পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য: কর্ণের বর্গটি পায়ের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2023-12-17 05:18

প্রত্যেক শিক্ষার্থী জানে যে কর্ণের বর্গ সর্বদা পায়ের সমষ্টির সমান, যার প্রতিটি বর্গক্ষেত্র। এই বিবৃতিটিকে বলা হয় পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য। এটি সাধারণভাবে ত্রিকোণমিতি এবং গণিতের সবচেয়ে বিখ্যাত উপপাদ্যগুলির মধ্যে একটি। এটি আরও বিশদে বিবেচনা করুন৷

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ধারণা

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি বিবেচনা করার আগে, যেখানে কর্ণের বর্গটি বর্গকৃত পায়ের সমষ্টির সমান, আমাদের একটি সমকোণী ত্রিভুজের ধারণা এবং বৈশিষ্ট্য বিবেচনা করা উচিত, যার জন্য উপপাদ্য বৈধ।

ত্রিভুজ তিনটি কোণ এবং তিনটি বাহু বিশিষ্ট একটি সমতল চিত্র। একটি সমকোণী ত্রিভুজ, এর নাম থেকে বোঝা যায়, একটি সমকোণ রয়েছে, অর্থাৎ এই কোণটি 90o।

সমস্ত ত্রিভুজের সাধারণ বৈশিষ্ট্য থেকে, এটি জানা যায় যে এই চিত্রের তিনটি কোণের সমষ্টি হল 180^o, যার অর্থ একটি সমকোণী ত্রিভুজের জন্য সমষ্টি দুটি কোণ যা সঠিক নয়, হল 180^o -90^o=90^o. শেষ ঘটনাটির মানে হল যে সমকোণ ত্রিভুজের যেকোন কোণ সর্বদা 90 এর কম হবে^o।

সমকোণের বিপরীত দিকে যে দিকটি থাকে তাকে কর্ণ বলা হয়। অন্য দুটি বাহু হল ত্রিভুজের পা, তারা একে অপরের সমান হতে পারে বা ভিন্ন হতে পারে। ত্রিকোণমিতি থেকে জানা যায় যে ত্রিভুজের মধ্যে একটি বাহু যে কোণে থাকে, এই বাহুর দৈর্ঘ্য তত বেশি হয়। এর মানে হল একটি সমকোণী ত্রিভুজে কর্ণ (90^o এর বিপরীতে থাকা) সর্বদা যেকোনো পায়ের চেয়ে বড় হবে (< 90^{o কোণের বিপরীতে থাকা))।}

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের গাণিতিক স্বরলিপি

এই উপপাদ্যটি বলে যে কর্ণের বর্গটি পায়ের সমষ্টির সমান, যার প্রতিটি পূর্বে বর্গ করা হয়েছিল। এই সূত্রটি গাণিতিকভাবে লিখতে, একটি সমকোণী ত্রিভুজ বিবেচনা করুন যেখানে a, b, এবং c বাহুগুলি যথাক্রমে দুটি পা এবং কর্ণ। এই ক্ষেত্রে, উপপাদ্য, যা কর্ণের বর্গ হিসাবে বলা হয়েছে পায়ের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান, নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে: c²=a 2 ^{+ b}2^{. এখান থেকে, অনুশীলনের জন্য গুরুত্বপূর্ণ অন্যান্য সূত্রগুলি পাওয়া যেতে পারে: a=√(c}2 ^{- b}2^{), b=√(c} 2 ^{- a}2^{) এবং c=√(a}2 ^{+ b}2^)।

উল্লেখ্য যে একটি সমকোণী সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, অর্থাৎ a=b, সূত্র: কর্ণের বর্গটি পায়ের সমষ্টির সমান, যার প্রতিটিবর্গক্ষেত্র, গাণিতিকভাবে লেখা হয়েছে: c²=a² + b²=2a ^{2, যা সমতা বোঝায়: c=a√2.}

ঐতিহাসিক পটভূমি

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য, যা বলে যে কর্ণের বর্গ পায়ের সমষ্টির সমান, যার প্রত্যেকটি বর্গক্ষেত্র, বিখ্যাত গ্রীক দার্শনিক এটির প্রতি মনোযোগ দেওয়ার অনেক আগে থেকেই পরিচিত ছিল। প্রাচীন মিশরের অনেক প্যাপিরি, সেইসাথে ব্যাবিলনীয়দের মাটির ট্যাবলেটগুলি নিশ্চিত করে যে এই লোকেরা একটি সমকোণী ত্রিভুজের পাশের উল্লেখযোগ্য সম্পত্তি ব্যবহার করেছিল। উদাহরণস্বরূপ, প্রথম মিশরীয় পিরামিডগুলির মধ্যে একটি, খাফ্রের পিরামিড, যার নির্মাণটি 26 শতকের খ্রিস্টপূর্বাব্দে (পিথাগোরাসের জীবনের 2000 বছর আগে), একটি 3x4x5 সমকোণী ত্রিভুজের আকৃতির অনুপাতের জ্ঞানের উপর ভিত্তি করে নির্মিত হয়েছিল।

তাহলে উপপাদ্যটির নাম এখন গ্রীকের নামে কেন? উত্তরটি সহজ: পিথাগোরাসই প্রথম গাণিতিকভাবে এই উপপাদ্যটি প্রমাণ করেন। বেঁচে থাকা ব্যাবিলনীয় এবং মিশরীয় লেখায় শুধুমাত্র এর ব্যবহার উল্লেখ করা হয়েছে, কিন্তু কোন গাণিতিক প্রমাণ প্রদান করে না।

এটা বিশ্বাস করা হয় যে পিথাগোরাস অনুরূপ ত্রিভুজগুলির বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে বিবেচনাধীন উপপাদ্যটি প্রমাণ করেছিলেন, যা তিনি 90o থেকে একটি সমকোণী ত্রিভুজে একটি উচ্চতা অঙ্কন করে অর্জন করেছিলেন। কর্ণ।

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করার একটি উদাহরণ

একটি সাধারণ সমস্যা বিবেচনা করুন: একটি বাঁকানো সিঁড়ি L এর দৈর্ঘ্য নির্ধারণ করা প্রয়োজন, যদি এটি জানা যায় যে এটির উচ্চতা H=3মিটার, এবং সিঁড়িটি যে প্রাচীরের সাথে তার পায়ের সাথে লেগে আছে তার দূরত্ব হল P=2.5 মিটার৷

এই ক্ষেত্রে, H এবং P হল পা, এবং L হল কর্ণ। যেহেতু কর্ণের দৈর্ঘ্য পায়ের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান, আমরা পাই: L²=H² + P 2^{, যেখান থেকে L=√(H}2 ^{+ P}2^)=√(3 2 ^{+ 2, 5} 2^{)=3.905 মিটার বা 3 মিটার এবং 90.5 সেমি।}