একটি অনমনীয় শরীরের ঘূর্ণন গতি: সমীকরণ, সূত্র

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2024-01-02 17:42

প্রকৃতি এবং প্রযুক্তিতে, আমরা প্রায়শই শ্যাফ্ট এবং গিয়ারের মতো কঠিন দেহগুলির ঘূর্ণন গতির প্রকাশের মুখোমুখি হই। পদার্থবিজ্ঞানে এই ধরনের আন্দোলন কীভাবে বর্ণনা করা হয়েছে, এর জন্য কী সূত্র এবং সমীকরণ ব্যবহার করা হয়, এই এবং অন্যান্য বিষয়গুলি এই নিবন্ধে কভার করা হয়েছে৷

ঘূর্ণন কি?

আমাদের প্রত্যেকেই স্বজ্ঞাতভাবে কল্পনা করে যে আমরা কোন ধরনের আন্দোলনের কথা বলছি। ঘূর্ণন এমন একটি প্রক্রিয়া যেখানে একটি দেহ বা উপাদান বিন্দু কিছু অক্ষের চারপাশে একটি বৃত্তাকার পথ ধরে চলে। জ্যামিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, একটি অনমনীয় শরীরের ঘূর্ণনের অক্ষ একটি সরল রেখা, যে দূরত্বটি চলাচলের সময় অপরিবর্তিত থাকে। এই দূরত্বকে ঘূর্ণনের ব্যাসার্ধ বলে। নিম্নলিখিত কি, আমরা r অক্ষর দ্বারা এটি চিহ্নিত করা হবে. যদি ঘূর্ণনের অক্ষটি শরীরের ভরের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায়, তবে তাকে তার নিজস্ব অক্ষ বলে। নিজস্ব অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণনের একটি উদাহরণ হল সৌরজগতের গ্রহগুলির অনুরূপ গতিবিধি৷

ঘূর্ণন ঘটতে হলে অবশ্যই কেন্দ্রীভূত ত্বরণ থাকতে হবে, যা ঘটেকেন্দ্রমুখী বল. এই বলটি শরীরের ভরের কেন্দ্র থেকে ঘূর্ণনের অক্ষের দিকে পরিচালিত হয়। কেন্দ্রবিন্দু শক্তির প্রকৃতি খুব ভিন্ন হতে পারে। সুতরাং, একটি মহাজাগতিক স্কেলে, মাধ্যাকর্ষণ তার ভূমিকা পালন করে, যদি শরীরটি একটি থ্রেড দ্বারা স্থির থাকে, তবে পরবর্তীটির টান বল কেন্দ্রীভূত হবে। যখন একটি শরীর তার নিজের অক্ষের চারপাশে ঘোরে, তখন কেন্দ্রবিন্দুর শক্তির ভূমিকাটি শরীরের তৈরি উপাদানগুলির (অণু, পরমাণু) মধ্যে অভ্যন্তরীণ ইলেক্ট্রোকেমিক্যাল মিথস্ক্রিয়া দ্বারা অভিনয় করা হয়।

এটা অবশ্যই বুঝতে হবে যে কেন্দ্রীভূত শক্তির উপস্থিতি ছাড়াই শরীর সরল রেখায় চলে যাবে।

ঘূর্ণন বর্ণনাকারী ভৌত পরিমাণ

প্রথম, এটি গতিশীল বৈশিষ্ট্য। এর মধ্যে রয়েছে:

• মোমেন্টাম এল;
• জড়তার মুহূর্ত I;
• বলের মুহূর্ত M.

দ্বিতীয়ত, এগুলো হল গতিগত বৈশিষ্ট্য। তাদের তালিকা করা যাক:

• ঘূর্ণন কোণ θ;
• কৌণিক গতি ω;
• কৌণিক ত্বরণ α.

আসুন সংক্ষেপে এই প্রতিটি পরিমাণের বর্ণনা করি।

কৌণিক ভরবেগ সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:

L=pr=mvr

যেখানে p হল রৈখিক ভরবেগ, m হল বস্তুগত বিন্দুর ভর, v হল এর রৈখিক বেগ৷

একটি বস্তুগত বিন্দুর জড়তার মুহূর্তটি অভিব্যক্তি ব্যবহার করে গণনা করা হয়:

I=mr2

যেকোনো জটিল আকৃতির শরীরের জন্য, I-এর মানকে উপাদান বিন্দুর জড়তার মুহূর্তগুলির অবিচ্ছেদ্য যোগফল হিসাবে গণনা করা হয়।

M এর মুহূর্তটি নিম্নরূপ গণনা করা হয়:

M=Fd

এখানে F -বাহ্যিক বল, d - এর প্রয়োগের বিন্দু থেকে ঘূর্ণনের অক্ষের দূরত্ব।

সমস্ত পরিমাণের ভৌত অর্থ, যার নামে "মুহূর্ত" শব্দটি উপস্থিত রয়েছে, তা সংশ্লিষ্ট রৈখিক পরিমাণের অর্থের অনুরূপ। উদাহরণস্বরূপ, শক্তির মুহূর্তটি ঘূর্ণায়মান দেহগুলির একটি সিস্টেমে কৌণিক ত্বরণ প্রদানের জন্য একটি প্রয়োগ করা শক্তির ক্ষমতা দেখায়৷

কাইন্যাটিক বৈশিষ্ট্যগুলি গাণিতিকভাবে নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়:

ω=dθ/dt;

α=dω/dt.

আপনি এই অভিব্যক্তিগুলি থেকে দেখতে পাচ্ছেন, কৌণিক বৈশিষ্ট্যগুলি রৈখিক (বেগ v এবং ত্বরণ a) এর সাথে একই রকম, শুধুমাত্র তারা একটি বৃত্তাকার গতিপথের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য৷

ঘূর্ণন গতিবিদ্যা

পদার্থবিজ্ঞানে, একটি অনমনীয় দেহের ঘূর্ণন গতির অধ্যয়ন মেকানিক্সের দুটি শাখার সাহায্যে করা হয়: গতিবিদ্যা এবং গতিবিদ্যা। চলুন গতিশীলতা দিয়ে শুরু করা যাক।

ডায়নামিক্স বাহ্যিক শক্তিগুলিকে অধ্যয়ন করে যা ঘূর্ণায়মান দেহগুলির একটি সিস্টেমে কাজ করে৷ আসুন আমরা অবিলম্বে একটি অনমনীয় দেহের ঘূর্ণন গতির সমীকরণটি লিখি এবং তারপরে, আমরা এর উপাদান অংশগুলি বিশ্লেষণ করব। সুতরাং এই সমীকরণটি এরকম দেখাচ্ছে:

M=আমিα

বলের মুহূর্ত, যা জড়তা I এর মুহূর্ত সহ একটি সিস্টেমে কাজ করে, কৌণিক ত্বরণ α দেখায়। I-এর মান যত ছোট হবে, একটি নির্দিষ্ট মুহূর্ত M-এর সাহায্যে স্বল্প সময়ের ব্যবধানে সিস্টেমটিকে উচ্চ গতিতে ঘোরানো তত সহজ। উদাহরণ স্বরূপ, একটি ধাতব রড তার অক্ষ বরাবর ঘোরানো সহজ, তার থেকে লম্ব। যাইহোক, একই রডকে একটি অক্ষের উপর লম্ব করে ঘোরানো এবং ভরের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া তার শেষের চেয়ে সহজ।

সংরক্ষণ আইনমান L

এই মানটি উপরে প্রবর্তিত হয়েছিল, একে কৌণিক ভরবেগ বলা হয়। পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে উপস্থাপিত একটি অনমনীয় শরীরের ঘূর্ণন গতির সমীকরণটি প্রায়শই একটি ভিন্ন আকারে লেখা হয়:

Mdt=dL

যদি dt সময়ে বাহ্যিক শক্তি M এর মুহূর্ত সিস্টেমে কাজ করে, তাহলে এটি dL দ্বারা সিস্টেমের কৌণিক ভরবেগের পরিবর্তন ঘটায়। তদনুসারে, যদি শক্তির মুহূর্ত শূন্যের সমান হয়, তাহলে L=const। এটি এল মান সংরক্ষণের নিয়ম। এর জন্য, রৈখিক এবং কৌণিক বেগের মধ্যে সম্পর্ক ব্যবহার করে, আমরা লিখতে পারি:

L=mvr=mωr2=আমিω।

এইভাবে, শক্তির মুহূর্তের অনুপস্থিতিতে, কৌণিক বেগের গুণফল এবং জড়তার মুহূর্ত একটি ধ্রুবক মান। এই শারীরিক নিয়ম ফিগার স্কেটাররা তাদের পারফরম্যান্সে বা কৃত্রিম উপগ্রহে ব্যবহার করে যেগুলিকে বাইরের মহাকাশে তাদের নিজস্ব অক্ষের চারপাশে ঘোরানো প্রয়োজন৷

কেন্দ্রীয় ত্বরণ

উপরে, একটি অনমনীয় শরীরের ঘূর্ণন গতির অধ্যয়নে, এই পরিমাণটি ইতিমধ্যেই বর্ণনা করা হয়েছে। কেন্দ্রাভিমুখী শক্তির প্রকৃতিও উল্লেখ করা হয়েছিল। এখানে আমরা শুধুমাত্র এই তথ্যের পরিপূরক করব এবং এই ত্বরণ গণনা করার জন্য সংশ্লিষ্ট সূত্রগুলি দেব। এটিকে বোঝান একটি_c.

যেহেতু কেন্দ্রমুখী বল অক্ষের লম্বভাবে নির্দেশিত এবং এটির মধ্য দিয়ে যায়, এটি একটি মুহূর্ত তৈরি করে না। অর্থাৎ, এই বল ঘূর্ণনের গতিগত বৈশিষ্ট্যের উপর একেবারেই কোন প্রভাব ফেলে না। যাইহোক, এটি একটি কেন্দ্রমুখী ত্বরণ তৈরি করে। আমরা জন্য দুটি সূত্র দিতেএর সংজ্ঞা:

a_c=v^2/r;

a_c=ω^2r.

এইভাবে, কৌণিক বেগ এবং ব্যাসার্ধ যত বেশি হবে, শরীরকে বৃত্তাকার পথে রাখতে তত বেশি বল প্রয়োগ করতে হবে। এই শারীরিক প্রক্রিয়ার একটি আকর্ষণীয় উদাহরণ হল একটি বাঁক নেওয়ার সময় একটি গাড়ির স্কিডিং। একটি স্কিড ঘটে যখন কেন্দ্রমুখী বল, যা ঘর্ষণ বলের দ্বারা পরিচালিত হয়, সেন্ট্রিফিউগাল বলের (জড়তা বৈশিষ্ট্য) থেকে কম হয়ে যায়।

ঘূর্ণন গতিবিদ্যা

তিনটি প্রধান গতিগত বৈশিষ্ট্য নিবন্ধে উপরে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে। একটি অনমনীয় শরীরের ঘূর্ণন গতির গতিবিদ্যা নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা বর্ণিত হয়:

θ=ωt=>ω=consst., α=0;

θ=ω₀t + αt²/2=> ω=ω_{0 + αt, α=consst.}

প্রথম লাইনে অভিন্ন ঘূর্ণনের সূত্র রয়েছে, যা সিস্টেমে কাজ করে এমন একটি বাহ্যিক মুহূর্তের অনুপস্থিতিকে অনুমান করে। দ্বিতীয় লাইনে একটি বৃত্তে সমানভাবে ত্বরিত গতির সূত্র রয়েছে৷

মনে রাখবেন যে ঘূর্ণন শুধুমাত্র ইতিবাচক ত্বরণের সাথে ঘটতে পারে না, ঋণাত্মক ত্বরণের সাথেও ঘটতে পারে। এই ক্ষেত্রে, দ্বিতীয় লাইনের সূত্রে, দ্বিতীয় পদের আগে একটি বিয়োগ চিহ্ন দিন।

সমস্যা সমাধানের উদাহরণ

1000 Nm শক্তির একটি মুহূর্ত 10 সেকেন্ডের জন্য ধাতব শ্যাফ্টে কাজ করেছে। শ্যাফটের জড়তার মুহূর্ত 50 জেনেওkgm2, কৌণিক বেগ নির্ণয় করা প্রয়োজন যা শ্যাফ্টকে বলের উল্লিখিত মুহূর্ত দিয়েছে।

ঘূর্ণনের মৌলিক সমীকরণ প্রয়োগ করে, আমরা শ্যাফটের ত্বরণ গণনা করি:

M=Iα=>

α=M/I.

যেহেতু এই কৌণিক ত্বরণটি t=10 সেকেন্ডের সময় শ্যাফ্টে কাজ করে, তাই আমরা কৌণিক বেগ গণনা করতে অভিন্নভাবে ত্বরিত গতি সূত্র ব্যবহার করি:

ω=ω_{0+ αt=M/It.}

এখানে ω_{0=0 (ফোর্স মোমেন্ট M পর্যন্ত খাদটি ঘোরেনি)।}

রাশির সংখ্যাসূচক মানগুলিকে সমতায় প্রতিস্থাপন করুন, আমরা পাই:

ω=1000/5010=200 rad/s.

এই সংখ্যাটিকে প্রতি সেকেন্ডে স্বাভাবিক আবর্তনে অনুবাদ করতে, আপনাকে এটিকে 2pi দ্বারা ভাগ করতে হবে। এই ক্রিয়াটি সম্পূর্ণ করার পরে, আমরা পাই যে শ্যাফ্টটি 31.8 rpm এর ফ্রিকোয়েন্সিতে ঘুরবে৷