুলামটি খুব বড় নয়, কিন্তু বিভিন্ন কোণ দ্বারা বিচ্যুত হয়, তবে এটি একই সময়ের সাথে, কিন্তু বিভিন্ন প্রশস্ততার সাথে দোলাতে শুরু করবে। যতক্ষণ পর্যন্ত ভারসাম্যের কেন্দ্র থেকে বিচ্যুতিগুলি খুব বড় না হয়, ততক্ষণ তাদের আকারে দোলনগুলি সুরেলাগুলির খুব কাছাকাছি হবে। এই জাতীয় পেন্ডুলামের সময়কাল কোনওভাবেই দোলনের প্রশস্ততার উপর নির্ভর করে না। এই যান্ত্রিক সিস্টেমের এই বৈশিষ্ট্যটিকে বলা হয় আইসোক্রোনিজম (গ্রীক "ক্রোনোস" থেকে অনুবাদ করা হয়েছে - সময়, "আইসোস" - সমান)।
গাণিতিক পেন্ডুলামের সময়কাল
এই সূচকটি প্রাকৃতিক দোলনের সময়কালকে প্রতিনিধিত্ব করে। জটিল শব্দকরণ সত্ত্বেও, প্রক্রিয়া নিজেই খুব সহজ। যদি একটি গাণিতিক পেন্ডুলামের সুতার দৈর্ঘ্য L হয় এবং মুক্ত পতনের ত্বরণ g হয়, তাহলে এই মানটি হল:
T=2π√L/g
ছোট প্রাকৃতিক দোলনের সময়কাল কোনোভাবেই পেন্ডুলামের ভর এবং দোলনের প্রশস্ততার উপর নির্ভর করে না। এই ক্ষেত্রে, পেন্ডুলামটি একটি কম দৈর্ঘ্য সহ একটি গাণিতিক পেন্ডুলামের মতো নড়াচড়া করে।
গাণিতিক পেন্ডুলামের দোলনা
একটি গাণিতিক পেন্ডুলাম দোদুল্যমান, যা একটি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে:
x + ω2 sin x=0, যেখানে x (t) একটি অজানা ফাংশন (এটি নিম্ন থেকে বিচ্যুতির কোণt সময়ে ভারসাম্যের অবস্থান, রেডিয়ানে প্রকাশ করা হয়); ω হল একটি ধনাত্মক ধ্রুবক, যা পেন্ডুলামের প্যারামিটার থেকে নির্ধারিত হয় (ω=√g/L, যেখানে g হল মুক্ত পতনের ত্বরণ এবং L হল গাণিতিক পেন্ডুলামের দৈর্ঘ্য (সাসপেনশন)।
ভারসাম্য অবস্থানের কাছাকাছি ছোট ওঠানামার সমীকরণ (হারমোনিক সমীকরণ) এইরকম দেখায়:
x + ω2 sin x=0
পেন্ডুলামের অসিলেটরী নড়াচড়া
একটি গাণিতিক পেন্ডুলাম যা সাইনোসয়েড বরাবর ছোট ছোট দোলন ঘটায়। দ্বিতীয় ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ এই ধরনের গতির সমস্ত প্রয়োজনীয়তা এবং পরামিতি পূরণ করে। ট্রাজেক্টোরি নির্ধারণ করতে, আপনাকে অবশ্যই গতি এবং সমন্বয় নির্দিষ্ট করতে হবে, যেখান থেকে স্বাধীন ধ্রুবক নির্ণয় করা হয়:
x=একটি পাপ (θ0 + ωt), যেখানে θ0 হল প্রাথমিক পর্যায়, A হল দোলন প্রশস্ততা, ω হল গতির সমীকরণ থেকে নির্ধারিত চক্রীয় কম্পাঙ্ক।
গাণিতিক পেন্ডুলাম (বড় প্রশস্ততার সূত্র)
এই যান্ত্রিক সিস্টেম, যা একটি উল্লেখযোগ্য প্রশস্ততার সাথে এর দোলন তৈরি করে, গতির আরও জটিল নিয়ম মেনে চলে। এই ধরনের একটি পেন্ডুলামের জন্য, তারা সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:
sin x/2=usn(ωt/u), যেখানে sn হল Jacobi sine, যা u < 1 এর জন্য একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন, এবং ছোট u এর জন্য এটি একটি সাধারণ ত্রিকোণমিতিক সাইনের সাথে মিলে যায়। u এর মান নিম্নলিখিত অভিব্যক্তি দ্বারা নির্ধারিত হয়:
u=(ε + ω2)/2ω2, যেখানে ε=E/mL2 (mL2 হল পেন্ডুলামের শক্তি)।
একটি নন-লিনিয়ার পেন্ডুলামের দোলনের সময়কাল নির্ধারণ করাসূত্র অনুযায়ী সম্পাদিত:
T=2π/Ω, যেখানে Ω=π/2ω/2K(u), K হল উপবৃত্তাকার অখণ্ড, π - 3, 14.
সেপারাট্রিক্স বরাবর পেন্ডুলামের নড়াচড়া
একটি সেপারাট্রিক্স হল একটি দ্বি-মাত্রিক পর্যায় স্থান সহ একটি গতিশীল সিস্টেমের একটি গতিপথ। গাণিতিক পেন্ডুলাম অ-পর্যায়ক্রমে এটি বরাবর চলে। সময়ের একটি অসীম দূরবর্তী মুহুর্তে, এটি শূন্য বেগ সহ চরম উপরের অবস্থান থেকে পাশে পড়ে, তারপর ধীরে ধীরে এটি তুলে নেয়। এটি শেষ পর্যন্ত থেমে যায়, তার আসল অবস্থানে ফিরে আসে।
যদি পেন্ডুলামের দোলনের প্রশস্ততা π সংখ্যার কাছে আসে তবে এটি নির্দেশ করে যে ফেজ প্লেনের গতি সেপারাট্রিক্সের কাছে আসছে। এই ক্ষেত্রে, একটি ছোট ড্রাইভিং পর্যায়ক্রমিক শক্তির ক্রিয়াকলাপে, যান্ত্রিক সিস্টেম বিশৃঙ্খল আচরণ প্রদর্শন করে৷
যখন গাণিতিক পেন্ডুলাম একটি নির্দিষ্ট কোণ φ সহ ভারসাম্য অবস্থান থেকে বিচ্যুত হয়, তখন অভিকর্ষের একটি স্পর্শক শক্তি Fτ=–mg sin φ দেখা দেয়। বিয়োগ চিহ্নের অর্থ হল এই স্পর্শক উপাদানটি পেন্ডুলামের বিচ্যুতি থেকে বিপরীত দিকে পরিচালিত হয়। L ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের চাপ বরাবর পেন্ডুলামের স্থানচ্যুতিকে x দ্বারা চিহ্নিত করা হলে, এর কৌণিক স্থানচ্যুতি φ=x/L এর সমান। আইজ্যাক নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র, ত্বরণ ভেক্টর এবং বলের অনুমানের জন্য ডিজাইন করা হয়েছে, কাঙ্খিত মান দেবে:
mg τ=Fτ=–mg sin x/L
এই অনুপাতের উপর ভিত্তি করে, এটি স্পষ্ট যে এই পেন্ডুলামটি একটি অ-রৈখিক সিস্টেম, কারণ যে শক্তিটি ফিরে আসতে চায়এটি ভারসাম্য অবস্থানে, সর্বদা স্থানচ্যুতি x এর সমানুপাতিক নয়, তবে sin x/L এর সাথে সমানুপাতিক।
শুধুমাত্র যখন গাণিতিক পেন্ডুলাম ছোট ছোট দোলন তৈরি করে, এটি একটি হারমোনিক অসিলেটর। অন্য কথায়, এটি সুরেলা কম্পন সম্পাদন করতে সক্ষম একটি যান্ত্রিক সিস্টেমে পরিণত হয়। এই আনুমানিক 15-20° কোণের জন্য কার্যত বৈধ। বড় প্রশস্ততা সহ পেন্ডুলাম দোলন সুরেলা নয়।
একটি পেন্ডুলামের ছোট দোলনের জন্য নিউটনের সূত্র
যদি এই যান্ত্রিক সিস্টেমটি ছোট কম্পন সঞ্চালন করে, নিউটনের ২য় সূত্রটি এরকম দেখাবে:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
এর উপর ভিত্তি করে, আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে গাণিতিক পেন্ডুলামের স্পর্শক ত্বরণ একটি বিয়োগ চিহ্নের সাথে এর স্থানচ্যুতির সমানুপাতিক। এই অবস্থা যার কারণে সিস্টেমটি একটি সুরেলা অসিলেটর হয়ে ওঠে। স্থানচ্যুতি এবং ত্বরণের মধ্যে আনুপাতিক লাভের মডুলাস বৃত্তাকার কম্পাঙ্কের বর্গক্ষেত্রের সমান:
ω02=g/L; ω0=√ g/L.
এই সূত্রটি এই ধরণের পেন্ডুলামের ছোট দোলনের স্বাভাবিক ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিফলিত করে। এর উপর ভিত্তি করে, T=2π/ ω0=2π√ g/L.
শক্তি সংরক্ষণের আইনের উপর ভিত্তি করে গণনা
শক্তি সংরক্ষণের আইন ব্যবহার করে পেন্ডুলামের দোলক গতির বৈশিষ্ট্যগুলিও বর্ণনা করা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে, এটি বিবেচনা করা উচিত যে মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রে পেন্ডুলামের সম্ভাব্য শক্তি হল:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
মোট যান্ত্রিক শক্তিগতিগত বা সর্বোচ্চ সম্ভাবনার সমান: Epmax=Ekmsx=E
শক্তি সংরক্ষণের আইন লেখার পরে, সমীকরণের ডান এবং বাম দিকের ডেরিভেটিভ নিন:
Ep + Ek=consst
যেহেতু ধ্রুবক মানের ডেরিভেটিভ 0, তারপর (Ep + Ek)'=0। যোগফলের ডেরিভেটিভ ডেরিভেটিভের যোগফলের সমান:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α, অতএব:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
শেষ সূত্রের উপর ভিত্তি করে, আমরা পাই: α=- g/Lx.
গাণিতিক পেন্ডুলামের ব্যবহারিক প্রয়োগ
মুক্ত পতনের ত্বরণ ভৌগলিক অক্ষাংশের সাথে পরিবর্তিত হয়, যেহেতু সমগ্র গ্রহে পৃথিবীর ভূত্বকের ঘনত্ব একই নয়। যেখানে বেশি ঘনত্বের শিলা দেখা দেয়, তা কিছুটা বেশি হবে। একটি গাণিতিক পেন্ডুলামের ত্বরণ প্রায়ই ভূতাত্ত্বিক অনুসন্ধানের জন্য ব্যবহৃত হয়। এটি বিভিন্ন খনিজ অনুসন্ধান করতে ব্যবহৃত হয়। শুধু পেন্ডুলামের দোলনার সংখ্যা গণনা করে, আপনি পৃথিবীর অন্ত্রে কয়লা বা আকরিক খুঁজে পেতে পারেন। এটি এই কারণে যে এই ধরনের জীবাশ্মগুলির ঘনত্ব এবং ভর তাদের অন্তর্নিহিত আলগা শিলাগুলির চেয়ে বেশি৷
গাণিতিক পেন্ডুলামটি সক্রেটিস, অ্যারিস্টটল, প্লেটো, প্লুটার্ক, আর্কিমিডিসের মতো বিশিষ্ট বিজ্ঞানীরা ব্যবহার করেছিলেন। তাদের মধ্যে অনেকেই বিশ্বাস করতেন যে এই যান্ত্রিক ব্যবস্থা একজন ব্যক্তির ভাগ্য এবং জীবনকে প্রভাবিত করতে পারে। আর্কিমিডিস তার গণনায় একটি গাণিতিক পেন্ডুলাম ব্যবহার করেছিলেন। আজকাল, অনেক occultists এবং psychicsতাদের ভবিষ্যদ্বাণী পূরণ করতে বা নিখোঁজ ব্যক্তিদের সন্ধান করতে এই যান্ত্রিক ব্যবস্থা ব্যবহার করুন৷
বিখ্যাত ফরাসি জ্যোতির্বিজ্ঞানী এবং প্রকৃতিবিদ কে. ফ্ল্যামারিয়নও তার গবেষণার জন্য একটি গাণিতিক পেন্ডুলাম ব্যবহার করেছিলেন। তিনি দাবি করেছিলেন যে তার সাহায্যে তিনি একটি নতুন গ্রহের আবিষ্কার, তুঙ্গুস্কা উল্কাপিণ্ডের উপস্থিতি এবং অন্যান্য গুরুত্বপূর্ণ ঘটনার ভবিষ্যদ্বাণী করতে সক্ষম হয়েছেন। জার্মানিতে (বার্লিন) দ্বিতীয় বিশ্বযুদ্ধের সময় একটি বিশেষ পেন্ডুলাম ইনস্টিটিউট কাজ করেছিল। আজ, মিউনিখ ইনস্টিটিউট অফ প্যারাসাইকোলজি অনুরূপ গবেষণায় নিযুক্ত রয়েছে। এই প্রতিষ্ঠানের কর্মীরা পেন্ডুলামের সাথে তাদের কাজকে "রেডিস্থেসিয়া" বলে।
